Кванты лекции 2 семестр

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

энергетическая разность 2P , 2S

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Enj	R	z4 2		n			3		qn 1 l 0		R	z4 2	n	3
															(16)
				l 1 2									j 1 2		(16)
		2 4		l 1 2			4	2l l 1 2 l 1				2 4	j 1 2	4
E En0 Enj			R z2			z2 2			n	3
					1
					1		n2		1 2	4
				2n2			n2		1 2	4

Выражение для спектра водородоподобного атома не зависит от l, хотя снимается вырождение, но не полностью, таким образом остаются двукратно вырожденные уровни

1S1 , 2S1				2P1 , 2P3 , 3S1						3P1		3P3		3D3
	4		2		2		2		2		2		2		2

Они обладают одинаковой энергией. Система уровней, соответствующая разным значениямEnj но одинаковым значением En называется тонкой структурой

Абсолютная величина тонкой структуры. Форма квантового числа быстро уменьшается, поэтому число переходов обусловлено расщеплением уровней. Эксперименты с оптическими металлами подтверждают выводы теории Дирака о тонкой структуре.

Лэмб, Резерфорд: линии расщепляются друг относительно друга на 10% от величины тонкой структуры.

Лэмбовское смещение было объяснено с помощью квантовой электродинамики. Оказалось, что это расщепление было обусловлено радиационными поправками, суть которых обусловлена взаимодействием электрона с электромагнитным вакуумом. При движении в атоме электрон взаимодействует не только с ядром но и с нулевыми колебаниями электромагнитного поля (электромагнитным вакуумом). Это связано с тем что в отсутствии реальных фотонов флуктуации электромагнитного поля отличны от нуля. Взаимодействие с вакуумом приводит к тому что электрон в атоме начинает как бы дрожать на орбите, в результате он как бы размывается в пространстве, в результате чего сила взаимодействия электрона с ядром ослабевает, уровни энергии стационарных состояний повышаются. Особо сильное влияние электронно-позитронный вакуум оказывает на электромагнитные свойства электрона. Благодаря этому взаимодействию магнитный момент электрона становится несколько больше магнетона


Бора 0 1															, постоянная тонкой структуры
Бора 0 1												2			, постоянная тонкой структуры
												2

	p p p						p магнитный момент протона p спиновая матрица протона
создается собственное магнитное поле, векторный потенциал которого
									p


	A rot			p									H rot A (19)
	A rot												H rot A (19)
					r
					r
Магнитный момент электрона 0
																			p
																					1		2 1
																					1		2 1
V ' H 0 p															rotrot				0	p p		p		(20)
V ' H 0 p															rotrot				0	p p		p		(20)
																		2			2		2
						1					1					1
						1					1					1
p														p 2				(21)
p								2				3		p 2			2	(21)
2		1	4
		1								r	(22)
										r	(22)
2

- 41 -

		8	0 p			p
V '		8							(23)
V '	3								(23)
	3
В первом приближении взаимодействие магнитных моментов так же как и контактн ое
взаимодействие оказывает влияние лишь на S состояние. Дополнительная энергия,
обусловленная взаимодействием атомных ядер и атомов
	8						0			8				2	8		1
	8						0			8				2	8		1
E					p			d					( 0 )	2S S 1 3					2S S 1
E					p			d					( 0 )	2S S 1 3					2S S 1
	3		0	p						3	0	p			3	0	p n3u3
	3		0	p						3	0	p			3	0	p n3u3
																		0

В 1000 раз меньше расщепления, вызванного спин-орбитальным взаимодействием


				1
1.	S 0 ES 8 0 p
1.	S 0 ES 8 0 p				n3a3
				0
2.	S 1 E	8				1
2.	S 1 E			p n2a3
	S	3	0	p n2a3
				0

Разность между этими уровнями характеризует расщепление S-терма благодаря взаимодействию магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра. Для этого вычисление этих поправок в нулевом приближении мы использовали ВФ

( r ) Rnl ( r ) (lmj ) ,

Эта ВФ полностью определяет правила отбора для всех квантовых чисел водородоподобного атома. В теории водородоподобных атомов с учетом спинового эффекта приходят к следующим

правилам отбора

l 1 j 0, 1 mj 0, 1

Ковариантная форма уравнения Дирака

Уравнение Дирака, описывающее свободное движение частиц имеет вид

(1)

В пространстве и времени переменные . Для этого введем координаты

x ,ict

, 4 (2)

получающиеся из матриц Дирака и следующим образом

i i

(3)

(4)

, 1,2,3,4 (5)

p i c 0 (6)

Конкретный вид матриц

входящих в уравнение (6) не имеет существенного значения.

