Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

силы трения, в телах возбуждаются колебания и волны и т. д. Однако, если удар неупругий, то в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твердое тело. Его скорость можно найти, не вдаваясь в механизм явления, а исполь­ зуя только закон сохранения импульса.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар на примере столкновения шаров. Пусть шары движутся вдоль прямой,

Рис. 47. соединяющей их центры, со скоростями vx и ©2 (рис. 47). В этом случае говорят, что удар является центральным. Обозначим через v общую

скорость шаров после столкновения. Закон сохранения импульса дает

Кинетические энергии системы до удара и после удара равны соот­ ветственно

при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

2 . Неупругое столкновение тел всегда должно сопровождаться потерей кинетической энергии макроскопического движения. Действительно, согласно теореме Кёнига, кинетическая энергия механической системы складывается из двух частей: 1) кинетической энергии движения системы как целого со скоростью ее центра масс; 2) кинетической энергии относительного движения материальных точек, на которые мысленно можно разбить систему, около ее центра масс. Обе части как кинетические энергии существенно положительны. Первая из них в ре­ зультате столкновения тел не меняется в силу теоремы о движении центра масс. Вторая же после столкновения исчезает, так как в результате неупругого столкно­ вения относительное движение частей системы прекращается, остается только общее движение их со скоростью центра масс. Поэтому столкновение приводит к уменьшению полной кинетической энергии макроскопического движения. Зато возрастает внутренняя энергия тела (см. следующий параграф).

3. Нетрудно понять, почему в формулу (26.2) вошли приведенная масса и относительная скорость сталкивающихся шаров. Согласно общей формуле (25.7) потеря кинетической энергии по абсолютной величине равна работе диссипатив-

ных сил, действующих в системе во время столкновения. При вычислении этой работы, как было показано в § 24, можно одно из сталкивающихся тел считать неподвижным, а второе — движущимся относительно него. Относительное движе­ ние двух материальных точек описывается уравнением цг = F, аналогичным вто­ рому закону Ньютона. Ввиду этого работа диссипативной силы F за все время столкновения равна г/2ц (vx — и2 )2 . Эта величина и дает убыль кинетической

энергии системы за то же время.

Когда сталкиваются два тела, то разрушительное действие при столкновении зависит только от их относительной скорости их — у2 . Кинетическая энергия, от которой зависит разрушительный эффект, равна х /2 ц. (Ух — t>2)2. Остальная часть

кинетической энергии связана с движением центра масс системы. Эта энергия при столкновении не изменяется, а потому она на разрушение не оказывает никакого влияния. Например, если сталкиваются два одинаковых автомобиля, движу­ щиеся навстречу друг другу с одной и той же скоростью v, то энергия, от которой зависит разрушение, равна

т. е. вся кинетическая энергия тратится на разрушение. Это ясно без вычислений, так как после столкновения оба автомобиля, независимо от того, в какой мере они пострадали при аварии, должны остановиться. Тот же разрушительный эффект получится и в том случае, когда один из автомобилей неподвижен, а другой дви­

атомными ядрами и элементарными частицами во время столкновения, они яв­ ляются целью исследования. В таких случаях стремятся к тому, чтобы разруши­ тельные эффекты усилить. Из изложенного следует, что этого можно добиться, приводя в движение обе сталкивающиеся частицы. При одной и той же затрате энергии наибольшее разрушение получится тогда, когда центр масс сталкиваю­ щихся частиц в лабораторной системе отсчета неподвижен. Этот принцип исполь­ зуется в так называемых ускорителях на встречных пучках. Современные уско­ рители представляют дорогие и сложные технические сооружения, применяющиеся

