Кванты лекции 2 семестр
.pdfТеория квантовых переходов. Общее выражение для вероятности перехода из одного состояния в другое
Одной из важнейших задач квантовой теории является задача перехода из одного состояния в другое, которая может быть описана следующим образом.
Пусть в момент времени t0 мы имеем квантовую систему, характеризующуюся тем что для нее величина L имеет определенное значение L Ln . Такая система будет описываться ВФ n ( x )
, которая является СФ оператора L и принадлежит СЗ L Ln . Про такую функцию говорят,
что она находится в состоянии n (подразумевается дискретный спектр)
С течением времени благодаря внешним силам или в силу внутренних изменений состояния, система будет претерпевать изменение. К моменту времени t наша система будет описываться некой новой ВФ L m( x ) . Это новое состояние системы возникающее из прежнего
состояния будет системой с неопределенным значением параметра L . Очевидно, новое состояние системы представляет собой суперпозицию состояний с различными значениями L . О системе, состоянию которой соответствует величина L Ln , говорят, что она совершила
квантовый переход из состояния n в состояние m. Математически это будет выполняться следующим образом.
Предположим, что на систему, описываемую не зависящим от времени оператором Гамильтона
H0 действует в течение некоторого времени возмущение, оператор которого мы можем записать следующим образом
W( t ) 0 |
t |
|
V ( t ) |
t 0, |
t |
0 |
Во время взаимодействия оператор Гамильтона будет иметь вид
H H0 V( t ) (2)
Оператор Гамильтона (2) будет зависеть от времени и соответствуя ВФ будет описываться волновым УШ
i |
|
H |
|
V ( t ) (3) |
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
Очевидно, что уравнение (3) не имеет стационарных решений. Для определения ВФ, удовлетворяющей уравнению (3), перейдем к представлению взаимодействия
( x,t ) al ( t ) l ( x )exp iElt (4)
l
H0 l ( x ) El l ( x ) (5)
Предположим также, что до включения взаимодействия система находится в стационарном состоянии с энергией En , следовательно в сумме (4) при t 0 (до взаимодействия) отличен от нуля только член L Ln , поэтому ВФ начального состояния
нач n( x )exp iEnt
Коэффициенты t 0 .
По стечению действия возмущения, то есть при t , коэффициенты al ( ) зависят от вида оператора возмущения (1) и от начального состояния n . Поэтому эти коэффициенты будем снабжать вторым индексом aln . Таким образом при t система будет находиться в состоянии, характеризующемся ВФ
- 1 -
кон aln ( ) l ( x )exp iElt (8)
l
При этом вероятность того, что система будет находиться в некотором состоянии, характеризующемся энергией El будет определяться квадратом модуля коэффициентов
разложения aln ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
w ( ) |
|
a |
( ) |
|
2 (9) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта величина будет определять вероятность перехода системы за время |
из начального |
|||||||||||||
состояния n в конечное состояние l |
n l . Для вычисления коэффициентов aln подставим |
|||||||||||||
разложение (4) в волновое УШ (3): |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a ( t ) |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||
i |
|
ln |
|
l ( x )exp iElt |
|
|
|
al ( t ) l ( x )El exp iElt |
|
|
||||
|
t |
|
|
|
||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||
al ( t )H0 l ( x )exp iElt |
al ( t )W l ( x )exp iElt |
|
|
|
||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
Умножая слева на * ( x ) и интегрируя по переменной x оставляем зависящие только от |
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
||||
координаты |
|
|||||||||
m* ( x ) l ( x )dx lm |
|
|||||||||
i |
am( t ) |
l ( x ) m |
|
W |
|
l al |
( t )exp iwmlt (10) |
|||
|
|
|||||||||
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
Wml m* ( x )W l ( x )dx (11) |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
m |
W |
l |
В дальнейшем будем рассматривать такие возможные состояния, в которых матричный элемент m W l 0 . В этом случае член l m будет отсутствовать. Для вычисления вероятности
перехода нужно решить уравнение (10) при начальном условии am( 0 ) mn . Если матричные элементы малы и время возмущения не очень велико, так что за время действия возмущения значение коэффициентов am( ) мало изменяется относительно малых значений, то систему (10) будем решать методом последовательных приближений.
