Математика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6. Как раскрывают неопределённости вида

6. Как раскрывают неопределённости вида

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

2 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

Пример 3. Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 8), В(5; –4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

Решение. 1. Расстояние d между точками M1 x1; y1 и M 2 x2 ; y2 определяется по формуле

d x2 x1 2 y2 y1 2 .

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:


	АВ	(5 ( 4))2 ( 4 8)2					81 144 15 .
2. Уравнение прямой,					проходящей через точки M1 x1; y1 и
M2 x2 ; y2 , имеет вид
			x x1			y y1				.
					x					.
			x	2	x	y		2	y
				2	1			2	1

Подставив координаты точек А и В, получим:

х ( 4)	у 8	,	х 4	у 8	,	х 4	у 8	,
5 ( 4)	4 8		9	12		3	4

3y 24 4x 16,			4x 3y 8 0			( AB).

		Для нахождение углового коэффициента kAB прямой АВ разре-
шим полученное уравнение относительно у:					y	4	x	8		. Отсюда

						3			3
						3			3
k			4	.
k	AB			.
	AB	3
		3

Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС

	х ( 4)	у 8	,		х 4			у 8		,	х 4	у 8	,

10 ( 4)		6 8		14					2		7	1
10 ( 4)		6 8		14					2		7	1
	x 7 y 52 0,			y		1	x		52	( AС).
	x 7 y 52 0,			y			x			( AС).
				7					7

Отсюда k AС 17 .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты кото-

рых равны k1							и k2 , определяется по формуле
tg			k2 k1			.
tg						.
		1 k k			2
				1	2
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдём, подставив в
данную формулу k										k					4	, k		k			1	.
данную формулу k										k	AB					, k	2	k	AС			.
									1		AB				3		2		AС	7
															3					7
				1				4			4			1		25
											4			1


tgA				7				3				3		7	21			1	,
tgA															21			1	,
					1				4		1			4		25
	1


					7				3				21			21

A arctg1 450 0,79 рад.

4. Так как высота CD перпендикулярна стороне AB , то угловой коэффициент прямой найдем по формуле

k			1		1			3	.
	СD
			k AB	4			4

						3
		Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1 x1; y1 с

заданным угловым коэффициентом k , имеет вид: y y1 k x x1 .

Подставив в него координаты точки С и kСD , получим уравнение высоты CD :

y 6	3	(x 10),	4 y 24 3x 30,	3x 4 y 6 0 (CD)
	4

Для нахождения длины CD воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки до прямой, так как в данном случае длина CD равна расстоянию от точки C до прямой AB

Ax0

By0

, d

4 10 3 6 8

A2 B2

42 32

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид

(x a)2 ( y b)2 R2 .

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD . Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

x	E		xC xD	10 2		6, y	E			yC yD			6 0	3.

		2			2			2				2

Следовательно,					E(6;3) и R				CD		5 . Используя формулу, получаем

уравнение искомой окружности

(x 6)2 ( y 3)2 25.

Рисунок 2 – Схема к примеру 3

Пример 4. Определить вид кривой второго порядка и построить её: 8x2 9y2 8х 16 0.

Решение. Выделим полные квадраты и преобразуем уравнение: 8(x2 x 1/ 4) 8 1/ 4 9y2 16 0

8(x 1/ 2)2 2 9 y2 16 0 8(x 1/ 2)2 9y2 18

(x 1/ 2)	2	y 2
			1
9 / 4		2

Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая

полуось равна 3/2, меньшая полуось b равна 2 , половина расстоя-

ния между фокусами с = a2 b2 = 1/2. Эксцентриситет ε = с/a = 1/3.

Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).

Рисунок 3 – Эллипс

Контрольные вопросы

1.Как записывается общее уравнение прямой?

2.Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициен-

том?

3.Как записывается уравнение прямой, проходящей через две

точки?

4.Как находится угол между прямыми?

5.Каковы условия параллельности и перпендикулярности пря-

мых?

6.Как записываются канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы?

7.Каков смысл параметров R; a; b; c и p; как изменяется экс-

центриситет для каждого вида кривой второго порядка?

