Кванты лекции 2 семестр

Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты Эйнштейна.

Вероятность испускания фотона в единицу времени при переходе системы из n m пропорционально числу фотонов в единице объема в э/м волне, взаимодействующей с этой системой, поэтому выражение (21) для вероятности излучения называется вероятностью вынужденного или индуцированного излучения

Вероятность поглощения в единицу времени фотона при переходе атомной системы из m n .

Если свет, имеющий поляризацию U поглощается из телесного угла d , то соответствующая вероятность поглощения

Если электромагнитное излучение находится в равновесии с черным телом, при температуре T , то число фотонов вероятности поглощения на среднее число фотонов при данной температуре

В этом случае направление излучения и поляризации произвольные, поэтому в формулах для вероятности нужно провести соответствующее суммирование, чтобы получить вероятность, отнесенную в единицу времени полного поглощения фотона.

Эйнштейн показал, что статистическое равновесие между излучением и поглощением возможно только в случае когда наряду с вынужденным излучением, которое пропорционально плотности излучения имеется спонтанное излучение, происходящее и в отсутствии внешнего излучения, то есть система сама находится в возбужденном состоянии и с течением времени переходит в более низшее состояние Спонтанное излучение связанно с взаимодействием атомной системы с нулевыми колебаниями электромагнитного поля.

Согласно теории квантования, вероятность спонтанного излучения получается из выражения

(2). Если мы N приравняем единице

- 12 -

Общее выражение для общей (суммарной) вероятности испускания фотона в единицу времени. при переходе n m будет определяться формулой

Если имеется излучение, воздействующее на атом, то оно оказывает двоякое воздействие. Это излучение может поглощаться, тогда атом будет переходить в высшее состояние. Вероятность

поглощения dw . Во-вторых, если атом находится в возбужденном состоянии, то внешнее возбуждение может способствовать переходу в низшее состояние, так что вероятность поглощения увеличивается до (вероятность индуцированного излучения).

По предположению Эйнштейна, вероятность пропорциональна числу квантов света как раз того сорта, о поглощении излучения которых идет речь.

Излучение может быть немонохромным, иметь различные направления распределения и различную поляризацию. Для определения характера излучения вводится величина

( w, )dwd , которая дает плотность энергии излучения, имеющего поляризацию , направление распределения в пределах телесного угла d и частоту, лежащую в интервале

w,w dw . Так как энергия кванта w , то число квантов света, частота которых лежит в этом

интервале и имеют поляризацию равна ( w, )dwd . В основе предположения

w

Эйнштейна о пропорциональности числа квантов и вероятности излучения мы можем записать вероятность поглощения в следующем виде:

Они зависят только от рода системы излучающей или поглощающей. Пусть число атомов в нижнем состоянии Nn , а число атомов в верхнем (возбужденном) состоянии Nm , тогда число

квантов, излучаемых в 1 секунду при переходе m n будет равно Nm dw'r dw"r .

Соответственно поглощаемых в 1 секунду Nndw . Равновесие будет, когда число поглощенных квантов будет равно числу излученных

Допустим мы имеем дело с тепловым равновесием. Тогда число атомов, находящихся в различных состояниях будет функциями температуры.

Согласно каноническому распределению как для канонических так и для атомных систем число атомов, находящихся в состоянии

- 13 -

Волна плоская и распределяется в определенном направлении, поэтому в формулировку входит лишь спектральное распределение, а здесь по углам. Общая связь между спектральным распределением и угловым

( w ) ( w, )d (21)

Величина спектра ( w ) конечна, а распределение по углам отлична от нуля для одного определенного направления. В этом случае плотность ( w, ) ( w ) ( ) (22)

На основе закона сохранения энергии вероятность поглощения света с энергией wmn должна быть равна вероятности перехода из состояния n m, то есть

Если уровни m и n вырождены, то таких переходов, имеющих матричный элемент d nm много.

Излучение света частотой wmn в единицу времени

Коэффициент для поглощения неполярного излучения частотой wmn

- 14 -

При N 1 получим интенсивность спонтанного излучения или среднюю энергию, излучаемую в единицу времени в телесном угле d при переходе m n

Можно определить, что распределение излучения энергии по углам также как и энергия, излучаемая в единицу времени совпадает с соответствующими функциями для классического

осциллятора, обладающего собственной частотой w0 wmn и средним электрическим

Принцип соответствия

… заряда e движущегося согласно законам классической механики. Для простоты

x( t ) 2 xk cos wkt k (3)

k 1

Элементарный момент частицы D e x( t ). Разложим в ряд и получим

Dk e xk

Интенсивность излучения частоты обертона wk и его поляризация определяется

Dkл 2 Dk cos wkt k

… диполя, телесный угол d

Можно отметить, что распределение излучаемой энергии по углам также как и энергия, излучаемая в единицу времени совпадает с собственными функциями для классического

- 16 -

осциллятора, обладающего собственной частотой w0 wmn и средним электрическим

Принцип соответствия

Принцип соответствия заряда –е движущегося согласно законам классической механики. Для

Матричный элемент дипольного момента является аналогом … Эту аналогию продолжают рассматриваемым изменением во времени, если в … представлении зависимость во времени переносится на матричные элементы а ВФ не зависит от времени. Поэтому будем считать

d mn( t ) d mn( 0 )eiwmnt d meiwmt (10)

Соответственно представлениям классической теории означает, что временные множители

Dk ( t ) Dk ( 0 )eiwkt Dk eiwkt (11)

Таким образом классически движущаяся частица в отношении излучаемого ею поля может быть характеризована однорядной последовательностью гармонически колеблющихся диполей

- 17 -

Квантовая же система, характеризующаяся в отношении излучения также совокупностью колеблющихся диполей которые можно представить матрицей дипольного момента