Необходимо чтобы набор матриц удовлетворял соотношению (5). Допустим имеется другая совокупность матриц ' также удовлетворяющая перестановочным соотношениям (5) Как

- 42 -

показал Паули в этом случае всегда найдется такая неособенная матрица S (Определитель не равен нулю, существует обратная матрица) (7)

Согласно общей теории унитарных преобразований уравнение Дирака остается неизменным

' S (8)

4	p i c
'	p i c	0
1
4
S 1 S S 1 p			i c S 0
1
4
p i c 0
1

Перепишем уравнение (6), отделив временную компоненту. Это будет



4		p	i c 0
		p	i c 0
	c t
	c t

Тогда уравнение, эрмитово-сопряженное данному можно записать в виде



4		i i c	0
4	c t	i i c	0
	c t

Умножая на матрицу 4 с использованием перестановочных соотношений (5) мы получаем



4					4						i i c 0		(9)
4					4		c t				i i c 0		(9)
							c t


4							(10)
			4
			4
p									i c			0 (11)
			1


	c e 4 (12)
	j ec
	j ec							iec (13)

					j,ic					iec (14)
		4		j
						0 (15)
				x		0 (15)
	1

Необходимо рассмотреть переходное уравнение движения в электромагнитном поле,

описывающееся трехмерным потенциалом

,iA0

0 (15)

Этот переход осуществлен с помощью преобразования

(16)

A i c 0 (17) запись в релятивистской инвариантной форме

- 43 -

A		A'		f		(18)


				x
				x
	2	f	0 (19)
		2	0 (19)
x
					e
' exp i							f (20)
' exp i							f (20)
						c

Необходимо доказать, что требуемая релятивистская инвариантность и инвариантность относительно градиентного преобразования потенциалов будут выполняться и в том случае, когда уравнение (17) будет записано следующим уравнением

i c g

F (21)

2 c

g - некоторый безразмерный параметр g 0 для электронов g 0 для нуклонов

Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы

Уравнение Дирака, описывающее взаимодействие частиц с полем

i c

0 (1)

, удовлетворяющее уравнению (1) при котором новая

Найдем такое преобразование функции

функция c , удовлетворяющая такому же уравнению (1) для частицы с зарядом –e. Очевидноc должна удовлетворять следующему уравнению

4	p	e
		e	A	i c		0 (2)
			A	i c	c	0 (2)
					c
1		c

Найдем преобразование, обеспечивающее переход c Рассмотрим (1) комплексно-сопряженное уравнение

i c

0 (3)

* c				c			c
			1	*
c				*		c
c						c
		c 1
	4	c 1			*c
	4				4

c 1 * (4)

(5)

То уравнение (3) переходит в уравнение (2)

c* c c 1 (6) свойство унитарности

Определим теперь как преобразуются при операции зарядового сопряжения Дираковская сопряженная функция. Она при наличии электромагнитного поля должна удовлетворять уравнению

4	e

p		A	i c	0 (7)

1	c

- 44 -

А зарядово-сопряженная функция

	4	e
c	p		A	i c	0 (8)
c	p		A	i c	0 (8)
	1	c

Сравнивая уравнение (7) и комплексно-сопряженное к уравнению (8) мы найдем, что

		*	c

	c

c* *
			c

Учитывая (6) мы находим что c 1 c*

Таким образом, операция зарядового сопряжения обратима в том смысле, что если функция c является зарядово-сопряженной функцией , то и функция является зарядово-сопряженной функции c

