Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>


120. а)	у	2x 3(x 2)	в) у e ln x
	у	x2
		x2
б)	x3 y2 cos y 4 0

В задачах 121-140 исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

121.	у	2

		1 x2
122.	у	9х

		x2 9

123.у 3 x2

x2 3

124.у x2 1

x2 1

125.	у		2х

			x2 4
126.	у		х

		x2 2

127.у 5 x2

x2 5

128. у x24х16

129.у (х 2)2

x2 4

130.у (х 3)2

x2 9

131.у x2х 1

132.у 4 x2

x2 4

133. у 2 2

x 4

134.у (х 2)2

x2 4

135.	у		2х

			x2	4
136.	у			6

		x2		3
137.	у		x2
		x2		5

138.у (х 3)2

x2 9

139.у (х 1)2

x2 1

140.у x2х 1

141.

В задачах 141-160 найти неопределённые интегралы.

а)

5 9 dx;

в)

х 1

dx;

(2 4х )

х(х х 6)

б)

ln xdx;

142.

а)

2dx

;

в)

3х 1

dx;

2х 7

х(х 2)

б)

143.а)

б)

144.а)

б)

145.а)

б)

146.а)

б)

147.а)

б)

148.а)

б)

149.а)

б)

150.а)

б)

151.а)

б)

x e2x dx;

е2 х dx;

е3х 6

arctgxdx;

lnхх dx;

x cos xdx;

5cos x sin xdx;

3x arctgxdx;

sin x cos xdx;

		x						dx;

	6sin 2 x
	2x dx						;
	4
	1 4x
	1 x2 dx;
	x2 dx
					;
	x6 9
ex sin xdx;
	cos x
						dx;
	sin x

	1 x2 dx;
			x						dx;

	cos		2	3x				2

cos (ln x)dx;

2x2 dx; sin 8x3

2lnxx2 dx;

в)

х2 7х 1

dx;

х(х2 8х 2)

в)

х2 4х 2

dx;

(х 2)(х2 х 6)

в)

9х2 х 1

dx;

(х 5)(х2 х 6)

в)

3х 2

dx;

х2 х 2

в)

2 3х

dx;

х2 6х 4

в)

4х 3

dx;

2х2 6х 1

в)

3х 4

dx;

х2 4х 6

в)

5х 1

dx;

х2 6х 3

в)

х2 х 1

dx;

х(х2 х 6)

152.а)

б)

153.а)

б)

154.а)

б)

155.а)

б)

156.а)

б)

157.а)

б)

158.а)

б)

159.а)

б)

160.а)

б)

	4x			dx;

cos 2x			2


	x	ln xdx;

ecos x sin xdx;

xn ln xdx;

4x6			dx;
3x7 20
x cos x		dx;

sin 3 x
ln 2 x	dx;
x

arcsin x dx;

6x4 cos 3x5dx;

e2x sin 2 x dx;

7 ln x dx; x

earcsin xdx;

3x2x2 12dx;

3x arcsin xdx;

6x5 sin(18x6 9)dx;

x2 e xdx;

	4x
		dx;
	9x2 8
	x2 sin xdx;

в)

х2

(х 2)2 (х 4)2 dx;

5х 2

х(х2 х 6) dx;

8х 4

х(2х2 3х 5) dx;

6х 1

(2 х)( 4х2 2х 2) dx;

5х 1

(х 9)( 4х2 2х 2) dx;

2х 7

х( 2х2 2) dx;

(х 5)(х2 2х 1) dx;

х 6

(10 х)( х2 2х 15) dx;

х 7

(2 5х)( 3х2 х 2) dx;

В задачах 161-180 вычислить несобственные интегралы или ус-

тановить их расходимость.
161.	171.			dx
x e 2 xdx ;				dx	;

		х	2	6х 3
0	0	х		6х 3
0	0

162.

;

х 1

163.

;

х 1

164.

ln x

dx ;

165.

;

3 х 3

166.

dx;

х2 36

167.

хdxln x ;

168.

