Seminary_Vesna
.pdfСеминар 1
|
|
|
|
|
Основные характеристики случайных процессов |
|
|
||||||||||
|
|
Наиболее простой характеристикой случайного процесса x(t) |
является одномерная |
||||||||||||||
функция распределения вероятности F1 (x1 , t1 ) P{x x1}- вероятность того, |
что значение |
||||||||||||||||
случайной величины x t1 в момент времени t1, будет меньше заданного значения x1. |
|||||||||||||||||
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x dx ) F (x ) F1 (x1, t1 ) dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
x1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя в рассмотрение |
одномерную |
|
плотность |
распределения |
вероятности |
||||||||||
p (x , t ) F1 (x1 , t1 ) |
, получаем, |
что вероятность того, что значение случайной величины в |
|||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
момент времени t |
1 |
будет лежать в диапазоне |
|
x , x dx, равна P (x ,t ) p (x ,t )dx . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
|
Аналогично и для двумерного случая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
P2 (x1 ,t1 , x2 ,t2 ) p2 (x1 ,t1 , x2 ,t2 )dx1dx2 , |
|
|
; x2 ,t2 ) |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
где p2 (x1 ,t1 |
|
|
F2 (x1 ,t1 ; x2 ,t2 ) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
|
|
Математическое ожидание (среднее значение).
mx (t) M x(t) x x(t) p1 (x,t)dx .
Дисперсия (характеристика разброса относительно среднего значения).
|
|
2 |
Dx (t) M x(t) mx (t) 2 (x mx )2 p1 (x,t)dx x (t) p1 (x,t)dx . |
||
|
|
|
Корреляционная функция (характеристика взаимозависимости значений случайного процесса для двух разных моментов времени)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K x (t1 ,t2 ) M x(t1 ), x(t2 ) x1 t1 |
x2 |
t2 p2 x1 , x2 ,t1 ,t2 dx1dx2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корреляционная функция центрированного случайного процесса (дисперсионная |
||||||||||||
функция) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
R (t , t |
2 |
) M |
x(t |
) x(t |
2 |
, причем R (t, t) R (t) D (t). |
||||||
x 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
x |
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для стационарных (установившихся) случайных процессов
mx (t) const, Kx (t1 ,t2 ) Kx (t1 |
t2 ) Kx ( ), Dx (t) Rx (0) const , |
|||||||||||||||||||
спектральная плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S x ( ) |
K x ( )e i d 2 K x ( ) cos d , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ( ) |
1 |
|
S |
|
( )ei d |
1 |
|
S |
|
( ) cos d |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
x |
|
x p x dx |
|
x mx p |
x dx Dx mx . |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kx t1,t2 x t1 x |
t2 p x1, x2 ,t1,t2 dx1dx2 Rx t1,t2 mx (t1 )mx (t2 ). |
|
|
|
|
Sx Kx e i d Rx e i t mx2 |
e i t dt S 2 mx2 . |
||
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
Необходимо также помнить, что |
ei (t t0 )d 2 (t t0 ) , |
ei( 0 )t dt 2 ( 0 ) |
|
|
|
|
|
1. Вычисление спектральных плотностей и корреляционных функций.
Задача 1.1. Пусть x(t) случайный процесс, представляющий собой случайную величину, равномерно распределенную на отрезке a, a . Найти mx , Dx , K x и Sx ( ) .
Решение:
Реализации рассматриваемого случайного процесса:
x(t)
+a
0
t
-a
Одномерная функция распределения вероятности
F (x,t)
1
x
-a |
0 |
+a |
Одномерная плотность распределения вероятности
p(x,t) F(x,t) / x
1/ 2a
|
a |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a |
|
dx |
|
a2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
xp(x,t)dx |
|
|
x |
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
2 |
dx |
|
a |
2 |
|
|
|
Dx |
x (t) p(x,t)dx x2 (t) p(x,t)dx |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
2a |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
2 |
|
Kx x1 |
t1 x2 |
t2 p2 x1, x2 ,t1,t2 dx1dx2 x2 p(x,t)dx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно также (см. Задачу 1.2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
t1 x2 t2 p2 x1 , x2 ,t1 ,t2 dx1dx2 x1 x21/ 2a dx1 (x1 x2 ) dx2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S |
|
|
K e i d |
a |
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
e i d |
a2 ( ) |
||||||
|
|
3 |
|||||||||
|
x |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K
Sx
|
a2 / 3 |
Рис. 1.1a |
|
Рис. 1.1b |
a |
x2 dx |
|
a2 |
|
|
|
|
2a |
3 |
||
a |
|
|
|
Процесс стационарный, но не эргодический. |
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
Если x(t) a const , |
т.е. если в качестве случайного |
процесса рассматривается |
||
детерминированная постоянная величина, то: |
|
|
|
|
|
|
|
F (x,t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
p (x a) |
|
|
|
|
|
0 |
|
a |
|
|
|
2 |
|
mx xp(x,t)dx a p(x,t)dx a , |
Dx |
x (t) p(x,t)dx 0 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K x x1 t1 x2 t2 |
p2 x1 , x2 ,t1 ,t2 dx1dx2 a2 , Sx K e i d 2 a2 ( ) . |
|||
|
|
|
|
|
Процесс стационарный и эргодический (!?). |
|
|
|
|
Задача 1.2. Определить корреляционную функцию |
Kx |
и спектральную плотность |
Sx для случайного процесса x a sin t , реализации которого зависят от времени
по гармоническому закону со случайной начальной фазой, равномерно распределенной. на интервале (0, 2 ) .Проверить, что интегрирование спектральной плотности по всем
частотам, а также Kx 0 дает средний квадрат (в данном случае он равен дисперсии) рассматриваемой величины.