	, 4
	, 4	i		4



0				I	0	(11)
0				I	0	(11)
			4
			4
	0			0	I
	0			0	I

c 2 (12) Матрица зарядового сопряжения c совпадает с 2 . В этом случае операция зарядового сопряжения сводится к преобразованию c 2 (13)

iec (14)

j c iec

(15)

Подставляя в (15) значение (4) и (6) мы получим

iec

(16)

iec

(17)

c 4

(18)

Покажем, что если временная зависимость соответствующая отрицательным решениям временных уравнений Дирака


i		Ep (19)
i	t	Ep (19)
	t

то временная зависимость соответствующая положительным решениям временных уравнений Дирака

		c c 1i	*	c 1		*	c 1 Ep	Ep c (20)
i					i

	t		t			t

Таким образом, если ВФ описывает состояние движения частицы зарядом e, то зарядовосопряженная функция c , описывает состояние движения частицы той же массы и спина, но имеющей другой знак заряда –е, соответствующей другой знак заряда магнитного момента.

- 45 -

Например если ВФ описывает состояние электрона, то зарядово-сопряженная функция будет описывать состояние позитрона, соответствующее переходу от частицы к античастице

Уравнения Дирака для частицы с нулевой массой покоя. Нейтрино. Спиральность и инвариантность нейтрино относительно операции комбинированной инверсии. СРТинвариантность.

Нейтрино имеет самое маленькое сечение

{	(		)	( ̅ ̅)	(1)
{	̅	̅	(	̅)	(1)

Полагая массу покоя равной нулю получим

( ̅ ̅)

( ̅ ) (2)

̅		̅

n- единичный набор, совпадающий с направлением импульса для положительных решений, когда и противоположное направление импульса для отрицательных решений ( ).

определяется через

( ) ((̅ ) ) (3)

Видно, что при действии псевдоскаляра две компоненты этой функции меняются местами

( ̅ ̅) (			)				(5)
Вместо			можно ввести
{		(	)			(			( ̅ ̅))		(6)
		(	)			(			( ̅ ̅))
		(	)		(			( ̅ ̅))


Складывая и вычитая уравнение (2) можно убедиться, что												удовлетворяют
( ̅ ̅)
{( ̅ ̅)				(7)
Таким образом функции											имеющие только 2 компоненты являются СФ оператора
(оператор проекции спина на направление импульса) соответственно 2 его СЗ													называется
спиральностью частицы.
		–спиральность
учитывая эквивалентность, можно заменить
	(		)						(	)	(8)
	(		)						(	)	(8)

Эти выражения (8) показывают, что умножение 4-х компонентной функции на превращают её в 2-х компонентную.

В состояниях с определенной спиральностью каждому значению импульса соответствует только одно спиновое состояние. При положительной спиральности направление импульса и на направление спина - параллельны. При отрицательной спиральности они антипараллельны.

Образно говоря, положительная спиральность как бы соответствует правому винту (у винта вращение связано с направлением перемещения). Отрицательная спиральность соответствует левому винту. Такие состояния могут реализоваться только у частиц с нулевой массой покоя и двигающихся, следовательно, всегда со скоростью света. Если масса покоя частицы не равна нулю, то всегда можно перейти в систему координат, где частица покоится. В этой системе импульс был бы равен нулю и нарушалась бы связь между спином и импульсом. Поэтому наличие у частиц только продольной поляризации (в смысле направления спина), однозначно

связанной с направлением их движения, возможно только в случае, когда m = 0.
Свойство нейтрино описывается одной из функций Ф или			F для таких частиц	решение
уравнения Дирака	существует	типа положительное и	отрицательное. Если	частица
описывается ВФ	то античастица должна описываться		. Различие свойств частиц и
античастиц может проявиться.		При исследовании их взаимодействий с другими частицами.
		- 46 -

Такие взаимодействия характеризуются величинами, играющими такую же роль, как электрический заряд во взаимодействиях с электромагнитным полем.

