Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

10. В общей точке подвеса А (рис. 76) подвешены шарик на нити длины I и однородный стержень длины L, отклоненный в сторону на некоторый угол. При возвра­ щении^ стержня в положение равновесия происходит упругий удар. При каком соотношении между массами стержня М и шарика т шарик и точка удара стержня будут двигаться после удара с равными скоростями в про­

тивоположных направлениях? При каком соотношении между массами Мит описанный процесс невозможен?

с угловой скоростью ш2. Моменты инерции дисков относительно указанной оси равны соответственно / х и / 2 . Оба диска при ударе сцепляются друг с другом (при помощи острых шипов на их поверхностях). На сколько изменится общая кинетическая энергия вращения системы после падения второго диска? Чем объясняется изменение энергии? Геометрические оси обоих дисков являются

12. Шкивы двух маховиков соединены ремнем (рис. 77). Радиусы шкивов равны Rx и R2. Моменты инерции маховиков относительно их геометрических

Рис. 77.

осей равны 1г и /2 . Удерживая второй маховик и ремень неподвижными, раскру­ чивают первый маховик до угловой скорости со0 , вследствие чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение. Затем ремень и второй ма­ ховик отпускают. Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил тре-

рости вращения маховиков сох и со2, т. е. скорости после прекращения скольже­

на землю, поворачиваясь вокруг нижнего основания. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю. Какая точка столба будет в этот момент иметь ту же скорость, какую имело бы тело, падая с той же высоты,

стоял в вертикальном положении на абсолютно гладком льду, а затем начал

кинетической энергии вращения L /2 /со2 вокруг центра масс с угловой скоростью со.

В нижнем положении, когда столб горизонтален, vc = 1 / 2 !<*>• Имея это в виду. а также используя выражение / = V2 т ^< получим vc = V2 V^gl. Скорость

верхнего конца столба вдвое больше, т. е. равна v = |/3g/. Отсюда видно, что результаты будут такими же, что и в предыдущей задаче. Однако характер дви­ жения будет другим. В предыдущем случае столб при падении вращался вокруг своего нижнего основания. При этом центр масс столба двигался по дуге окруж­ ности. В рассматриваемом случае, поскольку все действующие силы направлены вертикально, центр масс столба при его падении все время будет находиться на одной и той же вертикали.

скорости из положения /, вращаясь без трения вокруг неподвижной горизонталь­ ной оси О. Найти горизонтальную Frop и вертикальную FBepr составляющие силы, с которыми ось О действует на стержень в горизонтальном положении 2.

Применив к вращению стержня в положении 2 уравнение (33.4), получим

da l dt

Отсюда находим вертикальную составляющую ускорения центра масс в том же положении:

на двух абсолютно твердых опорах (рис. 80, а). Одну из них выбивают. Найти

шуюся опору, скачкообразно уменьшается вдвое. Такое скачкообразное изме­ нение связано с идеализацией — балка и опора считаются абсолютно твердыми. Реальные балки и опоры деформируются. При учете этого обстоятельства на­ грузка на опору F будет меняться непрерывно.

19. Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот из стойки на ру­ ках, т. е. вращается, не сгибаясь, вокруг перекладины под действием собствен­ ного веса. Оценить приближенно наибольшую нагрузку F на его руки, прене­ брегая трением ладоней о перекладину.

/4а2т \

О т в е т . F = ll-\-——\mg, где т — масса, / — момент инерции чело­ века относительно перекладины, а — расстояние между осью вращения и цен­ тром масс человека. Если при оценке момента инерции моделировать человека

до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит, в этих по­

без трения скользит маленький шарик (рис. 82). В начальный момент шарик находился на высоте h0, а скорость его и0 была горизонтальна. Найти v0, если известно, что при дальнейшем движении шарик поднимается до высоты п, а за­

в тепловую (внутреннюю) энергию, а сам он испарился. Какое максимальное

радиоизлучения, следующие друг за другом с высокостабильными периодами, которые для известных к настоящему времени пульсаров лежат в пределах при­ мерно от 3 - 10 - 2 до 4 с. Согласно современным представлениям пульсары пред­ ставляют собой вращающиеся нейтронные звезды, образовавшиеся в результате гравитационного сжатия. Нейтронные звезды подобны гигантским атомным ядрам, построенным из одних только нейтронов. Плотность вещества р в нейтронной звезде не однородна, но при грубых оценках ее можно считать одной и той же по всему объему звезды и по порядку величины равной 101 4 г/см3 . Оценить период вращения Т, с каким стало бы вращаться Солнце, если бы оно превратилось в нейтронную звезду. Плотность вещества Солнца возрастает к его центру, а раз­ личные слои его вращаются с различными скоростями. При оценке этими обстоя-

с угловой скоростью со0 вокруг неподвижной оси, проходящей через один из концов стержня перпендикулярно к его продольной оси. На стержень надет ша­ рик массы т. Вначале шарик находится на свободном конце стержня и вращается вместе с ним (упор, имеющийся на конце стержня, не позволяет шарику со­ скользнуть со стержня). В некоторый момент шарику сообщается скорость v, направленная вдоль стержня к оси вращения. Определить наименьшее расстоя­ ние /, до которого приблизится шарик к оси вращения, и угловую скорость системы со в этом положении. В какую сторону будет изогнут стержень, когда шарик движется по направлению к оси вращения? Как изменится изгиб стержня, когда шарик, достигнув наименьшего удаления до оси, начнет двигаться в об­ ратном направлении?

