Математика

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тогда

M ( X 2 ) 402 0,1 422 0,3 412 0,2 442 0,4 1799,8;

D( X ) 1799,8 42,42 2,04.

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение ( X ) случайной величины Х, равное квадрат-

ному корню из дисперсии D( X ) , то есть ( X ) D( X ) . Из этой формулы имеем: X 2,04 1,43.

Пример 49. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F (x) . Найти: 1) дифферециальную функцию распределения f (x) ; 2) математическое ожидание М ( Х ) ; 3) дисперсию D( X ) .

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f ( x ) непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения F (x) , то есть

f (x) F (x) .

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f ( x ), то ее математическое ожидание определяется формулой

M ( X ) x f (x)dx.

3) Дисперсию D( X ) определим по формуле

D( X ) [x M ( X )]2 f (x)dx.

Тогда

Контрольные вопросы

1. Что называется случайной величиной?

2. Какие два вида случайных величин Вы знаете?

3. Какая случайная величина называется дискретной? Приведите примеры.

4. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

5. Какая случайная величина называется непрерывной в интервале a;b ?

6.Как может быть задан закон распределения непрерывной случайной величины?

7.Что называется интегральной функцией распределения F (х) ?

8.Перечислите свойства F (х) .

9.Что называется дифференциальной функцией распределения

f ( x )?

10.Перечислите свойства f ( x ).

11.Какие Вы знаете числовые характеристики случайной вели-

чины?

12.Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

13.Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины, заданной на всей числовой оси?

14.Перечислить свойства M ( X ).

15.В чем заключается вероятностный смысл математического ожидания?

16.Что называется дисперсией случайной величины Х?

71

17.Дайте определение дисперсии дискретной случайной вели-

чины.

18.Дайте определение дисперсии непрерывной случайной вели-

чины.

19.Запишите формулу для вычисления дисперсии.

20.Перечислите свойства Д ( X ) .

21.Что называется средним квадратическим отклонением?

22.Что называется начальным моментом k ого порядка k ?

Как вычисляется k для дискретной случайной величины? для непре-

рывной случайной величины?

23. Что называется центральным моментом k ого порядка k ? Как вычисляется k для дискретной случайной величины? для непрерывной случайной величины?

24.По какой формуле вычисляется коэффициент асимметрии ka ?

25.По какой формуле вычисляется эксцесс Ek ?

72

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

15 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Пример 50. Задана выборка значений нормального распределе-

ния признака Х. Найти: а) выборочную среднюю x и исправленное

среднее квадратическое отклонение s; б) доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание а признака Х; в) доверительный интервал покрывающий неизвестное среднее квадратическое отклонение σ признака Х (надёжность оценки γ=0,95).

Решение.

а) Объем выборки равен сумме частот всех значений признака:

k

n ni

i 1

где k число значений выборки При k = 6 получим

6

n ni 2 3 1 3 4 5 18.

i 1

Выборочным средним x называется среднее арифметическое всех значений выборки:

1 k

x n i1 xini .

Получим

x 1 ( 5 2 2 3 3 1 4 3 6 4 7 5 ) 3.22 18

Величина s s2 называется исправленным средним квадра-

б) При неизвестном среднем квадратическом отклонении доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности γ имеет вид:

По таблице значений критерия Стьюдента по n=18 и γ=0,95 находим t 2.11.

Тогда

3.22 2.11 4.35 a 3.22 2.11 4.35 .

18 18 1.05 a 5.36

в) Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонение σ имеет вид

s(1 q ) s(1 q ), если q<1,

0 s(1 q ), если q≥1,

где q находят по таблице по заданным n=18 и γ=0,95. q=0,4.

Искомый доверительный интервал равен

4.35(1 0.4 ) 4.35(1 0.4 )

2.61 6.09

Пример 51. Приведены данные по 10 хозяйствам о дозах внесения удобрений на 1 га посева зерновых в ц действующего вещества (Х) и урожайности зерновых культур в ц с 1 га (Y). Найдите коэффициент корреляции и выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Решение. Выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:

Вычислим выборочные средние арифметические х и у

Линейное уравнение, описывающее связь между Х и Y, называются выборочным уравнением прямой линии регрессии Y на Х

y y r y ( x x )

x

где y и x выборочные средние квадратические отклонения признаков Х и Y.

