Тема 6. Применение теории вероятностей к расчетам колебания годового стока

Понятие о кривых распределения и обеспеченности.

Параметры кривых обеспеченности.

В связи с климатическими и физико-географическими условиями речной сток подвержен значительным колебаниям как в течение года, так и за ряд лет (внутри вековой, вековой циклы и т.д.). Эти колебания во времени пространстве и абсолютное величине являются случайными и зависящими от столь большого числа переменных факторов, что учесть их в явном виде гидрология не в состоянии.

Поэтому определение вероятных расходов (или других элементов), принимаемых для расчета гидротехнических сооружений, производится методом математической статистики.

Один из методов теории вероятностей к исследованию гидрологических явлений является кривая распределения или кривая обеспеченности, которая дает в общей форме характеристику распределения того или иного гидрологического элемента за период наблюдений.

И что особенно важно, она при современном уровне гидрологических знаний является единственным основанием для суждения о вероятности появления в будущем гидрологического явления большого или меньшего по величине, чем любое заданное значение.

Кривые обеспеченностей дают возможность решить многие инженерные задачи такие как:

• рассчитать максимальный и минимальный притоки;

• установление размеров водосбросных отверстий плотин;

• определение расчетной мощности проектируемой гидроэлектростанции;

• разработка режимов регулирования стока водохранилищами,…

Кривые обеспеченности дают возможность сравнивать различные реки по одинаковым показателям ( ,К…), позволяют делать широкие гидрологические обобщения. И, чем длиннее ряд, тем надежнее расчеты.

Пример построения кривой распределения и обеспеченности:

Имеем по определяемому створу реки ряд средних годовых расходов воды за период в 75 лет (таблица 6.1). Располагаем их в убывающем порядке распределяя амплитуду колебаний расходов через определенные интервалы (например, через 100 м³/сек).

Таблица 6.1

Интервалы расходов, м3/сек	Частота (повторяемость)			Обеспеченность
	годы	%	годы		%
1	2	3	4		5
1350—1300	1	1,3	1		1,3
1299—1200	1	1,3	2		2,6
1199—1100	2	2,6	4		5,2
1099—1000	3	4,0	7		9,2
999—900	5	6,7	12		15,9
899—800	8	10,7	20		26,6
799—700	14	18,7	34		45,3
699—600	20	26,7	54		72,0
599—500	11	14,7	65		86,7
499—400	6	8,0	71		94,7
399—300	3	4,0	74		98,7
299—200	1	1,3	75		100
Сумма .....	75	100

Затем, для каждого интервала определяем частоту или повторяемость расходов, выражаемую в годах (таблица 6.1 графа 2) или в процентах от общего числа членов ряда (таблица 6.1 графа 3).

Откладывая на графике по оси ординат значения расходов (таблица 6.1 графа 1), а по оси абсцисс – значения частоты расходов в процентах и соединяя нанесенные точки, получаем (1) – кривую распределения (кривую вероятностей) имеющую в большинстве случаев асимметричное очертание (рисунок 6.1).

Рис.6.1. Кривые распределения и обеспеченности

Суммируя последовательно числа графы 2 и соответственно графы 3, получаем значения для граф 4 и 5 (соответственно), выражающие обеспеченность расходов. Например, обеспеченность расхода 800 м³/сек равна 20 годам. Это значит, что в течение 20 лет из 75 лет расходы могут быть не менее 800 м³/сек.

Откладывая на том же графике (рисунок 6.1) значения процентов обеспеченности по данным графы 5 (таблица 6.1) для соответствующих интервалов расходов и соединяя точки, получаем интегральную кривую обеспеченности (2).

Таким образом, с помощью кривой обеспеченности можно определить расход любой ЗАДАННОЙ обеспеченности в пределах данного периода наблюдений.

Параметры кривой распределения:

1. Центр распределения (а) – среднеарифметическое значение ряда;

2. Медиана (в) – соответствует 50% - ной обеспеченности;

3. Модуль кривой (с) – соответствует наибольшей частоте расходов.

В несимметричных кривых распределения (биноминальная кривая распределения) показателем асимметрии служит величина d, называемая радиусом асимметрии, представляющая собой расстояние между модой и центром распределения.