Можно в правую часть системы уравнений (10) подставить в начальные значения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a1 |
( t ) |
|
|
|
|
|
|
n exp iwmnt (13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
i |
|
mn |
|
|
|
|
m |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это уравнение легко решается интегрированием и тогда мы получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a1mn ( t ) |
1 |
|
t |
m |
|
W |
|
n exp iwmnt dt |
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a2 |
( t ) |
|
|
|
|
|
|
n exp iwmnt |
1 |
m |
|
|
|
t |
|
|
|
n exp iwmnt dt (15) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
i |
|
mn |
|
|
|
|
|
m |
W |
|
W |
n m |
|
W |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
(16) |
||||||
amn |
( t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Wmn ( t |
|
|
|
|
Wmn( t |
)exp iwmnt |
|
||||||||||||
|
|
|
Wmn exp iwmnt |
|
|
)exp iwmnt |
|
|
dt dt |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Итоговое решение будет в виде бесконечного ряда. Этот ряд в кратком виде
- 2 -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( t )dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
amn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
m |
Pe |
|
0 |
|
|
|
|
n |
(17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
i |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
W ( t )dt |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
W ( t |
|
|
|
|
|
W ( t |
|
) W ( t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Pe |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
)dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dt dt |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
1 |
|
3 |
t |
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
W ( t |
|
) W ( t |
|
) W ( t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
)dt |
|
... |
|
|
|
|
(18) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор возмущения в представлении взаимодействия
W( t ) e i H0tWe i H0t (19)
P - хронологический оператор Дайсона
|
a( t |
)b( t |
2 |
) |
|
Pa( t1 )b( t2 |
|
1 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
b( t2 |
)a( t1 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
t1 t2 t1 t2
Для многих задач достаточно ограничится выражением (14) соответствующим 1 порядку приближения теории возмущения
2) Адиабатическое и внезапное включение и выключение взаимодействия
Рассмотрим различные приложения теории квантовых переходов
n m
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
wmn ( ) |
a1mn ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
Wmn ( t )eiwmnt dt |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
( ) |
1 |
|
W |
( t )eiwmnt dt |
|
1 |
|
|
W |
( t )deiwmnt |
1 |
W ( t )eiwmnt |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
w |
|
|
w |
|||||||||||||||||||||||||||||
mn |
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
mn |
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn 0 |
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
dW ( t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
iw t |
|
1 |
|
dW ( t ) iw t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
e |
|
mn |
dt |
|
|
|
|
|
|
mn |
|
e |
mn |
dt |
|
|
|
|
|
||||||
|
w |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
mn 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим 2 предельных случая включения-выключения взаимодействия: 1)Адиабатическое 2)Внезапное
1) В этом случае изменение энергии взаимодействия за время периода колебаний в атомной системе значительно мало по сравнению с абсолютной величиной разности энергий соответствующих состояний
w 1 |
dWmn |
|
w |
(3) |
|
||||
mn |
dt |
|
mn |
|
|
|
|
|
Если выполняется (3), то за время изменения знака функции eiwmnt множитель, стоящий перед экспонентой меняется мало, поэтому этот множитель можно вынести за знак интеграла
- 3 -
wmn ( ) |
4 |
|
dWmn |
|
|
2 |
wmn |
( ) |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
(4) |
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
wmn( ) |
wmn |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В пределе сколь угодно малых изменений прилож значений вероятностей всякого перехода с изменением энергии стремится к нулю. Таким образом при достаточно медленном изменении система, находящаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии будет продолжать оставаться в том же состоянии
Внезапное изменение взаимодействия
В течении короткого времени t , малого по сравнению с периодом колебаний в атомной системе
w 1 |
dWmn |
|
w |
(5) |
|
||||
mn |
dt |
|
mn |
|
|
|
|
|
Если теперь посмотреть на выражение (2) (коэффициенты первого порядка), то при внезапном выключении взаимодействия производная становится сколь угодно большой. Соответствующий вклад в интеграл только за счет множителя t . За промежуток времени t он практически не изменяется. Поэтому экспонента выносится за знак интеграла.