Решение
Очевидно, что mx 0 , поэтому в рассматриваемом случае корреляционная функция Кx совпадает с дисперсионной функцией Rx и
|
|
|
|
|
Rx t1 ,t2 |
x1 t1 x2 t2 p2 x1 ,t1 , x2 ,t2 dx1dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь p2 x1 , t1 , x2 ,t2 dx1dx2 есть вероятность |
события, |
что в |
момент t1 x |
|
принадлежит диапазону x1 , x1 |
dx1 , а в момент t2 |
- диапазону |
x2 , x2 |
dx2 . Эту же |
вероятность можно записать, как p2 1 , t1 , 2 , t2 d 1d 2 , поскольку случайность величины
x есть следствие случайности начальной фазы ., поэтому
2 2
Rx t1 ,t2 a2 sin t1 1 sin t2 2 p2 1 ,t1 , 2 ,t2 d 1d 2
0 0
Поскольку 1 равномерно распределена на интервале (0, 2 ), а значение 2 на реализации однозначно определяется значением 1, точнее 2 = 1, (закон распределения 2 не зависит от времени, вероятность 2 1, есть ноль, 1 – единица, следовательно, плотность вероятности есть - функция), то рассматриваемая вероятность имеет вид
p2 1 , t1 , 2 , t2 d 1d 2 = 21 d 1 2 1 2
F( 1)
F( 2)
F( 1)
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 = 1 |
2 |
1, 2 |
|||
p( ) = dF/d |
|
p( 2 )= ( 1 - 2 ) |
|
|
||
|
|
|
|
p( 1)= 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
1, 2 |
|||
|
Тем самым, искомая корреляционная функция Rx t1, t1 есть |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
2 |
sin t1 |
|
1 sin t1 |
|
|
|
|
2 1 1 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
2 |
sin t |
|
sin t |
|
|
d |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом того, что sinx siny (cos x y cos x y ) / 2, а также что |
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 t1 2 2 1 d 1 0 , получаем, учитывая, |
что t2 t1 |
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
t ,t |
|
|
R |
|
|
a2 |
|
cos . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Этот же результат для Rx |
можно получить, рассматривая заданный случайный |
||||||||||||||||||||
процесс как эргодический 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R |
lim |
1 |
T x t x t dt |
1 T0 |
a2 sin t sin t dt |
a2 |
с os |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
T 2T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
cos ei e i / 2 , имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
S Kx e i d |
a2 |
|
e i e i |
d |
a2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или, другим способом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Sx |
K e i t dt |
a |
cos cos d |
a |
|
|
cos cos d |
|
||||||
2 |
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kx |
Sx |
|
|
|
|
Рис. 1.2a |
Рис. 1.2b |
|
|
|
Интегрирование спектральной плотности по всем частотам дает:
1 |
|
a2 |
|
d |
a2 |
|
|
S d |
|
|
|
Rx 0 . |
|
2 |
4 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.3. Необходим пример случайного процесса с уменьшающейся корреляцией, типа R De .
Задача 1.4. Подробнее вспомнить «белый шум»: R S0 t и S S0 const
2. Вычисление спектральных плотностей по корреляционным функциям.