Расстояние между медианой и центром равно примерно (треть радиуса асимметрии).

В гидрологии наибольшее применение получила биноминальная кривая (bini – пара, nomen – имя или двучлен), применимая к несимметричным статистическим рядам и верхняя ветвь кривой обеспеченности не имеет фиксированной границы, а нижняя ее ветвь при 100% - ной обеспеченности соответствует конечному значения расхода и выражается формулой:

, где , y_d – наибольшая, или модальная ордината, a – расстояние от модальной ординаты до левого конца кривой, равное , e – основание натуральных логарифмов.

Биноминальная кривая обеспеченности определяется тремя параметрами:

1. Средний расход ряда , где Q - сумма всех расходов данного ряда, n -общее число членов (расходов) ряда.

2. Коэффициент вариации (характеризует изменчивость случайной величины во времени и пространстве). Другими словами, есть нормированное среднее квадратическое отклонение случайной величины.

а) для короткого ряда

б) для длинного ряда , где g - постоянное число, на которое уменьшается каждая величина Q; А=Q-g.

Отдельные значения параметра А ряда могут быть отрицательными, или равными нулю. Таким образом, коэффициент вариации или изменчивости годового стока, служит мерой оценки колебания годового стока относительно его нормы.

Коэффициенты вариации характеризуют изменчивость годового стока рек за многолетний период и поэтому они зависят в первую очередь от запасов грунтовых вод, а так как запасы грунтовых вод уменьшаются с Севера на Юг по территории, то C_v стока закономерно увеличиваются с севера на Юг.

Во вторую очередь C_v зависит от площади бассейна, т.к. с увеличением площади бассейна глубина врезки (тальвег) реки увеличивается и возможно опускается до уровней грунтовых вод, поэтому коэффициент вариации среднего годового стока уменьшается с увеличением площади бассейна.

Но в горных районах влияние площади бассейна на C_v затушевывается более сильным влиянием климатических факторов подчиняющихся резкой вертикальной зональности (C_v уменьшается).

Лесная зона СССР C_v = 0,150,40;

Лесостепная - C_v = 0,30,6;

Для степных и засушливых районов страны C_v = 0,61,3;

В горных районах C_v при H ≥ 1500м. C_v = 0,20,3; При наличии ледникового питания C_v = 0,150,25;

Озерное питание рек снижает коэффициент вариации годового стока до 0,050,15;

Критериями оценки параметров биноминальной кривой (при С_s=2С_v) являются: средняя многолетняя величина расхода реки Q_ср и средняя величина логарифмов варьирующих значений расходов, выраженных в долях от Q_ср и определяемых по формуле

Пользуясь коэффициентом = , определенного по этой формуле, по таблице 118 определяют коэффициент вариации C_v

Таблица 118

Величины коэффициента l (отрицательные) для определения коэффициента вариации С_v методом наибольшего правдоподобия

Сv	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,3	0,019	0,020	0,022	0,023	0,025	0,026	0,028	0,030	0,031	0 033
0,4	0,035	0,037	0,039	0,041	0,043	0,045	0,047	0,049	0,052	0 054
0,5	0,056	0,058	0,061	0,063	0,066	0,068	0,071	0,074	0,076	0 079
0,6	0,082	0,085	0,088	0,092	0,095	0,098	0,101	0,104	0,108	0 111
0,7	0,114	0,118	0,122	0,125	0,129	0,133	0,137	0,141	0,145	0 149
0,8	0,153	0,157	0,162	0,166	0,171	0,175	0,180	0,184	0,189	0 193
0,9	0,198	0,203	0,208	0,213	0,218	0,223	0,229	0,234	0,239	0 245
1,0	0,250	0,256	0,262	0,268	0,274	0,280	0,286	0,292	0,298	0 304
1,1	0,310	0,316	0,323	0,330	0,336	0,343	0,350	0,357	0,364	0 371
1,2	0,378	0,386	0,393	0,400	0,408	0,416	0,424	0,432	0,439	0 447
1,3	0,455	0,463	0,471	0,479	0,488	0,496	0,505	0,514	0,522	0 531
1,4	0,540	0,549	0,558	0,566	0,575	0,584	0,594	0,604	0,613	0 623
1,5	0,632