Если частица тождественна античастице, т.е. , то такая частица называется истинно нейтральной. Нейтрино и антинейтриноразные частицы. Они различаются спиральностью. 2-х компонентные нейтрино не инвариантны относительно операции пространственного отражения. Произведение операции пространственного отражения и зарядового сопряжения называется комбинированной инверсией.

Теорема СРТ (СРТ-теорема), теорема квантовой теории поля, согласно которой уравнения теории инвариантны относительно СРТ-преобразования, то есть не меняют своего вида, если одновременно провести три преобразования: зарядовое сопряжение С (замена частиц античастицами), пространственную инверсию (зеркальное отражение) Р (замена координат r на

— r) и обращение времени Т (замена времени t на — t). Т. СРТ была сформулирована и доказана в работах немецкого физика Г. Людерса (1952— 1954) и швейцарского физика В. Паули (1955). Она вытекает из основных принципов квантовой теории поля. Если в природе происходит некоторый процесс, то в силу Т. СРТ с той же вероятностью в ней может происходить и процесс, в котором частицы заменены соответствующими античастицами, проекции их спинов имеют противоположный знак, а начальные и конечные состояния процесса поменялись местами.

Атом во внешнем магнитном поле. Нормальный и аномальный эффекты Зеемана.

Расщепление линий атомных и молекулярных спектров под действием магнитного поля

называется эффектом Зеемана.

В электромагнитном поле

в релятивистском приближении определяется

( ̅

)

(

(1)

)

(̂̅)

(2)

- приведённая масса.

Если в однородном магнитном поле напряженность , то

[ ̅

̅]

(3)

В малых полях зависит от

(4)

(5)

̅̅

( ̅ ̅)

(̅

̂̅) ̅

( ̅̅) (6)

(̅

̂̅)

(7)

̂̅

(8)

При отсутствии магнитного поля

[

(9)

Изменение энергетических уровней при влиянии внешнего магнитного поля будем вычислять методом теории возмущений. В первом порядке теории возмущения вырождение определяется через диагональные матричные элементы оператора возмущения , т.к. в операторе возмущения магнитное поле не зависит от координат.

(10)

Воспользуемся некоторыми знаниями из теории операторов

̅		( ̂̅ ̂̅)			̂ ̂̅	(11)

̂ ̂			̂		̂̅̂
	(			(		(12)
					̅))

- 47 -

̂ ̂															̂				̂̅̂
			\|										(					(		̅))\|
			(		)	̂																			̂̅̂
			(		)			\|											[			(	(			̅))]\|			(13)
	̂			̂̅)				̂	̅
(̅				̂̅)					̅
	̂					̂									̂
(		̅̂			(		̅			̂					̅	)													(14)
(			̅)		(					̅						)													(14)
	̂												̂							̂
		̅̂												̅			̂			̅
(			̅)							(							̅					)				[ (		)	(	) (	)]	(15)
̂											[					(			)	(		)	( )	]					(16)
̂											[									(		)		]					(16)
																				(		)
				̂ ̂																									(17)
					(				)	(				)															(18)
																(		)											(18)
																(		)					множитель Ланде						(19)
										(				)									множитель Ланде						(19)
										(				)
								(					)																(20)

																(			)
																(			)
В			магнитном							поле (										)-кратное вырождение полностью снимается. Смещение уровней
происходит симметрично																				относительно							невозмущённого			уровня	.	Расстояние между
соседними расщеплёнными уровнями
																				(21)
																				(21)
			(		)		(			)		(			)		(		)		(		)
			(		)		(			)		(			)		(		)		(		)

Расщепление уровней энергии (21) называется аномальным эффектом Зеемана.

Если частицы не обладают спином ( ), то расстояние между расщеплёнными уровнями одинаковы и не зависят от характера состояния и равно

Такое расщепление предсказывалось классической электронной теорией. Оно носит название нормального эффекта Зеемана. Нормальный эффект Зеемана наблюдается для некоторых состояний сложных атомов (сод. несколько электронов). Состояние сложных атомов, содержащих несколько электронов, в некотором приближении можно характеризовать

собственными значениями операторов суммарного спина всех электронов			̂	∑	, суммарных
орбитальных моментов количества движения ̂	̂	̂	̅	̂	̂.
	∑ ̅ и полного момента			̅

Изменение энергетического состояния в слабом магнитном поле (18). Из него следует, что для энергетических состояний с полным спином S = 0 (синглетные термы атомов с четным числом

электронов) множитель g = 1. В этом случае		(22).