K
Задача 2.1. Найти корреляционную функцию
и спектральную плотность стационарного D случайного процесса с математическое ожиданием, отличным от 0, при условии, что
R De |
|
|
|
, |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
K R mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Спектральная плотность |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
|
K e i d |
|
R e i d |
|
|
|
2 D |
2 m2 . |
|
|||||
|
|
|
m2 e i d |
|
|||||||||||
2 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
R e i t d De |
|
|
|
e i d D |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
e i d |
e i |
|
|
, e |
i d |
e i |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
i |
|
|
i |
i |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
||
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 D |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R e i t d D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|||||||||
То |
есть, |
если mx |
0, |
|
то |
|
спектральная |
||||||||||
плотность |
случайного |
|
|
|
стационарного |
||||||||||||
процесса |
содержит при 0 особенность |
в |
|||||||||||||||
виде |
- |
функции. |
Чем |
|
уже |
график |
корреляционной функции, тем шире график S и наоборот. То есть, чем быстрее
процесс, тем больше значение имеют высокие частоты.
Если R S0 t и mx 0 , то S S0 const - белый шум.
R N t
Рис. 2.1b
Задача 2.2. Корреляционная функция случайного стационарного процесса с mx 0 имеет вид:
R De cos .
Найти спектральную плотность.
Решение:
S R e i d .
Учитывая, что cos 12 ei e i , получаем
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
S D |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Случайный процесс с периодической составляющей имеет «колебательную» корреляционную функцию и «рогатую» спектральную функцию. Сопоставляя этот результат с результатом, полученным в задаче 1.2, видим, что переход от процесса с колебательной
составляющей в R к колебательному процессу (?) приводит к появлению в S - функции.
S
Рис. 2.1a
S
S const
Рис. 2.1c
R
D
Рис. 2.2a
S
|
|
|
|
Рис. 2.2b |
|
3. Вычисление корреляционных функций по спектральным плотностям.
Задача 3.1. Для стационарного случайного процесса, имеющего постоянный спектр в полосе от n до n , вычислить среднее значение (математическое ожидание), средний квадрат и дисперсию, а также получить выражение для корреляционной функции.
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение случайной величины |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равно нулю |
mx |
|
0 , |
так |
|
как |
спектральная |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность |
|
не |
|
|
|
|
|
содержит |
при |
0 |
|||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
особенностей типа - функции. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
дисперсия |
равна |
||||||||||||||||
n |
0 |
|
|
|
|
|
n |
|
среднему квадрату случайной величины |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx x |
x |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
||||||||||||
|
|
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
S d |
1 |
|
n |
Nd |
N |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x2 D |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
K x |
S cos d |
|
cos d |
|
|
|
sin n . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Замечание: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
K |
|
0 lim |
N |
sin |
N n |
D |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Семинар 2
Прохождение случайного сигнала через линейную систему. Оценка точности
Поставим задачу: Найти математическое статистические характеристики выходного сигнала y(t), если задана передаточная функция W(s) замкнутой линейной системы и статистические характеристики входного сигнала x(t).
1. |
Простейшие звенья – использование определений. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Усилительное W(s)=k: |
y |
|
t |
|
kx |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
my |
kmx |
|||||
|
|
Ry (t1, t2 ) k 2 Rx t1,t2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Интегрирующее W(s)=1/s: |
y(t) x |
d |
|
|
|
|
my t mx t d |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ry t1,t2 Rx , d d . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Дифференцирующее W(s)=s: |
y t |
|
d |
x t |
|
|
m |
|
t |
d |
m |
|
t |
||||||||
|
y |
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ry t1 , t2 |
d |
|
|
d |
Rx t1 , t2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
||||
При этом во всех случаях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy |
t Ry t1t2 |
|
t1 t2 t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Регулярные методы оценки точности.
Использование регулярных методов проиллюcтрируем на примере решения следующей задачи:
Определить дисперсию выхода Dy (t) для системы
x(t) |
W (s) |
y(t) |
, где W(s) = |
k |
, K x ( ) Dx e |
|
|
|
|
. (I) |
||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ts 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что поскольку корреляционная функция сигнала x(t) не содержит постоянной составляющей, то mx , и тем самым, my равны нулю и Kx ( ) Rx ( )..
Прежде чем приступить к решению задачи, рассмотрим систему, получающуюся из (I) с использованием формирующего фильтра, входом которой является белый шум, а выходом сигнал x(t) .
