6. Электрмагниттік тербелістер мен толқындар

 

6.1. Электрмагниттік тербелістер

     тербелмелі контур – тізбектей қосылған индуктивтігі l шарғы (катушка), электрлік сыйымдылығы  c  конденсатор және электрлік кедергісі r резистордан құралған тізбек – электрмагниттік тербелістерді қоздыру және орнықтыру (электр өрісінің энергиясын магнит өрісінің энергиясына және керісінше түрлендіретін периодты процестер) үшін қолданылады.

     электрмагниттік тербелістердің теңдеуі

идеал контурда  (r=0)  еркін электрлік тербелістер гармоникалық сипатта болады. осы жағдайда кирхгофтың екінші ережесі бойынша:

мұндағы : конденсатордағы кернеу; 

катушкадан айнымалы ток өткендегі өздік индукция эқк. 

контурдағы заряд тербелістерінің дифференциалдық теңдеуі:

                                      (201)

 

дифференциалдық теңдеудің шешімі зарядтың  өзгеру заңдылығын анықтайды:

 

мұндағы :конденсатордағы  заряд тербелістерінің амплитудасы:

өшпейтін еркін тербелістердің циклдік жиілігі:

 

өшпейтін еркін тербелістердің периоды (томсон формуласы):

                                           (202)

 

тербелмелі контурдағы ток күші:

             (203)

 

 мұндағы :ток күшінің амплитудасы.

 

 

 

 

 

 

 

 

59-сурет

конденсатордағы кернеу:

 

.               (204)

 

     токтың тербелісі зарядтың тербелісінен (кернеудің тербелісінен де) фаза бойынша ге озып отырады, яғни ток күші максимал мәнге жеткенде заряд, онымен бірге кернеу де, нөлге айналады және керісінше (59-сурет). ток күшінің амплитудасы:

.                                        (205)

тербелмелі контурдың толқындық кедергісі.

 

  

     тербелмелі контурдағы өшетін еркін тербелістер (r≠0)

 

     rlc контур үшін ом заңы:

.

 

мұндағы : конденсатордағы кернеу; 

катушкадан айнымалы ток өткендегі өздік индукция эқк;  – резистордағы кернеу.

     контурдағы зарядтың еркін өшетін тербелістерінің дифференциалдық теңдеуі:

.                                 (206)

 

мұндағы  өшу коэффициенті.

дифференциалдық теңдеудің шешімі зарядтың  өзгеру заңдылығын анықтайды:

.                              (207)

 

зарядтың тербелісі гармоникалық емес (60-сурет). өшудің аз мәндерінде () өшетін тербелістің периоды ұғымын көршілес екі максимум-ның немесе минимумның  орындалатын уақыт аралығы ретінде шартты түрде қолдану қажет.

өшетін еркін тербелістердің циклдік жиілігі:

 

                        (208)

 

 

60-сурет

 

өшетін тербелістердің периоды:

                                       (209)

 

релаксация уақыты – өшпелі тербелістің амплитудасы есе кемитін уақыт аралығы:

.

 

      өшу декременті –аралығы бір периодқа тең уақыт мезеттеріне сәйкес екі тербеліс амплитудаларының қатынасы:

 

.

 

осы қатынастың логарифмі – өшудің логарифмдік декременті:

 

.                                  (210)

 

мұндағы - тербелістің амплитудасы  есе кемитін уақыт аралығындағы (релаксация уақытындағы) тербеліс саны. өшудің логарифмдік декременті – берілген тербеліс жүйесі үшін тұрақты шама.

   тербелмелі жүйені сипаттау үшін  сапалылық деген ұғым қолданылады. тербелмелі жүйенің сапалылығы кез келген уақыт мезетіндегі жүйе энергиясының  өшпелі тербелістің шартты бір периодта  (яғни –дан    –ға дейінгі уақыт аралығында) кеміген энергия шамасына қатынасын ге көбейткенге тең өлшемсіз физикалық шама:

энергия  тербеліс амплитудасының квадратына тура пропорционал болғандықтан,

.                  (211)

 

өшудің логарифмдік декрементінің аз мәндерінде өшпелі тербелістің шартты  периоды   іс жүзінде еркін өшпейтін тербелістер периодына  тең деп есептелетіндіктен, жүйенің сапалылығы:

.

