Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кванты лекции 2 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

движения является величина 2 z , где ось z направлена вдоль оси импульса

			1	0	0	0
			0	1	0	0

	z						(22)
	z						(22)
2		2	0	0	1	0
2		2	0	0	1	0
			0	0	0	1

Из математики известно, что собственные значения матрицы, заданной в виде диагональной матрицы совпадает со значениями диагональных элементов. Таким образом СЗ оператора (22)


будет			. СФ этого оператора соответствующие СЗ					и		являются следующие функции
будет		2	. СФ этого оператора соответствующие СЗ				2	и	2	являются следующие функции
	1			0
1	0		2	1	(23)
	0			1

Говорят, что в состоянии 1 спин частицы направлен вдоль импульса, так как p p . В
состоянии, характеризующемся ВФ 2
состоянии, характеризующемся ВФ 2						спин антипараллелен импульсу p p . Проекция

спина имеет определенное значение. Возможны 4 состояния в которых проекции спина имеют неопределенное значение

1 1 2 2

Вобщем случае спиновые функции изображают двухмерные одностолбцовые матрицы или

функции от переменной, пробегающей два значения

Состояния с отрицательной энергией. Понятие об электронно-позитронном вакууме


E2 2c4 p2c2	E 2c4 p2c2 (1)

ВФ с положительной энергией не образуют полную систему. Но также невозможно доказать

отрицательную энергию. Частица с отрицательной энергией E1 могла бы переходить в другое состояние с меньшей энергией E2 . При этом она совершала бы работу

E1 E2 E2 E1 Но такой переход она могла бы совершать непрерывно, таким

образом был бы возможен вечный двигатель.

Дирак ввел понятие вакуума - такого состояния пространства, в котором все состояния с отрицательной энергией заняты электронами, а с положительной энергией свободны. В каждом состоянии с отрицательной энергией может находиться лишь один электрон с определенным значением спина. Предположим что под воздействием электрон удален из положения с отрицательной энергией. Освободившееся состояние с отрицательной энергией будет проявлять себя как нечто с положительной энергией, так как для уничтожения такого состояния, то есть для его заполнения нужно поместить электрон с отрицательной энергией. Таким образом незаполненное состояние следует трактовать как частицу, имеющую положительную энергию

N ( p )	N ( p ) Означает число электронов, находящихся соответственно в состоянии с

отрицательной и положительной энергией, обладающей определенным импульсом. В состоянии вакуума N ( p ) 1 N ( p ) 0 (2) для всех значений импульса при этом энергия и заряд в

вакууме определяются соотношениями

E E p N ( p ) (3)

- 31 -

q	e	N	( p ) (4)

Так как импульс ничем не ограничен, то значение E и q бесконечно велики, однако согласно Дираку эти величины принципиально не наблюдаемы. Наблюдаемыми являются также такие величины, которые характеризуют лишь отклонение от состояния вакуума

E E( p ) N ( p ) N ( p ) (5)

q e N ( p ) N ( p ) (6)

Наблюдаемо лишь отклонение

E E E( p ) N

( p ) N ( p ) N ( p )

(7)

q q

( p )

N ( p )

(8)

Если некоторое состояние с отрицательной энергией свободно N ( p ) 0 , то оно

соответствует положительному вкладу, наблюдаемые значения энергии и заряда

N ( p ) N ( p ) 1

Таким образом мы видим, что отсутствие электрона с индексом p в сплошном фоне заполненных отрицательных состояний эквивалентно появлению наблюдаемой частицы с положительной энергией и импульсом р Такая частица была обнаружена Андерсоном в космических лучах и была названа позитроном

Момент количества движения электрона в теории Дирака. Спин. Полный момент импульса. Шаровые спиноры.

Состояние движения с определенным значением импульса можно охарактеризовать знаком энергии, проекцией вектора спина, оператор которой

S z		z Введем по аналогии 2 другие компоненты S x		x	S y		y (1)
	2		2			2
S S x ,S y ,S z (2)

Определим свойства коммутации. Пользуясь свойствами матриц Паули можно определить следующие перестановочные соотношения

S j S j	0	S j S k	i	S l (3)
				jkl
				jkl

Таким образом операторы проекции спина удовлетворяют перестановочным соотношениям аналогичным перестановочным соотношениям между операторами проекции момента импульса

L j Lk	i	Ll (4)
		jkl
		jkl

поэтому S- оператор момента импульса, который называется внутренним угловым моментом частицы или спиновым моментом Квадрат оператора спинового момента сводится к диагональной матрице