Эффект Зеемана должен наблюдаться в магнитных полях. Величина расщепления будет значительно меньше разности соседних уровней в атоме

Слабые поля . Если величина расщепления , вызываемого магнитным полем, велика по сравнению с дублетным расщеплением уровней, то магнитное поле называют сильным. В таком магнитном поле разрывается связь спинового и орбитального моментов количества движения, и они взаимодействуют с магнитным полем независимо.

\|	\|		(23)

	̂	(̂	̂) (24)
	̅̅

При расчете величины расщепления энергетических уровней в сильном магнитном поле можно в нулевом приближении пренебречь спин-орбитальным взаимодействием и выбрать невозмущенные функции в виде

- 48 -

Т. е. состояния электрона в атоме можно характеризовать главным числом			, орбитальным
квантовым числом	и квантовыми числами	, определяющими	соответственно

проекции орбитального и спинового моментов. В этом случае изменение энергетических

уровней под влиянием поля				будет определяться формулой
		(	) (25)
		(	) (25)
Следовательно, каждый энергетический уровень					расщепляется на	равноотстоящих
компонент,	соответствующих			возможным	значениям суммы квантовых чисел		(
).
Поскольку	,		то при данном такими числами будут			(	). Из

этих компонент две высшие и две низшие не вырождены, все остальные вырождены двукратно в соответствии с 2-мя возможными способами получения определенного значения

{

Расщепление уровней должно наблюдаться в сильных магнитных полях. Расщепление этого типа носит название эффекта Пашена — Бака. Оно действительно наблюдается для некоторых уровней атомов: Li, Na, О и др. в. магнитных полях с напряженностью, превышающей соответственно 36000, 40000 и 90000 Э. влиянием поля будет определяться формулой.

Атом во внешнем электрическом поле. Эффект Штарка.

Изменение энергии стационарных состояний атома под влиянием внешнего электрического поля называется эффектом Штарка. Стационарные состояния, которые характеризуются ВФ,

заданной n,l и m, соответствующие одной энергии Enl (отсутствует вырождение по квантовому

числу m). При включении однородного электрического поля напряженности				в операторе
Гамильтона появляется дополнительное слагаемое, которое имеет вид
̂	(	̅̅	(1)
		)

где d— оператор дипольного электрического момента электрона. Если направить ось z координатной системы вдоль вектора напряженности электрического поля, то оператор Гамильтона для атома примет вид

̂ ̂	̂	̂	(2)

Таким образом, при включении внешнего электрического поля изменяется симметрия системы.

До включения была сферическая симметрия (зависящая только от радиальных переменных), а после включения появляется аксиальная симметрия. Во-вторых изменяется поведение потенциальной энергии при z . В отсутствии поля у нас имеется потенциальная энергия только в одной точке, центре поля. При включении получается еще одна точка, когда z .

То есть появляется два минимума, где потенциальная энергия стремится при z 0 и z ), т.е. имеются две потенциальных ямы. А при наличии двух потенциальных ям существует вероятность перехода из одной в другую посредством туннельного эффекта. Аксиальная симметрия – оператор Гамильтона инвариантен относительно вращения на

произвольный угол вокруг направления электрического поля, а также относительно отражения в плоскости, проходящей через эту ось. оператор Гамильтона вида (2). Энергетические уровни с энергией m и m должны быть одинаковы,поэтому должно быть двукратное вырождение. Количественное вычисление изменения энергетических уровней атома при включении электрического поля можно провести методом теории возмущений, если величина поля достаточно мала, то есть случай, когда изменение уровней энергии мало по сравнению с расстоянием до включения

̅	\|	̅	(3)
		\|

В связи с тем, что оператор дипольного момента изменяет знак при операции инверсии пространственных координат, его среднее значение равно нулю во всех состояниях, имеющих определенную четность.