Интегрируя, получаем, что вероятность перехода
wmn |
|
|
W mn |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
||||
|
|
w |
|
2 |
||
|
|
|
mn |
|
|
|
ac ; a - размер атома, c - скорость света
За это время происходит распад. Для вычисления вероятности перехода можно воспользоваться тем обстоятельством, что волновая функция в начальный момент времени (момент включения взаимодействия) не меняется. Пусть в момент времени t 0 система находится в состоянии соответствующем ВФ n которая является СФ оператора Гамильтона
H0 . Предположим что при t 0 происходит внезапное изменение оператора Гамильтона и далее он остается неизменным и равным H , а разница значительна. Обозначим СФ оператора H через n ( r ), а СЗ через En . По условию в момент времени t 0 система описывалась волновой функцией n ( r ) , которая сохраняется и при включении взаимодействия. Разложим ее в ряд по СФ
(1)
Amn - коэффициенты разложения, которые представляют собой интеграл, имеющий вид:
Amn m* ( r ) n( r )dV (2)
Квадраты модулей коэффициентов разложения представляют собой вероятность перехода
n m: wmn Amn 2 (3). Дальнейшие изменения состояние системы с течением времени будут описываться волновыми уравнениями Шредингера
- 4 -
iH (4)
t
( r,t ) Amn m( r )exp( iEmt ) (5)
В качестве примера вычислим вероятность возбуждения электрона в атоме при внезапном изменении заряда ядра. Для упрощения расчетов предположим, что атом содержит 1 электрон (водородоподобный атом). Предположим, что первоначальное состояние было 1s состояние
(невозбужденное основное)
z z 1
|
|
|
|
z 12 |
|
z2 |
|
|
|
||||
100( r ) r |
|
|
|
exp |
|
|
00 |
(6) |
|||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
4 |
|
e2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После внезапного изменения заряда ядра ВФ стационарного состояния будут соответствовать водородоподобным ВФ
nlm fnl ( r ) lm( , ) (7)
В соответствии с формулой (2) (3) вероятность возбуждения уровня с индексами nl будет определяться квадратом модуля коэффициента
Anl ,10 nlm* ( r ) 100( r )dV (8)
Интеграл по угловым переменным в силу ортогональности шаровых функций будет 0 в случае если nl будет составлять s состояние
Запишем ВФ для 2s состояния
|
z 1 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 r |
|
|
|
z 1 r |
00 (9) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8z z 1 |
3 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zr |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f20( r )exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A2010 |
|
|
|
|
|
|
r dr |
|
|
(10) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
3z 1 |
|
|
1s 2s
w(1s 2s ) 211 z3( z 1)3 ( 3z 1)8
Вероятность перехода под влиянием возмущения, зависящего от времени
Определим вероятность перехода квантовой системы из состояния En Em под действием
W ( t ) |
0 t |
|
||
возмущения V ( t ), которое имеет вид V ( t ) |
0 |
t 0 |
t |
(1) |
|
|
Мы считаем, что матричный элемент оператора возмущения очень мал, поэтому первое приближение верно для времен t . Тогда получим, что коэффициент разложения
a( 1 )( t ) |
1 |
|
W |
( t )eiwmntdt |
W ( t )eiwmntdt |
(2_ |
||
i |
|
|||||||
mn |
mn |
|
|
mn |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Полученное выражение для коэффициента разложения имеет простой смысл. Возмущение W( t ) мы можем разложить в интеграл Фурье
- 5 -
|
|
|
|
W ( t ) W ( w )eiwtdw (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
W( w )- Фурье-образ W( w ) |
W( t )eiwt dt (4) |
||
2 |
|||
|
|
||
|
|
Матричный элемент оператора возмущения мы представим в следующем виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( t ) |
|
* ( x )W ( t ) |
( x )dx |
|
* ( x ) |
|
|
W ( w )eiwtdw |
( x )dx |
||
mn |
n |
n |
|
n |
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e iwt dw m* ( x )W ( w ) n ( x )dx Wmn ( w )e iwtdw |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W( w ) - матричный элемент от Фурье-образа оператора возмущения |
Применим теорему Фурье и получим выражение для матричного элемента
Wmn ( w ) 21 Wmn( t )eiwnmtdt (6)
Сравнивая выражение (6) с выражением (2) мы видим, что коэффициенты разложения 1 порядка теории возмущения равны
amn( 1 ) 2i Wmn wmn (7)
Отсюда вероятность перехода из состояния с энергией En Em будет равна
wmn 4 22 Wmn wmn 2 (8)
Полученная формула для вероятности квантового перехода содержит важный результат. Из нее видно, что вероятность перехода 0 когда 0 матричный элемент Фурье-компоненты, то есть переход En Em возможен лишь в том случае, когда в спектре возмущения содержится
частота перехода wmn Em En (9), то есть квантовый переход носит резонансный
