Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО НЕЗАВИСИМОГО ПЕРЕМЕННОГО

Пример 11. Найти производную функции y 32 x4 .

	Решение.										Полагаем														2 x4				u .									Пользуясь															формулой
n	nu			n 1	u				, получаем
(u )	nu				u				, получаем
																			1						1		2						1											2										4x3
																			1
																											3

	3					4				3									3																						4		3					3
	2 x											u u														u		u							2 x										4x														.
																																	3
																																																										2
																								3																												33		2 x4
	Дифференцирование этой сложной функции можно записать
иначе:
																	1						1									2																	4x			3
																	1															2																				3
	3					4								4		3												4				3						4
	2 x															3																3
	2 x									2 x													3	2 x									2 x														2 x4						2		.
																							3																				33				2 x4
	Пример 12. Найти производную функции
	y = ln (1 + x2) + 1																			2 .
	y = ln (1 + x2) + 1																	x		2 .
																x

																																										1								1						1
	Решение.									Применим												формулы																								,														,
	Решение.									Применим												формулы										(ln u)											u			,											u2	u		,
																																										u								u							u2
( f (x) g(x)) f (x) g (x) ,																							(un ) nun 1 u , C 0: Тогда


					1								2							1			2 x x													2x							1							2
					1					(1 x			2							1			2 x x													2x							1							2
	y							2																															2														1
	y			1 x				2						)											x									1		x			2												x		1
				1 x																					x									1		x							x								x
			2x												1						3				2x						1					1
			2x												1										2x						1					1
							x 2 2										x				2
		1 x2																							x2					x2
																																					x3
															2								1														x3
	Пример 13. Найти производную функции y cos2 x.
	Решение.										Полагая												cos x u												и					применяя														формулы
n	nu			n 1	u
(u )	nu				u					и (cos u)						sin u u , получим
y cos2											2u				u 2 cos x ( sin x) sin 2x .
y cos2				x			u2				2u				u 2 cos x ( sin x) sin 2x .

Пример 14. Найти производную функции: у хln х

Решение. Прологарифмируем обе части данного выражения и продифференцируем полученное выражение

ln у ln хln х

ln у ln x ln х

ln х

ln х ln x

у ln x

ln х

у х ln х

ln х

Пример 15. Найти производную cos xy2 3y2 4x 0.

Решение. Функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной y нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у

sin xy2 xy2 6 yy 4 0,

sin xy2 y 2 2xyy 6 yy 4 0,

y2 sin xy2 2xyy sin xy2 6 yy 4 0.

Из последнего уравнения находим y

2 yy х sin xy

3 4 y

sin xy

4 y2 sin xy2

2 y х sin xy2

3 .

Пример 16. Провести полное исследование функции

2(x 1)

и построить ее график.

Решение. Будем следовать схеме исследования функции построения графика.

1)Область определения функции D(y) = (-∞;1) (1;+∞).

2)Чётность, нечётность функции.

	( x)2	x2
f ( x)			f (x) - функция не является чет-
	2(( x) 1)	2(x 1)

ной.

				( x)2				x2
f ( x)									f (x) - функция не является не-
			2(( x) 1)					2(x 1)
четной.
3)	Периодичность.
		(l x)2
f (l x)					f (x) - не периодическая.
		2((l x) 1)
4)	Точки пересечения с осями координат.
				x 2
Так как						0	x = 0, то график пересекает оси системы
				2(x 1)

координат только в ее начале.

5) Вертикальные асимптоты, точки разрыва.

Так как при х0=1 функция не существует, то это точка разрыва.

	x2
lim		,

x 1 0	2(x 1)

так как знаменатель величина бесконечно малая и отрицательна по знаку, а числитель положителен.

	x2
lim		.

x 1 0	2(x 1)

прямая x = 1 – вертикальная асимптота. Точка х0=1 – точка разрыва второго рода.

6) Поведение функции на границе области определения, горизонтальные асимптоты.

	x2		x2
lim		, lim

x 2(x 1)		x	2( x 1)

следовательно, горизонтальных асимптот нет. 7) Найдем наклонные асимптоты.

y=kx+b – уравнение наклонной асимптоты кривой. Вычислим k и b.

k lim

f (x)

b lim

f (x) kx

k lim

(по правилу Лопиталя)= lim

4x 2

2x(x 1)

b lim

lim

x2 x2 x

2(x 1)

2x 2

Следовательно, прямая y				1	x	1	– наклонная асимптота при
Следовательно, прямая y				2	x	2	– наклонная асимптота при
				2		2
x .
8) Исследуем функцию на монотонность, экстремумы.
	2x(x 1) x2		x2 2x
y	2(x 1)2	2(x 1)2 .
y	2(x 1)2	2(x 1)2 .

Найдём точки, при которых y =0 x2 2x 0 x=0 или x=2.

y не существует в точке x=1, но она не входит в область определения функции.