3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пример 5. Заданы координаты четырех вершин пирамиды

ABCD: А(-2,0,0), B(1,1,-1), С(-1,3,0), D(-1,0,2). Найти: 1) длину векто-

ра АВ; 2) угол φ между векторами AB и AC ; 3) площадь грани AВС; 4) объем пирамиды; 5) длину высоты DH пирамиды, проведенной к плоскости грани АВС. Записать уравнения: 6) прямой АВ; 7) плоскости АВС; 8) высоты пирамиды DH; 9) высоты АК треугольника АВС.

			Решение. 1. Длина вектора AB равна:

	AB		(x			2	x )2 ( y						2	y )2		(z		2		z )2
						2	1						2	1				2	1


(1 2)2 (1 0)2 ( 1 0)2																					11
Координаты вектора АВ определяются по формуле

	AB (x2 x1)i ( y2											y1) j (z2 z1)k ,												AB (3;1;-1).
			2. Угол φ между векторами																	AB и AC определяется по формуле

cos					ab
cos									.
			\| a \|\| b \|

Вычислим длину вектора BC :																	ВС						( 1 1)2 (3 1)2 (0 1)2		3.

Вектор AB имеет координаты (-2;2;1).
Скалярное произведение векторов находим по формуле

a		b = xa xb + ya yb + za zb =3·(-2)+1·2+1·(-1)=-6+2-1=-5.
cos				AB BC								6			2 1				5
cos												6			2 1
			\| AB \|\| BC \|											11 3					3 11
							5											5
arccos(											) arccos(											)
								3									3
								3		11							3			11

3. Площадь треугольника АВС находится по формуле

SΔABC =1/2 | AB AC |.

Вычислим координаты векторов AB , AC и их векторное произведе-

ние AB AC .



		i		j		k
AB AC					1
AB AC		3		1	1			3i			5 j			8k ;
		2		2		1
	1								1

S ABC		32 52			82
												100	( åä2 ) 5( åä2 ).
									2			100	( åä2 ) 5( åä2 ).
2									2
4. Найдем объем пирамиды ABCD
			x1	y1			z1				3			1	1
			x1	y1			z1				3			1	1
			x2	y2			z2			2						19 ( êóá.åä ).
V ( abc )			x2	y2			z2			2				2	1	19 ( êóá.åä ).
			x3	y3			z3				1			0	2

5. Длина высоты DH пирамиды, проведенной из вершины D к грани АВС равна

HD=	3V	3 19	57	11,4.
	S ABC	5	5

6.Уравнения прямой АВ будем искать по двум данным точкам

Аи В этой прямой

x xA	y yA	z zA

xB xA	yB yA	zB zA

Подставляя в эти уравнения координаты точек А и В, получим

(x+2)/3=y=-z

7. Для составления уравнения плоскости АВС воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки

x xA		y yA		z zA
x xA		y yA		z zA
xB xA		yB yA		zB zA		0
xC xA		yC yA		zC zA
x 2
	y	z			1	1		3
	y	z
3	1	1	( x 2 )				y
1	3	0			3	0		1
1	3	0

3( x 2 ) y 8z 3x y 8z 6.

1	z	3	1
1	z	3	1
0		1	3

Уравнение плоскости АВС: 3x – y + 8z + 6 =0.

8. Уравнения высоты DH пирамиды ищем в виде

x xD y yD z zD m n p

Координаты точки D известны, а в качестве направляющего век-

тора прямой a (т,п,р) можно взять вектор нормали к плоскости АВС

N (3,-1,8), так как высота DH перпендикулярна к плоскости АВС. Поэтому уравнения прямой DH имеют вид

x 1	y		z 2	.

	1
3		8

Запишем уравнения высоты АК в каноническом виде:

x xA

y yA

z zA

Направляющий вектор

(m,n,p)

прямой АК перпендикулярен

вектору нормали N (3,-1,8) к плоскости АВС и вектору ВC (-2,2,1).