Если	имеет определённую четность, то		не изменяется при операции инверсии,
поэтому ∫	̅	, так как подынтегральная функция меняет знак при операции
		- 49 -

инверсии => следует рассматривать 2 вида эффектов: линейный и квадратичный эффекты Штарка. Первый характеризован для водородоподобных. Это связано с тем обстоятельством, что только для водородоподобных атомов имеется вырождение не только по , но и по (случайное вырождение, связанное с зависимостью потенциальной энергии от радиуса). Поэтому в состоянии с определенной энергией является суперпозицией состояния с различным значением .

=> Это состояние не будет обладать определённой чётностью, потому что если рассматриваемое движение электрона в полях сферической симметрии

( ) ∑

(4)

→в этом состоянии среднее значение дипольного момента (среднее значение оператора возмущения) может быть отлично от нуля, что и обуславливает линейный эффект Штарка. Для всех других атомов дипольный момент отсутствует, и линейный эффект Штарка не наблюдается, т.к. для всех других атомов, отличных от водородоподобных поле ядра действие на электрон не является чисто кулоновским.

→уровни энергии, относящиеся к разным значениям орбитального числа имеют разную энергию →средний электрический момент в этих состояниях равен нулю

→В этом случае влияние внешнего электрического поля будет сказываться на положении энергетических уровней только во втором приближении теории возмущений. Изменение

энергии состояния	определяется формулой
	∑		(5)

При вычислении матричных элементов в (5)		следует учесть, что		, а для шаровых
функций имеется рекуррентное соотношение				(6)

Мы убедимся, что неравные нулю матричные элементы в (5) относятся к состояниям, в которых отличается на единицу. Из (5) следует, что поправка к уровням энергии пропорци ональна квадрату электрического поля (квадратичный эффект Штарка). Вследствие вырождения уровней

коэффициент пропорциональности может быть только четной функцией , поэтому

(

) (7)

105 В/см эффект Штарка исчезает, что связано с ионизацией атома.

Квантовые системы, состоящие из одинаковых частиц

Рассмотрим свойства систем, состоящих из одинаковых частиц, обладающих одинаковыми , l , s .

В классической механике одинаковые частицы, не смотря на тождественность физических свойств не теряют индивидуальности. Мы можем мысленно пронумеровать каждую и в дальнейшем следить за движением частиц.

В квантовой механике положение меняется в силу принципа неопределённости понятие о траектории полностью теряет смысл. Если положение электрона известно в некоторый момент времени, то в следующий момент времени вообще не имеет смысла говорить о её положении. Одинаковость частиц по физическим свойствам приводит к полной неразличимости частиц. Будем считать, что квантовая система состоит из n взаимодействующих одинаковых частиц, движущиеся с относительными скоростями , т.е. мы рассматриваем системы, допускающие использование нерелятивистского приближения. В этом случае оператор Гамильтона можно записать в виде

̂ ∑	̂	̂(	) ̂ (1)


где ̂ — оператор потенциальной энергии				взаимодействия между частицами как функция
пространственных координат всех частиц;				̂ — оператор порядка ( ⁄ ), характеризующий

спин-орбитальное взаимодействие, взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей эффект запаздывания взаимодействия

- 50 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.07.201990.62 Кб1Каримова_лексикология.doc
#
09.11.2019166.91 Кб7карст.doc
#
14.09.2019219.65 Кб1катетер, газ.трубка, промыв. желудка, подготовк...doc
#
19.08.2019191.49 Кб3Кафидов Вторая часть.DOC
#
17.05.2015341.05 Кб1077Квалиметрия.docx
#
17.05.20151.82 Mб28Кванты лекции 2 семестр.pdf
#
17.05.201544.54 Кб34квн.doc
#
18.03.201618.57 Кб124кейс онр.docx
#
17.05.2015111.29 Кб23кейс про диски.docx
#
17.11.2019967.17 Кб6Класс МЛЕКОПИТАЮЩИЕ отряды.doc
#
17.05.201584.13 Кб35Классификация видов теневой экономики.docx