для исследования различных процессов, происходящих при столкновениях час­ тиц высоких энергий. Обычно ускоренные частицы направляются на неподвиж­ ную мишень, при столкновении с которой и происходят процессы, подлежащие изучению. Тот же эффект, однако, может быть достигнут с меньшей затратой энер­ гии, если привести в движение также саму мишень навстречу пучку. В качестве мишени используется встречный пучок ускоренных частиц. Если массы и скорости частиц в обоих пучках одинаковы, то согласно нерелятивистской механике должен получиться выигрыш в энергии в два раза. В действительности в ускорителях имеют дело с релятивистскими пучками, и при расчетах надо пользоваться реля­ тивистской механикой. Оказывается, что в релятивистском случае можно полу­ чить принципиально ничем не ограниченный выигрыш в энергии, используя час­ тицы, скорости которых приближаются к скорости света (см. т. IV).

4. Во время столкновения в системе действуют диссипативные силы, уменьшающие кинетическую энергию макроскопического движения. Поэтому применять закон сохранения энергии в его механической форме к процессам, происходящим во время удара, нельзя. Но после того как удар закончился и сталкивающиеся тела соединились в одно тело, законом сохранения энергии уже

Было бы грубой ошибкой рассуждать следующим образом. В нижнем положе­ нии (до удара) энергия системы равна кинетической энергии пули iig mV2. При поднятии маятника эта энергия переходит в потенциальную энергию (М -f- т) gh. Такой способ рассуждения приводит к ошибочной формуле

Так как в случае баллистического маятника т <^ М, то эта формула дает совер­ шенно неправильное (завышенное во много раз) значение для высоты h. Только

вдругом предельном случае, когда т !> М, обе формулы фактически совпадают, как это ясно и без всяких вычислений. Ошибка приведенного рассуждения состоит

втом, что оно не учитывает потери механической энергии при ударе.

При практических вычислениях удобно выразить высоту h через угол откло­ нения маятника из положения равновесия а, который легче поддается измерению, чем высота п. Очевидно h— I (1 — cos а) = 21 sin2 (а/2), где I — длина маятника. Пользуясь этим выражением, формулу (26.3) нетрудно привести к виду

запас кинетической энергии в системе уменьшается. Может происхо­ дить и потеря потенциальной энергии. Так, например, если растя­ нуть пружину, перейдя при этом предел упругости, а затем предо­ ставить ее самой себе, то она не возвращается в исходное состояние, в пружине сохраняется некоторое остаточное удлинение. При этом

щих в системе. Однако такое объяснение является чисто формаль­ ным и нефизическим, поскольку оно совсем не раскрывает физиче­ скую природу диссипативных сил.

2. Надо учесть, что всякий раз, когда наблюдается потеря механической энер­ гии, в системе происходят какие-то внутренние изменения. Если, например, с помощью чувствительного термометра или термопары измерить температуру шаров до и после неупругого удара, то опыт покажет, что в результате удара шары немного нагрелись. То же самое происходит при трении и остаточной деформации. При продолжительном и интенсивном трении нагревание настолько сильное, что для его обнаружения не требуется никаких специальных приборов. Дикари добы­ вали огонь трением одного куска дерева о другой. Если на ось мотора насадить диск из прочного картона (толщиной около 1 мм) и привести его в быстрое враще­ ние, то можно перепилить деревянную доску, поднеся ее к краю этого вращаю-

щегося диска (картонная пила). Явление объясняется тем, что в месте контакта вращающегося картона с доской выделяется много тепла из-за трения. Дерево в этом месте сильно разогревается, обугливается и разрезается вращающимся диском. Картонный диск при этом не разрушается, так как он интенсивно охлаж­ дается из-за быстрого вращения в окружающем воздухе. Разрез доски получается гладким и хорошо отполированным. Он имеет буроватую окраску из-за обуглива­ ния при трении. Решающую роль в этом опыте играет натяжение картона, возни­ кающее при вращении и придающее ему твердость. Вращением доски вокруг картонного диска ее распилить нельзя.