к оси вращения стержень будет изгибаться в сторону, противоположную вра­ щению. При удалении шарика изгиб стержня изменится в обратную сторону.

§ 38. Законы сохранения и симметрия пространства и времени

1. Закон сохранения энергии является следствием однородности времени, закон сохранения импульса — следствием однородности пространства, а закон сохранения момента импульса — следствием изотропии пространства. Такое утверждение встречается очень часто. Однако из-за своей краткости оно может привести к ошибоч­ ным представлениям. Можно подумать, что указанных свойств пространства и времени достаточно, чтобы вывести эти законы сохранения. А это неверно. Перечисленные законы сохранения являются следствиями второго закона Ньютона (или законов, ему эквивалентных), если его дополнить некоторыми утверждениями от­ носительно действующих сил. Так, при выводе законов сохранения импульса и момента импульса достаточно предположить, что силы подчиняются закону равенства действия и противодействия. Но вместо этого закона можно воспользоваться и другими положе­ ниями. И утверждение, приведенное в начале этого параграфа, надо понимать в том смысле, что перечисленные в нем законы сохра­ нения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени, а именно: однородность пространства и времени, а также изотропию пространства. Впрочем, при выводе закона сохранения энергии надо ввести и некоторые более специальные предположения относи­ тельно характера действующих сил.

2. Прежде чем приводить вывод законов сохранения, исполь­ зующий однородность и изотропию пространства, а также однород-

§ 3 8 ] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ 2 0 1

т. е. работа сил над механической системой равна приращению ее кинетической энергии К (см. § 22). Следующую часть наших рас­ суждений проведем применительно к одной материальной точке. В случае системы материальных точек все будет обстоять так же, изменится только число аргументов, от которых зависит потен­ циальная функция U, вводимая ниже. Предположим, что проекции

Однако сама потенциальная функция U может зависеть явно не только от координат х, у, г рассматриваемой материальной точки, но и от времени t: U = U (х, у, г, t). Например, это будет так, когда точка находится в силовом поле других тел, которое меняется во времени. Работа, производимая действующими силами над мате­ риальной точкой при перемещении ее вдоль некоторой кривой из положения 1 в положение 2, представляется интегралом

42 = - \ { f x d x + fydy + f z d z ) '

взятым вдоль той же кривой. Прибавим и вычтем под знаком инте­ грала член y^dt. Тогда, вводя полный дифференциал

представим предыдущее выражение в виде

ди dt

В таком виде оно справедливо и для системы материальных точек. Поэтому дальнейшие рассуждения не связаны с предположением, что система состоит из одной материальной точки. После интегри­ рования получаем

Комбинация этой формулы с (38.1) приводит к соотношению

До сих пор мы не использовали условие замкнутости системы и свойства однородности времени, поэтому наши рассуждения приме­ нимы и для незамкнутых систем. Допустим теперь, что система зам­ кнута. Тогда ввиду однородности времени функция U не может

явно зависеть от времени, т. е. ^ = и. В результате получим

Допустим, что механическая система замкнута. Все силы Fx, F2, действующие на материальные точки системы, являются силами внутренними, внешних сил нет. Перенесем систему из произволь­ ного положения 1 в другое произвольное положение 2, чтобы все материальные точки ее претерпели одно и то же смещение г и при­ том так,' чтобы их скорости остались прежними по величине и направлению. Ввиду однородности пространства на такое переме­ щение не требуется затраты работы. Но эта работа представляется

вие, при выполнении которого из второго закона Ньютона полу­ чается закон сохранения импульса (см. § 12).

5. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы доказывается в точности так же. Используя изотропию простран­ ства, можно доказать, что геометрическая сумма моментов внутрен­ них сил, действующих в системе, равна нулю: Mx + М2 + ... = 0 (см. задачу 2 к § 46). Отсюда немедленно следует рассмариваемый закон (см. § 30).

ЗА Д А Ч И

1.Пусть U (rlt г2) означает потенциальную энергию взаимодействия двух

материальных точек как функцию радиусов-векторов гх и г2 , определяющих их положения в пространстве. Используя однородность пространства, доказать,

Разумеется, вместо первой точки можно взять любую из материальных точек

О т в е т . Потенциальная энергия U может зависеть только от расстояний каких-либо п — 1 материальных точек системы от остальной точки.

3. Используя однородность пространства и гаЛилеевский принцип относи­ тельности, показать, что сила взаимодействия материальных точек 1 и 2 не за­ висит от их координат и скоростей, а может зависеть только от разностей этих координат и скоростей.