Если деформация тела достаточно мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называются упругими. В этом случае вся работа (4.10) определяет изменение внутренней энергии элемента объема dE :

При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации. Остается, как говорят, некоторая остаточная деформация и состояние тела отличается от того, в каком оно находилось до приложения к нему сил. Такие деформации называются пластическими, для пластических тел выражение (4.11) не выполняется.

С учетом (4.10), (4.11) для упругих тел получаем одно из основных соотношений термодинамики деформирования:

Закон Гука

При нулевом тензоре деформации uik = 0 тензор напряжений также должен быть нулевым σik = 0 . Следовательно, в разложении энергии Е по степеням uik должны

отсутствовать линейные члены. Далее, поскольку энергия является величиной скалярной, то каждый член в разложении Е должен быть скаляром. Из компонент симметричного тензора uik (4.5) можно составить два независимых скаляра второй степени; в качестве

них можно выбрать квадрат uii2 суммы диагональных компонент и сумму uik2 квадратов всех компонент тензора uik . Разлагая Е по степеням uik , получим, следовательно, с точностью до членов второго порядка выражение вида:

Полученное соотношение является общим выражением для энергии деформированного изотропного тела. Величины λ и µ называются коэффициентами Ламэ.

Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига и всестороннего сжатия. Для этого достаточно написать тождество:

представляет собой, очевидно, чистый сдвиг, поскольку сумма его диагональных членов равна нулю (т.к. δll =δ11 +δ22 +δ33 = 3 ). Второй член связан со всесторонним сжатием.

В качестве общего выражения для энергии деформированного состояния изотропного тела удобно написать вместо (4.13) другое выражение, воспользовавшись указанным (4.14) разложением произвольной деформации на чистый сдвиг и всестороннее сжатие. Выберем в качестве двух независимых скаляров второй степени суммы квадратов компонент соответственно первого и второго членов в (4.13). Тогда выражение для энергии (4.13) можно переписать в виде:

107

Величины К > 0 и µ > 0 называются соответственно модулем всестороннего сжатия и модулем сдвига. Величина К связана с коэффициентами Ламэ соотношением:

Дифференцируя (4.15), из (4.12) для тензора напряжений получаем соотношение:

Нетрудно получить и обратную формулу для тензора деформации через тензор напряжений:

пропорциональна приложенным к телу силам. Этот закон, имеющий место для малых деформаций, называют законом Гука. Соотношение (4.17) называется обобщенным законом Гука [Исакович, 1973, с. 441-442].

Однородные деформации

Рассмотрим простейший случай однородной деформации, т.е. деформаций, при которых тензор деформации постоянен вдоль всего объема тела.

Рассмотрим простое растяжение (или сжатие) стержня. Пусть стержень расположен вдоль оси z и к его концам приложены силы, растягивающие его в противоположные стороны. Эти силы действуют равномерно на всю поверхность концов стержня; сила, действующая на единицу поверхности, пусть будет р.

Поскольку деформация однородна, т.е. uik постоянны вдоль тела, то постоянен также и тензор напряжений σik , а поэтому его можно определить из граничных условий. На боковой поверхности стержня внешние силы отсутствуют, откуда следует, что σik nk = 0 , поскольку единичный вектор n на боковой поверхности перпендикулярен к оси z, т.е. имеет только компоненты nx , ny , то отсюда следует, что все компоненты σik , за исключением только σzz , равны нулю. На поверхности концов стержня имеем σzini = p ,

откуда σzz = p .

Для однородной деформации растяжения закона Гука (4.18) перепишется в виде:

Компонента uzz :

108

определяет относительное удлинение стержня вдоль оси z: ∆l / l , где l – длина стержня до деформирования, l + ∆l - длина стержня в результате деформирования. Коэффициент при р - 1/ E называют коэффициентом растяжения, а обратную величину – модулем растяжения (или модулем Юнга) Е:

В случае однородного растяжения закон Гука примет вид:

p = E ∆ll .

Компоненты uxx и uyy определяют относительное сжатие стержня ∆a / a в

поперечном направлении:

∆aa = −13 (21µ − 31K ) ,

где а – поперечный размер стержня до деформирования, a + ∆a - поперечный размер стержня в результате деформирования. Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению

называют коэффициентом Пуассона σ [Сивухин, 1974, с. 388]:

Поскольку К и µ всегда положительны, то коэффициент Пуассона может изменяться в пределах:

так как в настоящее время неизвестны тела, у которых было бы σ < 0 , т.е. которые бы утолщались при продольном растяжении.

Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является одной из важнейших постоянных, характеризующих его упругие свойства. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона σ полностью характеризуют упругие свойства изотропного

109

материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через них. Можно показать, что справедливы следующие соотношения:

В частности, из (4.25) можно видеть, что для абсолютно несжимаемого тела, для которого К = 0, коэффициент Пуассона равен σ =1/ 2 .

Соотношение (4.17) можно переписать в виде:

Подставляя в (4.26) выражение для тензора деформации (4.5), уравнения равновесия (4.9) запишем в виде:

где индексы i и l, как и везде выше, принимают значения i = 1, 2, 3; l = 1, 2, 3. В векторном виде уравнения (4.27) можно переписать в виде одного уравнения:

Адиабатические процессы

Следует отметить, что все модули и коэффициенты упругости, о которых мы говорили выше, и будем говорить в дальнейшем, следовало бы для точности называть

изотермическими модулями и коэффициентами. Они характеризуют деформации тел в предположении, что температура их поддерживается постоянной. Это обычно имеет место в случае статических деформаций. Но если деформации динамические (например, волны в упругих средах), то они могут происходить настолько быстро, что разности температур, возникшие при деформации, не успевают выравниваться в результате теплообмена. Важнейшим является предельный случай, когда между различно нагретыми частями среды теплообмен совсем не происходит. Соответствующие процессы, модули и коэффициенты упругости называются адиабатическими [Сивухин, 1974, с. 389].

В настоящей книге все процессы, связанные с деформированием и распространением волн, рассматриваются как адиабатические.

Продольные и поперечные упругие волны в изотропной среде

Для того чтобы получить уравнение движения упругой среды, надо в соответствии со вторым законом Ньютона приравнять силу внутренних напряжений (4.6) произведению

ускорения ∂2ui на массу единицы объема тела, т.е. на его плотность ρ :

∂t2

110

Или в векторном виде используя соотношение (4.28):

Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания или волны.

Рассмотрим плоскую упругую волну в неограниченной изотропной среде, т.е.

волны, в которой деформация u является функцией только от одной из координат, скажем, от х (и от времени t). Все производные по y и z в уравнениях (4.30) исчезают, и

для отдельных компонент вектора u получаем следующие уравнения:

Уравнения (4.31) и (4.34) представляют собой обычные волновые уравнения в одном измерении, и входящие в них величины cl и ct являются скоростями

распространения волны. Видим, что скорость распространения волны оказывается различной для компоненты ux , с одной стороны, и компонент uy и uz - с другой.

Таким образом, упругая волна представляет собой по существу две независимо распространяющиеся волны. В одной из них ( ux ) смещение направлено вдоль

распространения самой волны; такую волну называют продольной, она распространяется со скоростью cl . В другой ( uy , uz ) – смещение направлено в плоскости,

перпендикулярной направлению распространения; такую волну называют поперечной, она распространяется со скоростью ct . Как видно из (4.32) и (4.33), скорость cl всегда

больше скорости ct :

В поперечной волне имеются только компоненты uy и uz , и, поскольку они не зависят ни от y ни от z, для такой волны divu = 0 . Таким образом, поперечные волны не

111