Имеем
|
|
|
|
|
|
2D |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S x |
( ) K x ( )e i d |
|
|
|
x |
|
|||||
1 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( ) |
|
Wфф (i ) |
|
2 |
S ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда
Wфф (s)
При этом
R ( ) 1 S ei2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
Wфф (s) |
x(t) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Dx |
|
|
1 |
, где |
S 2Dx . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 s |
|
|
|
||||||
|
(1 s) S |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d S ( ) |
или R (t1 ,t2 ) S (t1 |
t2 ) . |
Тем самым от исходной системы (I) приходим к следующей системе:
(t) |
|
|
|
y(t) |
, где Wфф |
(s) |
|
1 |
, R ( ) S (t1 |
t2 ) |
(II) |
||
Wфф |
|
W (s) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Расчёт дисперсии выхода выполним последовательно тремя
способами
Первый способ - |
метод интегральных соотношений (корреляционных функций). |
|||||
Если на вход системы подается сигнал с дисперсионной функцией |
R(t1,t2 ) , то для |
|||||
выходного сигнала |
y(t) имеем |
|
|
|
|
|
|
t1 |
t2 |
|
|
|
|
|
Ry (t1,t2 ) w(t1, )w(t2 , )R( , )d d , |
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
Dy (t) w(t, )w(t, )R( , )d d , |
|
|
|||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
где w(t, ) - весовая функция системы. |
|
|
|
|
||
Для апериодического звена с передаточной функцией k /(Ts 1) импульсная |
||||||
переходная (весовая) функция есть |
|
|
|
|
|
|
|
w(t, ) k e (t ) /T /T |
|
|
|||
В случае системы (I) входной сигнал x(t) |
стационарный, следовательно |
|||||
t t |
|
|
t |
t |
|
|
Dy (t) w(t, )w(t, )Rx ( , )d d w(t )w(t )Rx ( )d d |
||||||
0 0 |
|
|
0 0 |
|
|
|
t t |
|
|
|
t |
t |
|
Dx (k T )2 e (t ) T e (t ) T e | |d d Dx (k T )2 e 2t T e T e T | |d d . |
||||||
0 0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
Определение Dy (t) сводится к последовательному вычислению интегралов |
||||||
|
t |
|
|
t |
|
|
J1 (t, ) e T | |d |
и |
J2 (t) e T J1 (t, )d . |
|
|
||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
Т.к. возможны ситуации и , |
причем 0 t , то следует записать |
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
J1 (t, ) e T ( ) d e T ( ) d .
0 |
|
Эти интегралы несложно вычислить, но результат будет несколько громоздким, |
||||||||||||||
поэтому далее ограничимся вариантом T 1. |
Имеем |
|||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J1 (t, ) e2 d e d |
1 |
e e2 |
(t )e |
1 |
(e e ) (t )e . |
|||||||||
|
||||||||||||||
2 |
o |
2 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|||||||||||
J2 (t) e |
1 |
(e e ) (t )e d |
1 |
( |
1 |
t)e2 e2 d . |
||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e2 d |
1 |
|
e2 |
|
1 |
e2 d |
1 |
te2t |
1 |
(e2t 1) , |
|
|||||||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2t (1 2t) . |
J |
|
(t) |
1 |
t |
1 |
|
( |
1 |
t)(e2t |
1) |
1 |
te2t |
1 |
(e2t 1) |
1 |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
Таким образом:
|
|
D (t) D k 2 e 2t J |
|
(t) D k 2 1 (1 2t)e 2t |
|
/ 2 . |
|
(1) |
|||||||||||||||
|
|
y |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нетрудно видеть, что Dy (0) |
|
|
Dy ( ) |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
(0) 0 . Очевидно, |
|||||||||||
0 |
и |
2 |
|
Dx k |
|
|
. Кроме того Dy |
||||||||||||||||
что полученная зависимость при |
t 0 неотрицательна, как и положено для дисперсии. |
||||||||||||||||||||||
Если бы это было не так, то нашлось бы |
какое-то значение t ts |
|
0 , |
при котором |
|||||||||||||||||||
выполняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 (1 2t |
s |
)e 2ts |
0 , |
или то же самое e2ts 1 2t |
s |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но это невозможно, поскольку |
|
e |
2ts 1 2t |
|
|
|
1 |
(2t |
|
|
)2 ... 1 2t |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
s |
|
2 |
s |
s |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примерный вид зависимости Dy (t) показан на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy (t) |
|
|
|
Dy ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
Замечание.
В случае системы (II), где входом является белый шум, т.е.
Rx ( , ) R ( , ) S ( ) , получаем:
t t |
t |
Dy (t) w (t, )w (t, )S ( )d d S w2 (t, )d . |
|
0 0 |
0 |
Рассматриваемая система представляет собой последовательное соединение двух звеньев, следовательно, согласно теореме Лапласа о свертке и с учетом условий физической реализуемости t : при имеем
w2 0 , а при t - |
w1 |
0 , имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
w (t, ) w1 (t, )w2 ( , )d w1 (t, )w2 ( , )d , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что весовая функция первого звена - |
формирующего фильтра, |
||||||||
есть |
w (t, ) e (t ) , |
а весовая функция второго звена - исходной системы, |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть |
w (t, ) e (t ) /T |
/ T |
, получаем: |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
t |
|
k |
|
t |
t |
|
|
w(t, ) |
|
e (t ) e |
T d |
|
e |
|
T e T d |
|
|
|
T |
T |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или