характер. Положение выглядит так, как если бы квантовая система являлась совокупностью осцилляторов с собственными частотами равными частотам Бора. При действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присутствующими во внешнем возмущении.
Вероятность перехода под влиянием возмущения, не зависящего от времени
Рассмотрим случай, когда оператор возмущения имеет постоянное значение, равное W , между моментами включения и выключения взаимодействия и скачком изменяется до нуля вне пределов этого интервала.
W const |
0 t |
|
|
V ( t ) |
0 t 0 |
t |
(1) |
|
|
||
|
|
|
Так как матричный элемент оператора возмущения не зависит от координат, его можно вынести в выражении для коэффициентов разложения первого порядка теории возмущения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
m |
W |
n |
m |
W |
n |
1 eiwmn (2) |
|||||||
amn( 1 )( t ) |
m |
|
W |
|
n eiwmnt dt |
eiwmnt dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i |
|
i |
|
w |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
mn |
|
- 6 -
А вероятность перехода за время действия возмущения будет определяться формулой |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 F E |
E (3), где функция F E |
E |
1 cos Em En |
|
(4) |
||||||||||||
w |
|
|
m |
W |
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
E E 2 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
mn |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
m |
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|||
Рассмотрим подробнее эту функцию. При E |
E |
возникает неопределенность |
0 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
раскрываемая по правилу Лопиталя функция принимает максимальное значение |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E |
E |
|
|
2 |
либо |
4 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция обращается в ноль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При малых значениях |
|
|
вероятность перехода пропорциональна 2 . При достаточно |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
больших значениях по сравнению с |
|
(характерное время) эта функция |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
En |
|
En |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
F Em En |
Em En (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
sin2 t |
( ) (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
0 предел равен нулю, а при |
0 имеем |
sin2 t |
t , так что предел равен |
|
|
||||||||||||||||||||
t 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечности. Интегрируя же по d в пределах от до (делаем подстановку t )
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
получим |
sin |
d |
1 |
|
|
sin |
d 1 (7) |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда формула для вероятности |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
w ( ) |
2 |
|
m |
|
W |
|
n |
|
2 E |
E |
(8) |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|||||
Pmn |
2 |
|
|
|
|
2 E |
E |
(9) |
|
||||||||||||||||
|
|
n |
W |
m |
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Em En
Под влиянием постоянного возмущения переходы происходят лишь между состояниями с одинаковыми значениями энергии
w( t ) |
|
a ( t ) |
|
2 , то есть вероятность пребывания системы в состоянии с энергией E |
n |
равна |
||||
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
единице при t 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||
w( t ) exp |
|
, где T - время жизни состояния |
n , поэтому формула для вероятности |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
квантового перехода из n для времен значительно меньше времен жизни состояния T
amn mn для времен , удовлетворяющих неравенству |
|
T . |
|
||
|
En |
Во всех системах либо конечные, либо начальные состояния принадлежать непрерывному спектру. Измерения же сводятся к определению полной вероятности перехода во все состояния m , обладающие почти одинаковой энергией и одинаковыми матричными элементами
- 7 -
оператора возмущения. Для получения такой вероятности нужно просуммировать выражение
(9) по всем состояниям m и усреднить по начальным состояниям n , обладающим одинаковыми значениями матричных элементов. Этим и оправдываются введения этого выражения с использованием P функции. Если обозначить число конечных состояний данного типа,
приходящихся на единичный интервал энергии Em за Em , то полная вероятность перехода
в единицу времени будет определяться выражением
Pmn Pmn Em dEm 2 n W m 2 Em (11)
Em En Это условие выражает закон сохранения энергии при квантовом переходе. Выражение носит называние «Золотое правило Ферми»
Переходы под действием периодического возмущения
W( t ) зависит от t периодически, между моментами включения и выключения взаимодействия.