3х

dx ;

х3 13

169.

dx;

х 1 2

170.

dx;

х2

172.	5					х
						х			dx;


					х2			4
	2				х2			4
173.	2					х
						х			dx;


					х2			4
	0				х2			4
174.
	х3е х2 dx;
175.	0				dx		2 ;
175.					dx		2 ;
	3
	1		х 1
	1
176.
	хе хdx ;
	0
177.	1
177.	1					х
						х
							dx ;
				х 1			dx ;
	1
178.	1				dx
					dx			;

		1
		1					х
	0
179.
	ln 2 x dx ;
	1
180.
	х ln xdx .
	0

В задачах 181-200 сделать чертёж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

181. у 13 (х 1)2 , 2х у 2 0; 182. у х3, у х ; 183. у 5х , у 6 х;

184. у 12 х2 , у 4х; 185. у х2 4х 1, у х 1;

186. у 13 (х 2)2 , 2х у 4 0; 187. у 14 х2 , у2 4х;

188.	у 2х х2 ,								у х;
189.	у х2 6х 7,									у х 1;
190.	у х2							6х 5,		у х 5;
191.	у х2 4х 4,									у х;
192.	у		1				(х 3)2 , 2х у 6 0;

	3
193.	у х2							6х 7, у х 7;
194.	у 3х2							1,	у 3х 7;
195.	у х2							1,	у х 1;
196.	у	1					(х 4)2 , 2х у 8 0;

	3
197.	у х2							6х 5, у х 1;
198.	у			6			,	у 7 х;

					х
199.	у х2 2,								у 4 х2 ;
200.	у				1	(х 5)2 , 2х у 10 0.

	3

8 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пример 30. Найти частные производные первого и второго порядка функции z 2x 1 y2 .

Решение. При нахождении частной производной по x считаем y постоянной, а при нахождении частной производной по y считаем постоянной x. При этом пользуемся правилами дифференцирования

функции одной переменной, в том числе и таблицей производных.
Сначала найдем частные производные первого порядка.
z	y2 2x 1 y2 1 2x 1 2 y2 2x 1 y2 1;
x	x
z	2x 1 y2 ln 2x 1 y2 2 y 2x 1 y2	ln 2x 1 .
y	y

Теперь найдем частные производные второго порядка.

2 z

2 y

1 2x

y2 2

2x 1

4 y2 y2 1 2x 1 y2 2 ;

2 z

2 y

2x 1

x у

2x 1 y2 1

2 y2

2x 1 y2 1 2 y2

4 y 2x 1 y2 1 2 y2 2x 1 y2 1 ln 2x 1 y2 1

4 y 2x 1 y2 1 4 y3 2x 1 y2 1 ln 2x 1 ;

2 z

2 y 2x 1

ln 2x 1

y x

2 y

2x 1 y2

ln 2x 1 2 y

2x 1 y2

ln 2x 1

2 y y2 2x 1 y2 1

2x 1 ln 2x 1 2 y 2x 1 y2

2x 1

4 y3 2x 1 y2 1 ln 2x 1 4 y 2x 1 y2 1;

2 z

2 y

ln 2x 1

2 y 2x 1 y2 ln 2x 1 2 y

2x 1 y2 ln 2x 1

y2 ln 2x 1

2 2x 1 y2

ln 2x 1 2 y 2x 1 y2

ln 2x 1

2 2x 1 y2

ln 2x 1 4 y2 2x 1 y2 ln 2 2x 1 .

2 z

Смешанные частные производные второго порядка

x ó

2 z

получились равными.

y x

Пример 31. Найти полный дифференциал функции z

Решение. Полный дифференциал ищем по формуле

dy.

Найдем частные производные первого порядка

2 yx

( x2 y 2 )2

1 (x2 y2 ) y( 2 y)

x2 y2

2 y2

(x2 y2 )2

(x2

y2 )2

2xy

x2 y 2

( x2 y 2 )

( x2 y 2 )2

Пример 32. Найти экстремум функции

z 3x2 3xy y2 2x 6 y 1

Решение. Найдем стационарные точки заданной функции, то есть точки, в которых выполняются необходимые условия существования экстремума. Для функции двух переменных f(x, y) = z ста-

z 0

ционарные точки (координаты точек) находятся из системы x

z 0y

z	6x 3y 2 ,	z	3x 2 y 6.
x		y
			46

Для заданной функции система примет вид

6x 3y 2 0;

3x 2 y 6 0.

