Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

способом уменьшения сил трения является замена Трения скольже­ ния трением качения (шарикоподшипники). Под трением качения понимают трение> возникающее, например, между шарообразным или цилиндрическим телом, катящимся без скольжения по плоской или изогнутой поверхности. Трение качения формально подчи­ няется тем же законам, что и трение скольжения. Однако коэффи­ циент трения при качении значительно меньше, чем при скольже­ нии. Наиболее радикальным способом уменьшения сил трения, который за Последнее время начинает получать все большее и боль­ шее распространение, является создание «воздушной подушки» между соприкасающимися поверхностями.

5. Как уже говорилось выше, в отличие от сил сухого тре­ ния, силы жидкого или вязкого трения обращаются в нуль вместе с относительными скоростями между соприкасающимися слоями

газов. Здесь же мы очень кратко рассмотрим только силы жидкого трения, возникающие при движении твердого тела в жидкой или газообразной среде. Помимо сил, обусловленных собственно внут­ ренним трением, на поверхность движущегося тела со стороны среды действуют также силы нормального давления. Результирую­ щая этих нормальных давлений имеет составляющую, направленную против движения тела. Такая составляющая называется силой сопротивления среды. При больших скоростях она во много раз превосходит силы сопротивления, обусловленные собственно вяз­ ким трением. При рассмотрении движения тела в вязкой среде эти две силы целесообразно объединить вместе. Такую суммарную силу, направленную против скорости движущегося тела, условно будем называть также силой трения и обозначать символом / т р .

ной, а затем сила Трения начинает возрастать приблизительно

«Коэффициенты трения» kx и а также область скоростей, в ко­ торой осуществляется переход от линейного закона (17.2) к ква­ дратичному (17.3), в сильной степени зависят от формы и разме­ ров тела, направления его движения, состояния поверхности тела и от свойств окружающей среды. Искусственно увеличивая поверх­ ность тела и придавая ей надлежащую форму, можно сильно уве­ личить значения коэффициентов kx и k2. На этом основано устрой­ ство и действие парашюта (см. задачу 8 к этому параграфу).

З А Д А Ч И

1. Удобный метод измерения коэффициента трения покоя состоит в следую­ щем. Тело кладется на наклонную плоскость. Измеряется минимальный угол наклона плоскости а, при котором начинается скольжение. Найти связь между

углом а и коэффициентом трения |х. О т в е т: Л| = tg а.

2 . Человек может, хотя и медленно, привести в движение тяжелую баржу на воде, если он будет тянуть за канат, привязанный к ней. Но он не в состоянии сделать это с тяжелым телом, лежащим на земле, если даже вес этого тела заметно меньше веса баржи. Почему?

3.Положите стержень в горизонтальном положении на указательные пальцы ваших рук. Вначале пальцы должны быть разведены, а стержень должен лежать на них своими концами. Затем приближайте пальцы друг к другу. Около какой точки стержня они сойдутся? После этого пальцы снова разведите так, чтобы стер­ жень все время лежал на них в горизонтальном положении. В каком месте будет находиться один из пальцев, когда другой достигнет конца стержня? Произве­ дите этот опыт и объясните наблюдаемые явления.

4.Шофер, едущий на автомобиле по горизонтальной площади в тумане, внезапно заметил недалеко впереди себя стену, перпендикулярную к направле­ нию движения. Что выгоднее: затормозить или повернуть в сторону, чтобы пре­ дотвратить аварию?

От в е т . Затормозить.

5.Автомобиль движется с постоянной скоростью вдоль извилистой горизон­ тальной дороги. Принимая дорогу за синусоиду, найти максимальную скорость, которую может развивать автомобиль, чтобы не было заноса.