(1) и скачком меняется до нуля вне этого интервала. В этом случае
a( 1 )( t ) |
1 |
|
|
W |
( t )eiwmnt dt |
|
|
|
|||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
mn |
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
v |
|
0 n |
|
|
|
|
|
m |
|
v |
|
0 n 1 exp i w |
w (2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
exp i wmn |
w t dt |
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|||
|
|
|
|
wmn |
w |
||||||||||||||||
|
|
i |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. мы получили выражение, похожее на выражение, полученное при квантовом переходе под действием постоянного возмущения. Поступим аналогичным образом. Будем вести рассуждение для времен значительно больших , чем время жизни квантовой системы и начального состояния.
En , T . В этом промежутке вероятность перехода
w ( n ) |
2 |
|
m |
|
v |
|
n |
|
2 E |
E |
w (3) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|||
Вероятность перехода в единицу времени |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Pmn |
2 |
|
m |
v |
n |
|
|
|
|
E |
E |
w (4) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при действии возмущения, периодически зависящего от времени, переходы
происходят в состояние, обладающее энергией Em Em |
w (5) |
|
||||
Следовательно, при возмущении равном w ( t ) v ( t )eiwt |
при квантовом переходе система |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
теряет энергию, равную |
w , т.к. E E |
w . А при возмущении w ( t ) v ( t )e iwt |
||||
|
m |
m |
|
|
|
|
система приобретает энергию, равную |
w , так как Em Em |
w |
|
|||
Назовем квантовую систему, которая вследствие квантового перехода под действием |
||||||
периодического возмущения теряет или приобретает энергию |
w системой I, а систему, за счет |
которой происходят изменения в системе I системой II. Суммарная энергия полной системы, состоящей из этих взаимодействующих систем при квантовом переходе системы I из состояния n в состояние m , остается неизменной. Предположим, что система II это система фотонов (Э/М поле) с энергией w . Тогда вероятность перехода в единицу времени из определенного начального состояния в определенное конечное состояние можно записать в следующем виде:
- 8 -
PКонНач 2 кон v нач 2 E кон E нач
E нач E |
w E кон |
E |
f |
процесс поглощения фотона |
|
i |
|
|
|
|
|
E нач E |
E кон E |
f |
w процесс испускания фотона |
||
i |
|
|
|
|
Поглощение и излучение света. Вероятность перехода.
При решении задачи о поглощении и излучении света нас следует подсчитать вероятность перехода атома с одного энергетического уровня на другой под действием излучения света. Нужно определить взаимодействие электрона в атоме с падающей волной.