Могут быть и более сложные явления, сопровождающие потери механической энергии. Примером может служить следующая демонстрация. На вал небольшой динамомашины надет деревянный шкив, на который намотана длинная прочная нить. Нить перекинута через блок, укрепленный около потолка аудитории. К ее свободному концу подвешен груз в несколько килограммов. Вращая шкив, подни­ мают груз к потолку аудитории. Цепь динамомашины может замыкаться через ключ на небольшую электрическую лампочку. Если отпустить шкив, не замыкая цепи лампочки, то динамомашина не вырабатывает электрического тока. В этом случае груз падает ускоренно — потенциальная энергия груза переходит в кине­ тическую энергию. Если снова поднять груз и замкнуть цепь лампочки, когда он пройдет приблизительно половину пути до пола, то лампочка загорается, а дви­ жение груза и вращение динамомашины заметно затормозятся. После этого груз медленно опускается до пола с постоянной скоростью, а лампочка горит постоян­ ным накалом во все время падения груза. Потенциальная энергия груза непре­ рывно уменьшается. Однако она не пропадает бесследно: динамомашина непре­ рывно вырабатывает электрический ток, выделяющий тепло в нити лампочки.

3. Макроскопическая механика учитывает только кинетическую энергию макроскопического движения тел и их макроскопических частей, а также их потенциальную энергию. Но она полностью отвлекается от внутреннего атомистического строения вещества. При ударе, трении и аналогичных процессах кинетическая энергия видимого движения тел не пропадает. Она только переходит в кине-' тическую энергию невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества, а также в потенциальную энергию их взаимо­ действия. Эта часть энергии тела получила название внутренней энергии. Беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла. Таково физическое объяс­ нение кажущейся потери механической энергии при ударе, трении и пр.

Представление о теплоте как о беспорядочном движении ато­ мов и молекул окончательно утвердилось во второй половине XIX века и составило эпоху в науке. Примерно тогда же в физике утвердился и взгляд на закон сохранения энергии как на общефи­ зический закон, не знающий никаких исключений. Согласно этому закону энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую. Однако необходимо расширить понятие энергии, введя новые формы ее: энергию электро­ магнитного поля, ядерную энергию и пр. При этом необходимо заметить, что дать окончательную классификацию различных ви­ дов энергии не представляется возможным. Это можно было бы сделать, если бы окончательно были установлены все законы при-

§ 28] АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ У Д А Р 149

роды, и развитие науки, во всяком случае в ее основах, было бы окон­ чательно завершено.

Деление энергии на кинетическую и потенциальную имеет смысл только в механике и не охватывает всех форм энергии. Кроме того, отнесение энергии к тому или иному виду часто зависит от точки зрения. Например, в макроскопической механике упругая энер­ гия сжатого идеального газа считается потенциальной. Но с моле­ кулярной точки зрения упругость газа объясняется тепловым движением его молекул. Поэтому с этой точки зрения ту же энер­ гию следует считать кинетической.

4. Принцип сохранения энергии, наряду с громадными конкрет­ ными применениями к уже известным явлениям, дает руководящие указания и в неисследованных областях. Всякое кажущееся нару­ шение этого принципа указывает на существование новых явлений, не укладывающихся в рамки существующих научных концепций. Так было, например, при открытии радиоактивности. Так было и с открытием нейтрино. На опыте были обнаружены кажущиеся нарушения законов сохранения энергии и импульса в явлениях 6-распада атомных яДер. Это обстоятельство вынудило Паули (1900—1958) ввести гипотезу, впоследствии подтвержденную экспе­ риментально, что в р-распаде наряду с известными заряженными частицами (электронами и атомными ядрами) участвует еще неиз­ вестная нейтральная частица, которая и была названа нейтрино. Эта частица и уносит недостающие энергию и импульс. Благодаря исключительно слабому взаимодействию с веществом она усколь­ зает от наблюдения. (Позднее, когда было выяснено, что каждой частице соответствует античастица, оказалось, что в явлениях электронного р-распада участвует не нейтрино, а антинейтрино.)

