Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

246 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

мую АВ можно повернуть вокруг точки О так, чтобы точка А сов­

с помощью одного поворота вокруг некоторой оси. Это положение является частным случаем теоремы Эйлера (1707—1783), доказы­ ваемой ниже.

Произвольное плоское движение тела можно разбить на ряд следующих друг за другом бесконечно малых перемещений. В ре­ зультате получится ряд бесконечно близких положений /, 2, 3, 4, последовательно проходимых телом. Согласно доказанной теореме переход тела из положения / в положение 2 может быть осущест­ влен поворотом вокруг некоторой оси Ох; переход из положе­ ния 2 в положение 3 — поворотом вокруг другой бесконечно близ­

стремить к бесконечности, а смещение тела из каждого положения

2. Совершенно аналогично формулируется теорема Эйлера.

Согласно теореме Эйлера твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольного положения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, проходящей через эту неподвижную точку. Доказательство теоремы Эйлера проводится совершенно так же, как и соответствующей теоремы для плоского движения. Если одна из точек твердого тела С неподвижна, то его положение однозначно определяется заданием положений каких-либо двух точек, Л и В, не лежащих на одной прямой с точкой С. В качестве точек Л и В можно взять две точки на поверхности сферы с центром в точке С. Проведем через центр сферы С и точки А я В плоскость. Она пересечет сферу по дуге большого круга АВ. (См. рис. 128. Мы не рисуем отдельно соответ­ ствующую сферу и дуги больших кругов, а пользуемся прежним плоским рисунком, мысленно заменяя, где это нужно, прямолиней­ ные отрезки дугами больших кругов. Понятно, что центр сферы С на плоском рисунке изобразить нельзя.) Движение дуги АВ по поверхности сферы однозначно определяет и движение всего твер-

§ 47] ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ОБЩЕЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 247

дого тела. Пусть выбранная дуга перешла из положения АВ в поло­ жение AXBX. Соединим дугами больших кругов точку А с точкой Аъ а точку В с точкой Вг. Через середины этих дуг Е и D проведем перпендикулярные к ним дуги больших кругов ЕО и DO, пересе­ кающиеся в точке О сферы. Точку О соединим с центром сферы С прямой ОС. Докажем, что дуга АВ может быть переведена в поло­ жение А1В1 путем поворота вокруг оси СО. Действительно, по построению точки А и A l t а также точки В и Вх равноудалены от точки О. Ввиду этого твердое тело можно повернуть вокруг оси СО так, чтобы точка Л перешла в положение Лх . Докажем, что при та­ ком повороте точка В также перейдет в положение Вг. Для доказа­ тельства допустим, что точка В при повороте перешла не в положе­ ние Ви а в положениеБа . Проведем дуги больших кругов ОАи Л , 8 2 и ОВ2. Так как точка В2 находится на том же расстоянии от О, что и

Доказанная в начале этого параграфа теорема является частным случаем теоремы Эйлера, так как плоское движение плоского тела может рассматриваться как предельный случай движения по сфе­ рической поверхности бесконечно большого радиуса.

Рассуждая так же, как в случае плоского движения, из теоремы Эйлера можно вывести следующее следствие. Любое движение твер­ дого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматри­ вать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку. С течением времени мгновенная ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как в теле, так и в пространстве.

3. Рассмотрим теперь самый общий случай движения твердого тела. Выберем в теле произвольную точку О. Всякое движение твердого тела можно разложить на поступательное со скоростью ©0, равной скорости точки О, и вращательное вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Обозначая посредством о) вектор угловой скорости мгновенного вращения, можем написать для ско­

где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку Л (рис. 129). Скорость поступательного движения v0, конечно, зависит от выбора точки О. Но угловая скорость <о не зависит от положения точки О, к которой отнесено вращение твердого тела. Поэтому можно гово­ рить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая эту точку. Докажем это.

§ 48] С К А Т Ы В А Н И Е ТЕЛ С НАКЛОННОЙ. ПЛОСКОСТИ 249

Последнее слагаемое в нуль, вообще говоря, не обращается, а по­ тому в общем случае векторы L и со не коллинеарны. Они коллинеарны только тогда, когда в качестве начала О взято основание перпендикуляра, опущенного из М на ось вращения. В этом случае момент L относительно точки О сводится к моменту относительно

для одной материальной точки, но и для всего тела, покольку последнее можно рассматривать как систему материальных точек, вращающихся вокруг общей оси. Таким образом, формула (47.2) эквивалентна формуле (33.6), полученной ранее иным путем.

§48. Скатывание тел с наклонной плоскости

1.Пусть скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно геометрической оси С (рис. 130). Будем предпола­ гать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие сколь­ жения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плос­ кости на скатывающееся тело. Эти силы

венной оси вращения. При отсутствии скольжения мгновенная ось проходит через точку касания А. Так как мгновенная ось и ось, проходящая через центр масс С, движутся параллельно друг другу, то уравнение моментов имеет обычную простую форму

где 1А — момент инерции скатывающегося тела относительно мгно­ венной оси, а МА — момент внешних сил относительно той же оси. Внешними силами является сила тяжести mg и реакция опоры, действующая со стороны наклонной плоскости на скатывающееся

§ 48] СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 251

результат (48.3). Кроме того, получаем следующее выражение для силы трения сцепления:

состояния покоя. Если оно прошло вдоль наклонной плоскости

Дифференцируя это соотношение по времени и замечая, что ^ = снова получим формулу (48.2).

2. Так как на скатывающееся тело действует сила трения, то может возникнуть вопрос, почему в рассматриваемой задаче можно применять закон сохранения энергии в его механической ферме. Ответ заключается в том, что при отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгно­ венной оси вращения. Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не производит и не влияет на величину полной кинетической энергии скатывающегося тела. Роль силы трения сцепления Fz сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое каче­ ние. При наличии силы трения сцепления работа силы тяжести идет

Величину г можно назвать радиусом качения тела. Радиус качения есть расстояние между центром масс скатывающегося тела и мгно­ венной осью вращения. Для цилиндра или шара радиус качения равен геометрическому радиусу этих тел.

Ускорение скатывающегося тела и приобретенная им скорость поступательного движения зависят от отношения радиуса инерции к радиусу качения. Чем больше это отношение, тем медленнее

с высоты h, то вся его потенциальная энергия mgh переходит в кине­ тическую. Последняя складывается из кинетических энергий по­ ступательного и вращательного движений. Полная кинетическая энергия тела в нижнем положении равна mgh, т. е. зависит только от высоты h. Чем большая доля кинетической энергии приходится на вращение тела, тем медленнее оно скатывается с наклонной плоскости. Отношение кинетической энергии вращательного дви­ жения к кинетической энергии поступательного движения равно

Максимальное значение для ускорения а получается в случае чистого скольжения при отсутствии сил трения.

Пользуясь выражениями для моментов инерции, полученными в § 36, легко найти соответствующие радиусы инерции, а затем вы­ числить ускорение а. Таким путем получим следующие результаты.

же геометрической формы. При одинаковых массах моменты инерции

как это видно из формулы (48.5). Таким образом, твердое тело, обладающее осевой симметрией, например цилиндр или шар, при отсутствии скольжения катится по твердой горизонтальной пло­ скости прямолинейно и равномерно, совсем не испытывая силы сопротивления. Этот результат относится к идеализированным моделям тел. Тело и плоскость, по которой оно катится, должны быть идеально твердыми и гладкими. Для реальных тел он не спра­