Р е ш е н и е . Если автомобиль движется по криволинейной траектории с Постоянной по величине скоростью, то его ускорение а будет только нормальным. Это ускорение создается силой трения покоя между колесами автомобиля и полот­ ном дороги: /тр = та. Если скорость автомобиля превзойдет определенный пре­ дел, то для удержания автомобиля на требуемой траектории, где кривизна ее велика, максимальной силы трения Д, будет недостаточно (f0 < та). Автомобиль начнет скользить в направлении нормали к траектории. При этом в соответствии с графиком рис. 28 сила трения скольжения уменьшится,.что приведет к дальней­ шему боковому смещению автомобиля с траектории. В этом и состоит явление заноса. При движении по синусоиде нормальное ускорение максимально в ее вершинах, где кривизна кривой максимальна. Если у = у (х) — уравнение сину­ соиды, то в вершинах у' — 0, и радиус кривизны в этих точках можно вычислить

получить условие, при котором заноса не будет:

где И- — коэффициент трения, g — ускорение силы тяжести.

6. Решить ту же задачу, предполагая, что автомобиль движется с постоян­ ной скоростью по эллипсу с полуосями Л и В. В каких точках траектории нормаль­ ное ускорение автомобиля достигает максимального и минимального значений?

т равной 70 кг, найти установившиеся скорости его падения без парашюта и с рас­ крытым парашютом. Для человеческого тела при падении без парашюта коэффи­ циент k2 по порядку величины равен 2 г/см. При раскрытом парашюте этот коэф­

Г Л А В А III

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА

§18. Импульс силы и изменение количества движения

1.Как было показано в § 12, производная количества движенияр

системы материальных точек по времени определяется уравнением

на систему. Внутренние силы не входят в это уравнение из-за третьего закона Ньютона. В случае одной материальной точки урав­ нение (18.1) переходит в уравнение, выражающее второй закон Ньютона. Допустим, что сила F® постоянна. Тогда из уравнения

импульсом тела. Недоразумений возникнуть не может, так как слово «импульс» отдельно нигде встречаться не будет. Оно будет входить в комбинации либо со словом «сила», либо со словом «тело» (или «материальная точка» и «система материальных точек»). Поэ­ тому всякий раз будет ясно, о каком импульсе идет речь. Чтобы полностью застраховать себя от возможных недоразумений, вели­ чины р = mv и р = mxvx + ... + tnnvn мы не будем называть импульсами во всех тех случаях, когда одновременно используется понятие импульса силы, а будем пользоваться для этих величин термином «количество движения». Впрочем, понятие импульса силы будет встречаться сравнительно редко.

2. Соотношение (18.2) означает, что приращение количества движения тела или системы тел равно импульсу геометрической суммы всех внешних сил, действующих на систему. Этот результат получен нами в предположении, что сила/г <е ) постоянна. Он может быть обобщен и на тот случай, когда эта сила меняется во времени.

настолько малыми, чтобы на каждом из них силу /г 'е ' без большой ошибки можно было считать приблизительно постоянной. Соответ­

p-Po^ZF^Mt,

с

где использовано стандартное обозначение At; = tt — Послед­ нее равенство является приближенным и не совсем определенным,

точно. Однако эта неопределенность устраняется и указанное ра­ венство переходит в точное соотношение, если перейти к пределу,

Как известно, предел, стоящий в правой части этого равенства, называется определенным интегралом функции F(e){t) в пределах от t0 до t и обозначается посредством

Аргумент функции F<-e), по которому производится интегрирова­ ние, обозначен посредством т, чтобы не смешивать его с верхним пределом интеграла t. Величина т называется переменной интегри-

рования. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования. При за­ данной подынтегральной функции оно определяется только зна­ чениями пределов интегрирования t0 и t.

Таким образом, обобщением соотношения (18.2) является фор­ мула

целой, а нижняя рвется. Дело в том, что для разрыва верхней нити ее необхо­ димо растянуть на определенную длину. А для этого надо привести в движение гирю. Чтобы сообщить гире необходимое смещение, требуется конечное время,

не успеет растянуться, и ее натяжение практически остается неизменным. По­ этому и рвется нижняя нить.

