Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

Г Л А В А VI

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 39. Кинематика гармонического колебательного движения

Колебательные явления играют важную роль в самых разнооб­ разных вопросах физики. Подробный разбор их дается в других разделах нашего курса. Здесь же мы ограничимся предварительным рассмотрением простейших механических колебаний. Начнем с коле­ бательного движения материальной точки. В таком движении точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение и притом в одном и том же направлении.

Важнейшим среди колебательных движений является так назы­ ваемое простое или гармоническое колебательное движение. О нем

Эта формула и описывает аналитически гармоническое колебатель­

если б = — я/2, то х = A sin со^ и т. д. Таким образом, при гар­ моническом колебании абсцисса х является синусоидальной или косинусоидальной функцией времени t. Для графического изобра­ жения гармонического колебательного движения можно отклады­ вать по горизонтальной оси время t, а по вертикальной оси — смещение точки х (рис. 22). Тогда получится периодическая кри­ вая — синусоида. Форма кривой полностью определяется ампли­ тудой А и циклической частотой со. Однако ее положение зависит также от начальной фазы 8. По истечении времени

фаза получает приращение 2л,, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение с сохранением начального направления движения. Время Т называется периодом колебания.

Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (39.1) по времени. Это дает

Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна

Она пропорциональна отклонению х и имеет противоположное направление. Она всегда направлена к положению равновесия. Такого рода силы часто возникают при малых смещениях мате­ риальной точки из положения равновесия.

§40. Гармонические колебания груза на пружине

1.Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой

вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяже­ ниях х = I — /0 справедлив закон Гука (1635—1703) — сила про­

206 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. VI

Постоянная k называется коэффициентом упругости или жесткости

пружины. Знак минус означает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению х, т. е. к положению равновесия.

При выводе уравнения (40.1) предполагалось, что никакие другие силы на тело не действуют. Покажем, что тому же уравнению подчиняется движение тела, подвешенного на пружине в однород­

сил натяжения пружины и веса груза. Но все это не затрагивает математическую сторону колебательного процесса. Поэтому можно рассуждать так, как если бы силы тяжести совсем не было. Так мы и поступим.

Это уравнение совпадает с уравнением (39.5). Функция (39.1) является решением такого уравнения при любых значениях по­ стоянных Л и б. Можно доказать, что это есть общее решение, т. е. всякое решение уравнения (40.2) может быть представлено в виде (39.1). Различные решения отличаются друг от друга только зна­ чениями постоянных Л и б. (Доказательство приводится в конце этого параграфа.) Из изложенного следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой

Период колебаний Т не зависит от амплитуды Л. Это свойство называется изохронностью колебаний. Изохронность, однако, имеет

место до тех пор, пока справедлив закон Гука. "При больших растя­ жениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

Амплитуда Л и начальная фаза б не могут быть определены из дифференциального уравнения (40.2). Эти постоянные определяются начальными условиями, например начальными значениями сме­ щения х и скорости х. Дифференциальное уравнение (40.2) спра­ ведливо при любых начальных условиях. Оно описывает весь комплекс колебаний, которые может совершать рассматриваемая система. Конкретное колебание выделяется из этого комплекса заданием постоянных Л и б.

3. Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выра­ жениями

Каждая из них меняется во времени. Однако их сумма Е во вре­ мени должна оставаться постоянной:

Если воспользоваться выражением (39.1), то из формул (40.5) найдем

или в силу соотношения (40.3)

^KHH = y ^ 2 s i n 2 ( c o / + б).

вой частотой 2со. Когда кинетическая энергия проходит через максимум, потенциальная обращается в нуль и обратно. Однако

Приведенное простое вычисление вместе с тем показывает, что выражение (39.1) является решением дифференциального уравнения (40.6) при условии, что частота со определяется формулой (40.3),

§ 41] ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 209

энергии (40.6). Поэтому можно сразу исходить из уравнения (40.6). Используя соотношение (40.3), запишем это уравнение в виде

Левая часть этого соотношения существенно положительна, так как она равна сумме квадратов. Поэтому правую часть можно обозначить со2Л2, введя тем' самым новую постоянную А. Тогда

что совпадает с выражением (39.1).

§41. Физический маятник

1.Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка пересечения ее Л с вертикальной плоскостью, проходящей через

центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 85). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия ср. Угол ср играет роль обобщенной координаты q. Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением

где / — момент инерции маятника относительно оси А. Потен­ циальная энергия равна ЕП0Т = mgh, где h — высота поднятия

центра масс С над его самым нижним положением. Обозначим а расстояние между центром масс С и точкой подвеса А. Тогда

Е„т = mga (1 — cos cp) = 2tnga sin2 ~ .

В случае малых колебаний синус угла <р/2 можно приближенно заменить самим утлом. В этом приближении

Е= ^ Ф 2

Таким образом, для малых колебаний потенциальная и кине­ тическая энергии приводятся к виду (40.8), причем а = mga, § = /. Отсюда следует, что малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими с цик­

лической частотой

и=уЩ*. (41.1)

и периодом

Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются

изохронными. Мы видим, что малые колеба­ ния физического маятника изохронны. Коле­ бания приближенно изохронны, когда угловая

амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изо­ хронности колебаний маятника основано его применение в часах.

Частным случаем физического маятника является математи­ ческий маятник. Так называется маятник, вся масса которого прак­ тически сосредоточена в одной точке — в центре масс маятника С. Примером математического маятника может служить шарик, под­

Сравнивая формулы (41.2) и (41.3), заключаем, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной

которая называется приведенной длиной физического маятника. Мы доказали это утверждение только для малых колебаний маятни­ ков. Но оно справедливо и для колебаний с конечными амплитудами,

§ 41] ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 211

когда колебания не изохронны. Требуется только, чтобы угловые амплитуды физического и математического маятников были оди­ наковы. Доказательство этого мы предоставляем читателю.

2. Отложим от точки подвеса Л вдоль прямой АС отрезок АА', длина которого равна приведенной длине физического маятника /

тельно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Под­

денная длина /, а следовательно, один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопря­ женными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания А', то его период не изменится и прежняя точка подвеса А сделается новым центром качания. Это положение назы­ вается теоремой Гюйгенса. Для ее доказательства обозначим а' длину отрезка Л'С и допустим, что маятник подвешен за точку Л'.

ставив это значение в предыдущую формулу, получим /' = ^ + я-

Таким образом, V = /, т. е. приведенная длина, а с ней и период колебаний физического маятника остались без изменения. Это и доказывает теорему Гюйгенса.

3.Приведем другое доказательство теоремы Гюйгенса, глубже раскрывающее

еесодержание. Будем перемещать точку подвеса маятника вдоль одной и той же прямой, проходящей через центр масс С. Посмотрим, как при этом будет меняться его период колебаний. Когда точка подвеса А бесконечно удалена от С, маятник ведет себя как математический. Его период колебаний бесконечно велик. При приближении точки подвеса А к центру масс С период колебаний сначала убы­ вает. Когда точка подвеса совместится с С, маятник при любом отклонении будет в безразличном равновесии. Это значит, что его период колебаний снова стано­ вится бесконечно большим. Поэтому по мере приближения точки А к С убывание периода должно смениться возрастанием. Положению точки подвеса, где это происходит, соответствует минимальный период колебаний. Когда точка подвеса

и центр качания находятся по разные стороны от центра масс и расположены

между ними дает приведенную длину физического маятника /. Изме­