Найдём выборочные уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

y 28,08 0.69 6,53( x 2,46 ) 0,90

y 28,08 5,0x 12,32 y 5,0x 15,76

Контрольные вопросы

1.Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка, их объем.

2.Что такое полигон и гистограмма, эмпирическая функция распределения, кумулята.

3.Перечислите выборочные характеристики вариационного ряда.

4.Какие вы знаете точечные оценки параметров распределения.

5.Интервальные оценки параметров нормального распределения.

6.Уравнение регрессии. Применение линейной регрессии.

7.Коэффициент корреляции, его свойства.

76

Контрольная работа №3

1.Имеется три партии деталей. Вероятность того, что изделие из первой партии является бракованным, равна 0,15, из второй партии

–0,11, из третьей партии – 0,23. Контролер отбирает из каждой партии по одному изделию. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий будет: а) три стандартных; б) только два бракованных; в) только одно стандартное; г) не менее двух стандартных; д) хотя бы одно бракованное.

2.Вероятность только одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

3.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

4.Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

5.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) оба сигнализатора; в) хотя бы один сигнализатор.

6.В ящике 3 стандартные и 2 нестандартные детали. Наудачу берут 3 детали. 1) Найти вероятность, что среди взятых деталей будет только одна стандартная деталь. 2) Найти вероятность, что среди них есть хотя бы одна стандартная деталь.

7.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах для данного стрелка равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

8.Вероятность того, что из яйца вылупится молодка, равна 0,5. Сколько надо взять яиц, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95 можно было утверждать, что по крайней мере из одного яйца вылупится молодка?

9.Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому же шоссе, как 2:1. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых

77

и одна из 25 легковых машин подъезжают к бензоколонке для заправки. Найти вероятности следующих событий: а) по шоссе проедет грузовая машина, и она будет заправляться; б) по шоссе проедет легковая машина, и она будет заправляться; в) проезжающая по шоссе машина будет заправляться.

10.В первом ящике было 5 лампочек, из них 3 нестандартных, во втором ящике – 5 стандартных и 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взяли 1 лампочку и переложили ее во второй ящик. Затем из второго ящика наудачу достали одну лампочку. Какова вероятность того, что лампочка стандартна?

11.В корзине 3 красных и 2 зеленых яблока. Наудачу из корзины взяли два яблока. Затем достали еще одно яблоко. Какова вероятность, что оно красное?

12.Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго 0,6.

Врезультате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

13.Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

14.Установлено, что примерно 5% мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина; б) женщина.

15.Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

16.Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,1. Найти вероятность, что среди 400 деталей относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03.

17.Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью, равной 0,9128 при 5000 испытаниях.

78

18.В ящике 10 револьверов одной системы и одинаковых по виду, из них 4 непристрелянных. Вероятность попадания в цель из непристрелянного револьвера равна 0,3, а из пристрелянного – 0,9. Из взятого наудачу револьвера произведено 200 выстрелов по цели. Чему равна вероятность того, что число попаданий в цель: а) заключено между 120 и 150; б) меньше 100.

19.Найти вероятность того, что в 100 независимых испытаниях относительная частота наступления события А отклонится от вероятности 0,01 по абсолютной величине не более, чем на 0,02.

20.С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частости изделий первого сорта в них от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01?

В задачах 21–25 дана вероятность р того, что семя подсолнечника прорастет. Найти вероятность того, что из п наудачу посеянных семян прорастет не менее k семян.

В задачах 26–30 дана вероятность р того, что семя люцерны прорастет. Найти вероятность того, что из п посеянных семян прорас-

В задачах 31–35 дана вероятность р правильного разбиения участка в каждом из п независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях правильное разбиение участка произой-