Опишем второй опыт, иллюстрирующий влияние продолжительности дейст­ вия силы. Из ватманской бумаги вырезаются два одинаковых кольца с наружным диаметром ~ 20 см и внутренним диаметром ~ 15 см. Кольца подвешиваются на двух горизонтальных металлических стержнях, зажатых в штативах. В кольца вставляется четырехугольная сосновая планка длиной — 1 м с поперечным сече­ нием — 2—3 см 2 . Расстояние между бумажными кольцами должно быть лишь немного меньше длины планки. Если плавно нажимать на середину планки, то одно из бумажных колец (или оба вместе) рвется, а планка остается целой. Нанесем теперь по середине планки резкий сильный удар тяжелой металлической палкой. Планка ломается, а кольца остаются целыми. Поразительным в этом опыте является не то, что ломается планка — она переломилась бы и при отсутст­ вии колец, а то, что остаются целыми бумажные кольца.

§19. Теорема о движении центра масс

Внерелятивистской механике, ввиду независимости массы от

Отсюда следует, что центр масс системы движется как мате­ риальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила — геометрической сумме всех внешних сил, дей­ ствующих на систему. Этот результат называется теоремой о дви­ жении центра масс.

Примером может служить движение снаряда по параболе в без­ воздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени сна­ ряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки под действием внутренних сил будут разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было.

Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, т. е. с точкой приложения параллельных сил, действующих на матери­ альные точки системы в однородном поле тяжести. Поэтому вместо терминов «центр масс» и «центр инерции» употребляют также тер­ мин «центр тяжести». Однако в теореме о движении центра масс термином «центр тяжести» лучше не пользоваться, так как к этой теореме тяжесть не имеет прямого отношения. Термин «центр тя-

жести» распространен в курсах теоретической механики, особенно старых. В физике этот термин вышел из употребления.

Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равно­ мерно. Эта теорема верна и в релятивистской механике (см. задачу 5 к этому параграфу).

ЗА Д А Ч И

1.На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от дна до поверх­ ности стола равно длине пробирки /. Нить пережигают, и за время падения муха перелетает со дна в самый верхний конец пробирки. Определить время, по истечении которого нижний конец пробирки стукнется

остол.

От в е т , t- -VI

2 . Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центро­ бежной машины, как указано на рис. 33, равномерно вра­ щается с угловой скоростью со. Нить составляет угол а с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.

вращении? Максимальная сила натяжения, отнесенная к единице площади по­ перечного сечения стержня, равна Г. Объемная плотность материала стержня равна р (см. также § 75, задача 4).

О т в е т . р/3со2 < 8Т.

4. На прямоугольный трехгранный клин ABC массы М, лежащий на абсо­ лютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший клин BED массы m (рис. 34). Определить, на какое расстояние х сместится влево

М+ ш

5.Если система состоит из частиц, движущих­ ся с релятивистскими скоростями, то радиус-век­ тор ее центра масс определяется теми же форму­ лами, что и в нерелятивистской механике, т. е.

в частицах, а не в полях. Показать прямым дифференцированием, что в этом случае скорость центра масс изолированной системы не меняется во времени и определяется формулой

где р — импульс системы, а суммирование, как и в предыдущем выражении,

производится по всем частицам, входящим в нее. Например, если равномерно движущееся радиоактивное ядро распадается на лету, то центр масс образо­ вавшихся осколков будет продолжать в точности такое же равномерное дви­ жение, т. е. движение с прежней постоянной скоростью и в прежнем направ­ лении.

§20. Приведенная масса

1.Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимо­ действующих материальных точек с массами тх и т2 (рис. 35).

Уравнения движения этих точек можно записать в виде

причем по третьему закону Ньютона Fx = — F2. Вычитая из одного урав­ нения другое, находим

Это уравнение описывает движение од­ ной материальной точки относительно другой, так как разность г = г2 — гх есть радиус-вектор,

проведенный от первой точки ко второй. Он однозначно определя­ ет положение второй точки относительно первой. Введем обозна­ чение

Это уравнение формально аналогично второму закону Ньютона. Роль силы играет сила F2, действующая на вторую материальную точку, а роль массы — вспомогательная величина р,, называемая

приведенной массой.

Разумеется, одно уравнение (20.3) не может быть эквивалентно двум исходным уравнениям (20.1). Однако такая эквивалентность