Общефизический принцип сохранения энергии охватывает, таким образом, не только явления, рассматриваемые в макроскопической механике, но и такие физические явления, к которым законы такой механики не применимы. Поэтому он не может быть выведен из уравнений макроскопической механики, а должен рассматриваться как одно из наиболее широких обобщений опытных фактов.

§28. Абсолютно упругий удар

1.Интересные превращения кинетической энергии в потенци­

альную и обратно наблюдаются при абсолютно упругом ударе. Так называется столкновение тел, в результате которого их внутрен­ ние энергии не меняются. В чистом виде такой случай при столкно­ вении макроскопических тел не встречается. Но к нему можно по­ дойти довольно близко. Это имеет место, например, при столкно­ вениях бильярдных шаров из слоновой кости или подходящей пластмассы. При столкновениях атомных, ядерных или элементар-

ных частиц может реализоваться и случай абсолютно упругого удара в чистом виде. Такая возможность связана с квантовыми законами. Внутренние состояния и соответствующие им значе­ ния внутренней энергии атомных частиц дискретны (квантованы). Частицы при столкновении могут разлететься без изменения внут­ ренних состояний. Тогда столкновение и будет абсолютно упругим. Так будет всегда, когда кинетической энергии сталкивающихся частиц недостаточно, чтобы перевести хотя бы одну из них из нор­ мального в ближайшее возбужденное состояние, характеризую­ щееся большим значением внутренней энергии. При больших энергиях столкновение может сопровождаться возбуждением одной или обеих частиц с увеличением их внутренних энергий. На­ конец, может быть и такой случай, когда сталкиваются воз­ бужденные частицы и в результате столкновения их внутренние энергии уменьшаются. Во всех таких случаях говорят о неупругих ударах.

2. Рассмотрим сначала центральные удары абсолютно упругих шаров. В этом случае скорости шаров до удара vx и у2 направлены

ниться не может, так как не может измениться скорость самого центра масс. Может претерпевать превращения только кинетическая энергия 1 / 2 u- (vx — v2f относительного движения шаров. В случае абсолютно упругого удара шары при столкновении сплющи­ ваются, и кинетическая энергия частично переходит в потенциаль­ ную энергию упругих деформаций. В некоторый момент вся кине­ тическая энергия относительного движения 1 /2 р, (vx — и2 )2 пере­ ходит в потенциальную энергию упруго деформированных шаров. В этот момент шары аналогичны сжатым пружинам, стремящимся перейти в недеформированное состояние. Ввиду этого начинается обратный процесс перехода энергии упругих деформаций в кине­ тическую энергию поступательного движения шаров. Когда он заканчивается, шары разлетаются в разные стороны и вновь ока­ зываются не деформированными. Таким образом, кинетическая энергия поступательного движения шаров снова принимает исход­ ное значение, каким оно было до удара. Для реальных тел этот процесс осложняется возникновением упругих возмущений, рас­ пространяющихся в шарах со скоростью звука, излучением звуко­ вых волн, а также внутренним трением и остаточными деформа­ циями. После столкновения часть энергии уносится в виде энергии таких упругих возмущений, внутренних движений и звуковых волн, излученных в окружающую среду. Эта часть энергии в конце концов переходит в тепловую (внутреннюю) энергию. Она может быть очень малой и в предельном случае идеально упругих шаров обращается в нуль.

152 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. IV

равен нулю, и законы сохранения импульса и энергии в такой си­

Эта система уравнений имеет два решения, которые могут быть указаны без вычислений. Первое решение

не удовлетворяет условиям задачи. Годится только второе решение, а именно

Мы видим, что в системе центра масс столкновение приводит просто к изменению знака каждой из скоростей.

гих шаров, центры которых расположены вдоль одной и той же прямой линии (рис. 49). В соответствующем демонстрационном