Следовательно, имеются две критические точки x=0 и x=2. Разобьем этими точками область определения на интервалы знакопостоянства производной: ( , 0), (0, 1), (1, 2), (2, + ). Определим знаки производной в этих интервалах: y (–1)>0 и y (3)>0 на интервалах ( , 0) и (2, + ) производная положительна, y (0,1)<0 и y (1,1)<0 на интервалах (0, 1) и (1, 2) производная отрицательна (см. рис. 4 а). Используя достаточные условия монотонности и экстремума, получим следующие выводы: функция возрастает на интервалах ( , 0) и (2, + ), убывает на интервалах (0, 1) и (1, 2), x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

Значение максимума функции y(0)=0, значение минимума y(2)=2.

Рисунок 4 – Интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции

9) Исследуем функцию на направление выпуклости и точки перегиба.

	(2x 2)(x 1)2 2(x 1)(x2 2x)	2(x 1)(x2	2x 1 x2 2x)	1

y	2(x 1)4		2(x 1)4	(x 1)3

y не обращается в 0, а в точке 1, где y не существует, функция не определена, поэтому график функции не имеет точек перегиба. Таким

образом, имеются два интервала ( , 1) и (1, + ) знакопостоянства второй производной. y (0)<0 на интервале ( , 1) y отрицательна, y (2)>0 на интервале (1, + ) y положительна (см. рис. 4 б). В силу достаточных условий выпуклости и вогнутости графика на интервале ( , 1) график выпуклый (вверх), а на интервале (1, + ) график вогнутый (выпуклый вниз).

10) Найдем дополнительные точки графика: x= –2 y = –2/3

–0,7; x= 0,8 y = –1,6; x= 1,2 y =3,6; x= 4 y = 8/3 2,7.

Начертим эскиз графика (рис. 3). Сначала начертим асимптоты x = 1 и y 12 x 12 (на рисунке они начерчены пунктирной линией).

Наносим на чертеж точки (0, 0) и (2, 2), найденные в пункте 8, допол-

нительные точки (–2; –2/3), (0,8; –1,6), (1,2; 3,6), (4; = 8/3), найденные в пункте 10. Проводим через эти точки линию, согласно результатам исследования функции в пунктах 5, 7, 8, 9. Еще раз сравниваем полученный график с результатами исследования и убеждаемся в правильности построения графика.

Рисунок 5 – График функции y	x2
	2(x 1)

Контрольные вопросы

1.Что называется производной функции?

2.Каков геометрический смысл производной?

3.Каков механический смысл производной?

4.Перечислите основные правила дифференцирования.

5.Как найти производную неявной функции?

6.Сформулируйте правило Лопиталя.

7.Для раскрытия неопределенностей какого вида применимо правило Лопиталя?

8.Сформулируйте необходимый и достаточный признаки возрастания (убывания) функции.

9.Какие точки называют критическими?

10.В чём состоит первое достаточное условие экстремума?

11.Как определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

12.Как определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции?

13.Как найти точки перегиба?

14.Что называют асимптотой кривой?

15.Как найти наклонные асимптоты?

6 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример 17. Найти неопределенный интеграл sin x cos xdx.

Решение. Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdx.

tdt t1/ 2 dt

t3 / 2

t3 C

sin 3

x C.

Пример 18. Найти неопределенный интеграл x(x2 1)3/ 2 dx.

Решение. Замена t x2

dt 2xdx;

xdx

. Получаем:

t3 / 2

t3 / 2 dt

t5 / 2

(x2 1)5 / 2

Пример 19. Найти неопределенный интеграл sin 2x dx .

Решение. Это не табличный интеграл (т.к. аргумент 2x, а не x).

Произведем замену t 2x ; тогда x

, и dx

dt . Поэтому

sin 2x dx

sin t dt

cos t C

t 2x

cos 2x C.

Пример 20. Найти неопределенный интеграл

ln x dx

Решение.

Так как

(ln x)

, то можно воспользоваться спосо-

бом подведения под знак дифференциала. Имеем

ln x dx

ln x

ln x d ln x

ln 2 x

(ln x) dx

Пример 21. Найти неопределенный интеграл x2 sin xdx.

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям (два раза). Метод интегрирования по частям применяют с целью замены данного интеграла более простым и заключается в применении формулы udv uv vdu , где u и v – некоторые функции от х.

	2			x2 cos x cos x 2xdx
x2 sin xdx u x		; dv sin xdx;		x2 cos x cos x 2xdx
du 2xdx;			v cos x
			26

u x;	dv cos xdx;		x2 cos x 2 x sin x sin xdx
			x2 cos x 2 x sin x sin xdx
du dx;		v sin x

x2 cos x 2x sin x 2cos x C.