																	22
															x					;
															x		21			;
Решениями системы являются																	21
Решениями системы являются																	30
																	30

																21 .
															y	21 .
Получили стационарную точку M																	22		;	30	.
Получили стационарную точку M																			;		.
																	21 21
	Найдём частные производные второго порядка
2 z	6			2 z			2		2 z			3
x2	6			y2			2		x у			3
x2				y2					x у
		2	z								2	z										2	z
A=			z		6,			B				z	3,					C					z		2.
A=			2		6,			B					3,					C					2		2.
	x		2																		y		2
	x			M						x y M											y			M
	Для проверки достаточных условий экстремума в стационарной
точке необходимо определить знак определителя ∆:
	А			В			6	3		2 6 ( 3)( 3) 21
	А			В			6	3		2 6 ( 3)( 3) 21
	В			С		3		2
													22		30
Так как <0, то в точке M														;		функция не имеет экстремума.
Так как <0, то в точке M														;		функция не имеет экстремума.
													21 21

Контрольные вопросы

1.Дайте определение частной производной функции двух переменных.

2.Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

3.Что называется градиентом функции?

4.Какая точка называется точкой максимума функции двух переменных?

5.Какая точка называется точкой минимума функции двух переменных?

6.Сформулируйте достаточные условия существования экстре-

мума.

9 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример 33. Изменить порядок интегрирования, найти инте-

4 4 x

грал при заданном и изменённом порядке интегрирования: dx dy.

0 x 3

Решение. Пределы внешнего интеграла по переменной х 0 и 4 указывают на то, что область интегрирования ограничена слева прямой х=0, а справа х=4. Пределы внутреннего интеграла по переменной у указывают на то, что область ограничена сверху линией

у 4

х3

х , а снизу у

(рисунок 5).

Найдем точки пересечения линий у 4

х3

х и у

ó 4 õ;

õ3

Из системы уравнений следует:

4 х х3

32 х х3

0 х(х2,5 32)

х 0 или (х2,5 32) 0

х0 или 2 х5 32

х0 или 1024 х5

х0 или х 4

Получаем точки пересечения А(0;0) и В(4;8).

Изменим порядок интегрирования. Определим пределы интег-

рирования по переменной х. Из уравнения у	х3	получаем
	8

х 23 у - верхний предел.

			Рисунок 5 – Схема к определению порядка интегрирования
			Из уравнения у 4																									у2
																х получаем х												у2		- нижний предел.
																х получаем х											16			- нижний предел.
																											16
																							23
																										у
													4				4 x					8				у
															dx dy					dу dх
													0					x3				0		у2
																8								16
			Вычислим интеграл при заданном порядке интегрирования


4	4 x				4				4 x				4								3						3					4		4			3			4
dx dy dx ó												dx( 4							x			) (		8 õ							x					8 4			4
								x3										x	x					8 õ							x		)			8 4			4
								x3										x															)
0		x3			0								0			8									3					32				0	3			32
0		x3			0				8				0			8									3					32				0	3			32
									8
	8
	64		8		40		.
			8				.
	3				3
			Вычислим интеграл при изменённом порядке интегрирования

	23 ó																													3
8	23 ó				4															4					8					3
dó dõ dó( 23														ó2	) (			63 ó					ó3		8				6 84						83
										ó				ó2				63 ó					ó3	)					6 84						83
										ó														)
0		ó2			0								16			4							48		0					4					48
0		ó2			0
	16
24				512		640					40		.
24													.
	48				48					3

Контрольные вопросы

1. Перечислите свойства двойного интеграла.

3.Что такое тройной интеграл и каковы его свойства.

4.Укажите физические приложения кратных интегралов.

5.Физические приложения определённых интегралов.

6.Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от контура интегрировнния.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.02.201664.21 Кб9матан 1-10.docx
#
06.02.2016439.62 Кб2матан 5.rtf
#
26.09.2019296.03 Кб0матан с 28-42.docx
#
06.02.2016461.38 Кб13Математика Д/З.doc
#
06.02.20161.52 Mб24Математика Шумаев В В.pdf
#
06.02.20161.35 Mб42Математика..pdf
#
06.02.2016303.1 Кб34Математическое моделирование и проектирование.doc
#
06.02.201610.17 Mб540машины для внесения минеральных удобрений.pdf
#
06.02.201619.02 Mб756машины для внесения органических удобрений.pdf
#
21.11.20197.09 Mб168Машины для основной обработки почвы.doc
#
06.02.2016473.02 Кб173машины для поверхностной обработки почвы.pdf