								1	0	0	0
S		S j			j	2	3	0	1	0	0
S		S j			j	2	3	0	1	0	0	(5)
	2	3	2	3
								0	0	1	0
		j 1		4 j 1		z	4	0	0	1	0
								0	0	0	1
								0	0	0	1

- 32 -

	2	3
S			(6)
		4

СЗ квадрата спинового момента всегда равно одной и той же величине. Оператор проекции

спинового момента S z коммутирует с S	2		2	0
спинового момента S z коммутирует с S		S z S		0

1	1	2	0	(7) одновременно являются СФ оператора S	2
1	0	2	1	(7) одновременно являются СФ оператора S
	0		1

Известно, что в нерелятивистской теории Шредингера оператор орбитального момента количества движения L r, p коммутирует с операторами Гамильтона свободного

нерелятивистского движения без спина. В этом случае сохраняется орбитальный момент импульса, однако в теории Дирака, где учитывается спиновый момент, оператор спинового момента не коммутирует с оператором Гамильтона уравнения Дирака

c p

c2 (8)

L ,H D

L ,

Из определения

(9)

Аналогично для других компонент оператора орбитального момента. Таким образом момент количества движения не является интегралом движения в релятивистской теории. Существование двух одинаковых решений соответствующих данному значению энергии

указывают на то что оператор, коммутирующий с H D должен существовать Определим такой коммутатор

,H D

c S

оператор S

в общем случае не является

интегралом движения. Является интегралом движения только с определенным значением импульса, направленного вдоль оси z

Lz Sz ,H D 0 (11)

Таким образом сохраняющейся величиной будет сумма проекций орбитального и спинового момента. Этой проекцией будет соответствующий оператор Jz Lz Sz (12)

По аналогии можем рассмотреть и другие проекции Jx Lx Sx

J y Ly Sy (13)

Они также коммутируют с H D . Из этих проекций можем составить оператор, который

называется оператором полного момента частицы J L S . Следует отметить, что операторы орбитального и спинового момента коммутируют между собой, так как имеют разную структуру. Учитывая это обстоятельство можно получить перестановочные соотношения

J x J y

i J z

J j J k

J l (14)

jkl

Квадрат полного момента количества движения J 2

2 j j 1 ,

j l

(15)

Проекция полного момента количества движения на ось z J

, m

(16)

Найдем СФ и СЗ операторов квадрата полного момента количества движения и проекции полного момента количества движения на ось z, то есть найдем угловую часть ВФ, которая удовлетворяет закону сохранения для полного момента. Поскольку полный момент является

- 33 -

суммой, подобная задача называется задачей на сложение моментов. Для простоты ограничимся приближением Паули, когда спин определяется двухрядной матрицей S 2 . В этом случае необходимо искать решение в виде двухкомпонентных матриц

J 2					2
J 2				1	L S			1			2 j j 1		1	(18)
		2				2						2

J z			1		Lz Sz				1		mj	1 (19)
		2					2				2
	1	c m ,				2	c m				, (20)
	1			1	l	2			2	l

Сохраняется лишь квадрат орбитального момента, но не его проекция на ось z, то есть

L2
L2		1	2l l 1	1	(21)
	2		2

Из уравнения (18) следует, что если возвести в квадрат
L2
L2			2LS S 2										1									2 j j 1											1	(22)
									2																				2
S 2 2s s 1
2					2	2					1												2												3		1
L			S				LS																	j j				1 l l 1										(23)
L			S				LS																	j j				1 l l 1							4			(23)
																2																			4	2
	1
				Lx iL y						Lz												q
									1									2							1
	1																										(24)
	1
				Lx iL y						Lz												q
									1									2							2

Q j j 1 l l 1																					3		(25)
Q j j 1 l l 1																				4			(25)
																				4
	Lz lm ,								m lm , (26)
Lx iLy lm																																lm 1 (27)
Lx iLy lm													l 1 m l															m				lm 1 (27)
m m 1
q m 1 C																														C			0
q m 1 C											l 1 m l m																			C	2		0
							1																								2
														C						q m C														(28)
		l 1 m l m												C						q m C								2	0
																1												2

q l , j l							1	,C2									l m 1									C1
							1										l m 1
							2
							2												l m
																																		(29)
q l 1 j l												1			,C									l m							C
q l 1 j l															,C																C
										2									2					l m 1									1
										2														l m 1

Соотношение между шаровыми функциями носит название коэффициентов Клебши -Гордона

C12 C22 1

- 34 -

Для решения 1 типа j l

мы имеем

l m

lm 1

2l 1

j l

(30)

l 1 m

2l 1

j l

l 0,1,2...