			Пример 22. Найти неопределенный интеграл																							7x 2			dx .


																									3x2 5x 4
			Решение.
		7x 2					dx					84x 24								dx			84x 24			dx

3x2			5x																			(6x 5)2
3x2			5x			4					36x		2 60x 48									(6x 5)2			23
u 6x 5;							du 6dx;									1	14u 70 24							7	udu		23		du
																1	14u 70 24							7	udu		23		du
					u 5																		du
					u 5											6			u2 23				du	3 u2 23			3	u2
x						;																								23
x						;																								23
					6
	7	ln( u2 23)							23			arctg				u		C
6
								3		23						23
								3		23						23
																			6x 5
	7	ln		36x2 60x 48										23	arctg						C.
	7													23

6													3						23
6													3						23

Пример 23. Найти неопределенный интеграл

9x3 30x2 28x 88 dx. ( x2 6x 8 )( x2 4 )

Решение. Т.к. ( x2 6x 8)(x2			4) (x 2)(x 4)(x2 4) , то
9x3 30x2 28x 88	A	B		Cx D		.
( x 2 )( x 4 )( x2 4 )	x 2	x 4		x2	4

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители левой и правой частей тождества, получаем

A(x 4)(x2 4) B(x 2)(x2 4) (Cx D)(x2 6x 8)

9x3 30x2 28x 88

( A B C)x3 ( 4A 2B 6C D)x2 (4A 4B 8C 6D)x

( 16A 8B 8D) 9x3 30x2 28x 88.

A B C 9		C 9 A B
			4A 2B 54 6A 6B
4 A 2B 6C D 30		D 30	4A 2B 54 6A 6B

4 A 4B 8C	6D 28	2 A 2B	4C 3D 14

16 A 8B 8D 88		2 A B D 11

C 9 A B

2 A 4B

D 24 2 A 4B

2A 2B 36 4 A 4B 72

6 A 12B 14

4 A

10B 50

2 A 4B 11

5B 35

2A B

4 A

C 9 A B

A 5

2A 4B

D 24 2 A

4 A 10B 50

50 10B 5B 35

B 3

D 2

Итого:

x 2

dx 5ln

x 2

3ln

x 4

ln( x2

5ln

x 2

3ln

x 4

4) arctg

x2 4

Контрольные вопросы

1.Что называется первообразной?

2.Дайте определение неопределённого интеграла.

3.Перечислите свойства неопределённого интеграла.

4.Запишите таблицу основных интегралов.

5.В чём заключается интегрирование подстановкой и подведение под знак дифференциала?

6.Напишите формулу интегрирования по частям.

7.Перечислите виды рациональных дробей.

7 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример 24. Вычислить определённый интеграл 1 x2 dx.

Решение. Для вычисления определённого интеграла, сделаем замену переменной, а затем воспользуемся формулой Ньютона-

			b
			f (x)					b
			f (x)					b
Лейбница: a				dx = F (x)				a = F(b) – F(a).
Лейбница: a				dx = F (x)				a = F(b) – F(a).
		Итак
1				x sin t;					/ 2							/ 2
1	1 x2 dx			x sin t;					/ 2							/ 2		cos2 tdt
	1 x2 dx									1		sin 2 t cos tdt						cos2 tdt
0				0;			/ 2		0								0
0									0								0
	1	/ 2			1		1				/ 2			1
	1				1		1				/ 2			1
		(1 cos 2t)dt				t		sin 2t							sin		.
		(1 cos 2t)dt				t		sin 2t							sin		.
	2	0			2		2						4	4		4
	2	0			2		2			0			4	4		4

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sint) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования.

Пример 25. Вычислить интеграл x ex dx.

Решение. Здесь воспользуемся формулой интегрирования по

частям в определенном интеграле u dv = uv

- v dx.

u x,

dv exdx

x ex dx

xex

ex dx

du dx,

v e

2 2e2 e2 1 e2 1.

2e2 0 ex

Пример 26. Вычислить cos xdx.

Решение. Воспользуемся определением несобственного инте-

грала

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.02.201664.21 Кб9матан 1-10.docx
#
06.02.2016439.62 Кб2матан 5.rtf
#
26.09.2019296.03 Кб0матан с 28-42.docx
#
06.02.2016461.38 Кб13Математика Д/З.doc
#
06.02.20161.52 Mб24Математика Шумаев В В.pdf
#
06.02.20161.35 Mб41Математика..pdf
#
06.02.2016303.1 Кб31Математическое моделирование и проектирование.doc
#
06.02.201610.17 Mб540машины для внесения минеральных удобрений.pdf
#
06.02.201619.02 Mб749машины для внесения органических удобрений.pdf
#
21.11.20197.09 Mб166Машины для основной обработки почвы.doc
#
06.02.2016473.02 Кб173машины для поверхностной обработки почвы.pdf