Поэтому вектор

a может быть найден как векторное произведение

этих векторов:

N ÂC

17i

19 j 4k .

x 2

Уравнение

высоты

АК имеет вид

Контрольные вопросы

1.Дайте определение уравнения поверхности в пространстве.

2.Каковы параметрические уравнения линии в пространстве?

3.Каковы условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости?

4.Как найти угол между двумя прямыми и плоскостями в пространстве?

5.Как может быть задана прямая в пространстве?

4 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Пример 6. Найти предел	lim	x2	6x 8	.
Пример 6. Найти предел	lim			.
	x 2 x2		8x 12
Решение. В точке х=2 функция не определена, т.к. числитель и
					0
знаменатель дроби обращаются в ноль (неопределённость вида						).
знаменатель дроби обращаются в ноль (неопределённость вида						).
					0

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.


x2 – 6x + 8 = 0;						x2 – 8x + 12 = 0;
D = 36 – 32 = 4;					D = 64 – 48 = 16;
x1	= (6 + 2)/2 = 4;					x1 = (8 + 4)/2 = 6;
x2	= (6 – 2)/2 = 2;					x2 = (8 – 4)/2 = 2.
Тогда получим
lim		( x 2 )( x 4 )	lim	x 4	2 4	2		1	.
		( x 2 )( x 6 )		x 6	2 6
x 2			x 2			4	2

Пример 7. Найти предел lim	1 x x2	1 x x2
Пример 7. Найти предел lim	x2	x
x 0	x2	x
Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на выра-
			0
жение, сопряженное числителю (неопределённость вида				):
жение, сопряженное числителю (неопределённость вида				):
			0

lim

1 x x2 1 x x2

lim

x 0 x(x

1)(

1 x x2 1 x

x2 )

x 0 x(x 1)(

1 x x2

1 x x2 )

1 (1 1)

Пример 8. Найти предел

lim

x2 6x 8

8x 12

x x2

Решение. Числитель и знаменатель дроби при х неограни-

ченно возрастают (неопределённость вида ).



Для нахождения этого предела разделим числитель и знамена-

тель данной дроби на x2 – наивысшую степень переменной данной дроби.

x2 6x 8

1 0 0

lim

x2 8x 12

8x 12

1 0 0

где 6x ; x82 ; 8x ;12x2 – бесконечно малые, предел которых равен 0.

	Пример 9. Вычислить предел у lim		sin 3x	.

		x 0	x
	Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом
lim	sin x	1. Сделаем замену переменной:	t 3x . Тогда x		t	и t 0

x 0	x		3

при x 0 . Получаем

у lim	3sin t	3 lim	sin t	3.
	t		t
t 0		t 0

Пример 10. Найти предел

x 3 x 3 lim . x x 1

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом

1 x

lim 1

e .

3 x3

x 1 4 x3

y x 1

y 4

lim

x x

4 y

1 4 z

lim

lim 1

Контрольные вопросы

1.Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой величины.

2.Запишите свойства бесконечно малых функций.

3.Расскажите свойства эквивалентных бесконечно малых функ-

ций.

4.Что называют пределом функции?

5.Запишите основные теоремы о пределах.

многочленов?

7.Запишите первый и второй замечательные пределы.

8.Что называют точкой разрыва функции?

9.Что называют устранимым разрывом?

10.Что называют скачком функции в точке неустранимого раз-

рыва?

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.02.201664.21 Кб9матан 1-10.docx
#
06.02.2016439.62 Кб2матан 5.rtf
#
26.09.2019296.03 Кб0матан с 28-42.docx
#
06.02.2016461.38 Кб13Математика Д/З.doc
#
06.02.20161.52 Mб24Математика Шумаев В В.pdf
#
06.02.20161.35 Mб41Математика..pdf
#
06.02.2016303.1 Кб31Математическое моделирование и проектирование.doc
#
06.02.201610.17 Mб540машины для внесения минеральных удобрений.pdf
#
06.02.201619.02 Mб749машины для внесения органических удобрений.pdf
#
21.11.20197.09 Mб165Машины для основной обработки почвы.doc
#
06.02.2016473.02 Кб173машины для поверхностной обработки почвы.pdf