Мы знаем, что оператор Гамильтона для частицы
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
e |
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
H |
|
p |
|
|
A |
|
|
p |
|
|
|
|
A p |
|
|
|
A |
(1) |
|||||||
|
c |
2 |
|
c |
2 c |
2 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третий член этого выражения меньше второго в раз, поэтому мы им пренебрегаем.
e2 1
c 137 постоянная тонкой структуры
Вкачестве оператора возмущения W ( t ) ec A p (2)
A - векторный потенциал излучения, распространяющегося в виде плоской волны с волновым
вектором k и частотой w может быть записан следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A0 |
|
|
cos |
|
|
|
|
wt |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiwt |
1 |
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
k |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
U |
k |
r |
Uei |
Uei k re iwt (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U - единичный вектор, определяющий поляризацию излучения, т.е. напряженность |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
электромагнитного поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Напряженность электрического поля |
|
|
1 |
|
|
A |
|
A0 |
|
|
w |
sin |
|
|
|
wt (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
U |
k |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Магнитная составляющая э/м поля действует посредством силы Лоренца |
F |
v,H , v - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
скорость электрона. Действие магнитного поля в |
|
v |
раз меньше, чем действие электрического |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
поля (10 2 , в сто раз слабее мы его отбрасываем). Амплитуду векторного потенциала A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
выберем так, чтобы в объеме V в среднем было |
N фотонов с энергией |
w . |
N w |
|
- объемная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
||||||
плотность электромагнитного поля. С другой стороны она равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A2w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
sin |
|
|
k r wt |
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
V |
4 c2 |
|
|
8 c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(среднее значение от sin2 |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Амплитуда векторного потенциала |
|
|
A 2c |
2 |
|
N |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
wV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 9 -
Подставляя это выражение в (2) мы получим
W( t ) wexp iwt w* exp iwt (7)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
e |
|
|
2 N |
|
||||||||||
|
|
|
|
e ik |
|||||||||||
w |
|
|
|
r |
|||||||||||
|
|
|
|
U |
p |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
wV |
Согласно золотому правилу Ферми вероятность перехода m n с испусканием кванта света
излучения с энергией |
w будет определяться выражением |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
II |
|
|
Pmn |
2 |
|
|
|
|
E кон (9) |
E |
кон En |
E0 |
|
w (10) |
|
|
m |
W |
n |
|
||||||||
|
|
Em En |
w |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим матричный элемент оператора возмущения входящего в первую часть |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
e |
|
2 N |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
m |
e ik |
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
r |
|
|||||||||||||
m |
W |
|
|
|
U |
p |
(11) |
||||||||||||
|
|
wV |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае атомных систем волновые функции дискретных состояний отличны от нуля только в области размеров атомов. Следовательно, интегрирование выражения (11) существенно только
при r a , a |
|
10 3 - боровский радиус. Длина волны видимого и УФ излучения значительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
больше размеров атома. |
ka |
|
2 |
a |
10 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Такое же соотношение выполняется и для многих случаев -излучения атомных ядер. В этих |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случаях мы можем разложить экспоненциальный множитель |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
e ik r |
|
1 i k r |
2! |
|
|
|
|
... (12) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учтем только 1 член. Тогда матричный элемент будет равен |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
e |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
m |
W |
|
|
|
U m |
|
|
|
|
|
p |
n |
(13) – длинноволновое приближение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
wV |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
E |
|
|
E |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
p |
n |
|
|
r |
(14) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H0 |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
,H |
|
|
i |
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
r |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
H0 |
|
|
|
n Em En m |
|
|
|
n (16) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i m |
p |
|
m |
|
r H0 |
r |
|
|
|
r |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(16) подставим в (13). Получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n iw |
2 N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
W |
|
U m |
d |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d mn m |
d |
n |
|
|
e m |
r |
n (18) дипольный электрический момент перехода n m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э/м излучение обусловленное отличным от нуля матричным элементом (18) называется дипольным электрическим излучением. Для вычисления вероятности перехода нужно
определить плотность числа конечных состояний E кон . Число конечных состояний системы, состоящей из атома и внешнего э/м поля при переходе атома в дискретное состояние
- 10 -