l 1 m

2l 1

j l

(31)

l m

lm 1

2l 1

Условие ортонормированности для шаровых спиноров

j d

(32)

l m

j l

соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный момент параллельны

j l

соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный момент антипараллельны

Шаровые спиноры (31) и (32) являются спинорным обобщением обычных шаровых функций и представляют собой угловую часть решения для любых задач, связанных с движением частицы с полуцелым спином в поле центральных сил Подставляя эти решения в функцию

			1				Jz	mj , мы можем найти m j
			1	, я ее в уравнение			Jz	mj , мы можем найти m j
		2
m		m			1	, где m - магнитное квантовое число (проекция момента импульса на некоторую
m	j	m
	j	l			2	l
					2

выделенную ось)

Вслучае когда j l 12 (спиновый и орбитальный момент параллельны) ml l... l 1

Вслучае когда j l 12 (спиновый и орбитальный момент антипараллельны) ml l 1 ...l

Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент

Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле

eΦ c

(1)

Если э/м поле не зависит от времени, то в этом случае необходимо перейти к стационарным решениям

- 35 -

(

,t ) ( )exp iEt

(2)

eΦ c

(3)

E E' c2

(4)

(5)

Такое приближение называется приближением Паули

E' eФ c

(6)

2 c t'' eΦ c

E' eФ

2 c

E' eФ

c p

A eΦ (7)

(8)

2 c2 E' eΦ

2 c

eΦ (9)

AB i

A B

(10)

(11)

rot A

В итоге мы получим H rot A (12)

eФ

H (13)

2 c

Уравнение (13) было получено Паулив 1927 году

- 36 -

Сравнивая это уравнение с нерелятивистским уравнением для случая стационарного состояния,

мы видим, что здесь присутствует дополнительный член H 0 H (14)

0 константа, которая называется магнетоном Боря. Это выражение можно интерпретировать как энергию взаимодействия с магнитным полем магнитного момента частицы

соответствующего оператору 0 (15) Этот магнитный момент частицы называется

спиновым магнитным моментом который называется так потому что он наблюдается только у частиц, обладающих спином. Учитывая внутренние магнитные свойства электрона

S 2 ec S (16)

Спин-орбитальное взаимодействие

v 2

Рассмотрим движение частицы в электромагнитном поле с точностью до

A 0 V( r ) eФ - скалярный потенциал

E' V( r ) c p (1)

2 c2 E' V( r ) c p (2)

		v 2
E' V ( r )		v 2

c	2
c		c


	c p


	2 c2 E V ( r )

						E' V (			)
1		p				E' V (		r	)	p
					1							(3)
2 c						2 c	2				2 c
		E' V ( r )					2
		E' V ( r )
	1
	1		2 c	2
			2 c

p 1

E' V ( r )

p V ( r ) (4)

2 c2

AB i

f ( r ) B

f ( r )

f ( r ) p

f p

(7)

f p

d d

2 2

(8)

E' V ( r )

p d

p p

2 c

4 c

g (9)

d g g d 1 (10)

- 37 -

0 2

															p			2			12													p		2
g 1															p													1						p							(11)


											4 2c2																					8 2c2

E' g g H ' g H g 1 g (12)
E' H (13)
																																																						2
H g H g 1																					p		2														p			2						p	2			) E' V ( r )				2
																							2																	2							2
										1																H					1																	V (	r
										1																H					1				8										2			V (	r
																			8 2c2																8				2c2						2							2 c2			(14)
																																																							(14)

																									2
								V ( r ) p																						2V ( r )


		4		2		c	2															8			2		c		2
		4				c																8					c
	2															2							2				2																					(15)
	2															2							2				2
p V ( r ) V ( r ) p																								V ( r ) i																	V ( r ) p


													2																																	2
			E' V ( r )										2							p2									p2				E' V ( r )													2
	1		E' V ( r )																	p2									p2				E' V ( r )														(16)
	1							2 c		2																		2										2 c				2					(16)
										2																																2

																	2

W W1								W 2 W 3												(17)
								2	2								Поправка Дарвина
W 1														r
W 1					8 2c2									r
					8 2c2
																																								)			ze2							2	1	4
В случае кулоновского поля когда																																	V (					r					ze2								1		r
В случае кулоновского поля когда																																	V (					r															r
																																												2				2
					z 2e2
					z 2e2							r
W 1						2 2c2						r								(18) Оператор контактного взаимодействия. Он определяет

дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром в s состоянии. Соответствующая дополнительная энергия E W1 d которая пропорциональна квадрату волновой