тербелмелі контурдың сапалылығы:

                                                    (212)

 

   өшу коэффициенті артқанда өшпелі тербелістің шартты периоды арта түсіп,   болғанда шексіздікке ұмтылады,  яғни тербеліс периодты болудан қалады. егер   болса, жүйе қозғалысының :

                  

 

 

 

дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі мынадай болады:

 

.

 

мұндағы   және ,

  мен – бастапқы шарттарға тәуелді  тұрақты коэффициенттер. егер бастапқы   уақыт мезетінде бастапқы мәндер тең болса:

    және     ,

онда:

         .

 

 

                                               61-сурет

 

жүйенің мұндай қозғалысы  апериодты  түрде  орындалады, яғни тепе-теңдік қалыптан шыққан нүкте тепе-теңдік күйге тербеліс жасамай қай-тып оралады.

   бастапқы шарттарға байланысты жүйеде апериодты  қозғалыстың екі түрі болады. 61-суретте  төменгі қисығы нүктенің бастапқы жылдам -дығы мен тербелісі таңбасы жағынан қарама- қарсы, яғни бастапқы жылдамдығы тепе-теңдік  жағдайға қарай бағытталған  жүйе қозғалысын сипаттайды: .

басқа барлық  жағдайларда   қисығына сәйкес қозғалыс орындалады.

 

  

     электрмагниттік мәжбүр тербелістер – гармоникалық заң бойынша периодты өзгеретін сыртқы   эқк-нің ықпалымен орындалатын өшпейтін тербелістер (– эқк-нің амплитудалық мәні, – сыртқы эқк-нің жиілігі).

 

эқк көзі бар rlc контур үшін ом заңының теңдеуі:

.

 

осыдан мәжбүр тербелістердің дифференциалдық теңдеуі:

 

.                       (213)

 

дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі конденсатор астарындағы зарядтың қалыптасқан тербелістерін (62-сурет) анықтайды:

 

 

                                

 

 

 

 

 

 

	Тербелістің қалыптасуы

 

 

 

62-сурет

 

зарядтың амплитудасы:

.

 

заряд тербелістерінің бастапқы фазасы (заряд пен сыртқы эқк-нің тербелістерінің фазалар айырымы):

 

.                     (214)

 

тербелмелі контурда қалыптасқан мәжбүр тербелістегі ток күші:

.

мұнда    деп белгілесе, 

 

ток күшінің амплитудасы:

.

 

ток тербелістерінің бастапқы фазасы (ток пен сыртқы эқк-нің тербелістерінің фазалар айырымы):

 .                                     (215)

 

     электрлік резонанс – мәжбүр тербелістерде сыртқы эқк-нің жиілігі тербелмелі контурдың меншікті жиілігіне тең болғанда немесе жақын болғанда шамалардың амплитудаларының күрт артуы.

заряд үшін резонанстық жиілік:

 

.                          (216)

 

конденсатордағы зарядтың амплитудасының сыртқы эқк жиілігіне 

 

 

63–сурет

 

тәуелділігі  әртүрлі өшу коэффициенттері үшін 63–суретте көрсетілген. жиілік  -да графиктің барлық қисықтары статикалық ауытқу  шамасына   жетеді, ал  –да графиктің барлық қисықтары асимптоталы түрде нөлге ұмтылады (жақындайды). өшу коэффициенті артқанда резонанстық максимумдар солға қарай ығысады.

ток күші үшін резонанстық жиілік:

 

.                                      (217)

 

контурдағы ток күшінің  амплитудасының сыртқы эқк жиілігіне 

тәуелділігі  әртүрлі өшу коэффициенттері үшін 64–суретте

 

 

64-сурет

 

келтірілген.  болғанда токтың амплитудасы максимал және шамасы   болады. өшу коэффициенті артқанда резонанстық максимум шамасы кеміп, мәні график бойынша төмен ығысады. контурдағы i ток пен сыртқы ток көзінің  эқк фазалар айырымы егер  болса, яғни ток фаза бойынша электр қозғаушы күштен озып отырады. мәжбүр тербелістердің жиілігі неғұрлым кіші болса, фазалық ығысу соғұрлым үлкен болады. мысалы,

болғанда