функции в нуле

nlm( r ) Rnl ( r ) lm , (20)

R10

( r )

e a

e 2a

2a3

R ( r )

2a 2 p

6a3

E' V (

) 2

W 2

2 c2

(21) поправка, возникающая при изменении массы частиц при изменении

скорости

W 3

V ( r ) p

(22) описывает взаимодействие магнитного момента движения

частицы с электромагнитным полем

- 38 -

V (

)

V (23)

W 3

V S L (24)

2 2c2r r

В s состоянии среднее значение от добавки W 3 равно нулю. В этом смысле оператор контактного взаимодействия определяется выражением (18) который не равен нулю в s состоянии, рассматривается как оператор спин-орбитального взаимодействия для s состояния. Поэтому 1 и 3 поправки выражения (17) характеризуют спиновые свойства электрона. В некоторых случаях выражение для оператора спин-орбитального взаимодействия удобно записать в другом виде

V( r ) e (25) , где напряженность электрического поля

	e
	e
W 3					p	(26)
	4	2	c	2
	4		c

Атом водорода с учетом спина электрона. Энергетические уровни. Правила отбора с учетом спина электрона. Тонкая и сверхтонкая структура

Исследуем движение электрона на основе уравнения Дирака с учетом релятивистских поправок

ze2

. Состояние электрона в кулоновском поле ядра с энергией V ( r )

порядка

Необходимо решить следующее уравнение

HD E (1)

c p V( r ) c2 оператор Гамильтона уравнения Дирака

v 2

Ранее из уравнения (1) в релятивистском приближении порядка

было получено, что это

уравнение будет иметь вид

W 2 W 3

E (2)

2e2

W 1

r (3)

2 2c2

E' V (

) 2

W 2

2 c2

(4)

W 3

V S L

ze2

S L (5)

2 2c2r3

2 2c2r r

Волновую функцию с учетом спина возьмем в следующем виде

(

) ( j ) ,

( r ) R

(6)

- 39 -

j l	1	j l	1
	2		2

Решение относится к нулевому приближению, однако можно использовать для определенных

v 2
энергетических уравнений порядка

c			S L соответствует лишь состояние
Это связано с тем что определенному набору компонент

J z

Шаровые спиноры так же как и ВФ удовлетворяют уравнению

2	( 1 ) , l( l 1) ( j ) , , 2			,	- угловая часть оператора Лапласа
,	lm	lm		,

Подставляя решение (6) в уравнение (2) после сокращения на шаровую функцию мы получим уравнение для радиальной части ВФ стационарного состояния для водорода

	2	1
E
			2
	2 r

	l( l 1)		ze2		( r ) W 1	W 2	W 3 Rnl ( r ) (8)
				Rn
	r	2	r
r

С учетом этого соотношения это уравнение в точности совпадает с нерелятивистской теорией атома водорода без спина

W 3	ze2 2	j( j 1) l( l 1) s( s 1) (9)
	4 2c2r3

В нулевом приближении мы получим

	2	1
E
			2
	2 r

	l( l 1)		ze2		( r ) 0 (10)
				Rn
	r	2	r
r

В этом случае энергия E принимает дискретные значения зависящие только от квантового числа n

z2 e4

En 2 2n2 (11)

Найдем теперь поправку к энергии (11) в первом приближении. Эта поправка

Enj Enj Em2 Rnl W 1 W 2 W 3 r2dr nl

nl nl

Первое слагаемое обусловлено оператором контактного взаимодействия и равно

z4 3

uz 2e2

2 2

l 0

(13)

2 2c2

постоянная тонкой структуры

137

E ze2 2

z4 2

d R

(14)

2 c

l 1

z4 2

q 1 l 0

ze2

d R

(15)

2 c2

2 4

l l 1 2 l 1

- 40 -

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.07.201990.62 Кб1Каримова_лексикология.doc
#
09.11.2019166.91 Кб7карст.doc
#
14.09.2019219.65 Кб1катетер, газ.трубка, промыв. желудка, подготовк...doc
#
19.08.2019191.49 Кб3Кафидов Вторая часть.DOC
#
17.05.2015341.05 Кб1077Квалиметрия.docx
#
17.05.20151.82 Mб28Кванты лекции 2 семестр.pdf
#
17.05.201544.54 Кб34квн.doc
#
18.03.201618.57 Кб124кейс онр.docx
#
17.05.2015111.29 Кб23кейс про диски.docx
#
17.11.2019967.17 Кб6Класс МЛЕКОПИТАЮЩИЕ отряды.doc
#
17.05.201584.13 Кб35Классификация видов теневой экономики.docx