03. Элементы статистической физики формулы

Вероятность того, что физическая величина x, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от x до x + dx, определяется по формуле

dW(x) = f(x) dx,

здесь f(x) – функция распределения молекул по значениям данной физической величины x (плотность вероятности). Приведенная формула выражает также долю молекул, для которых физическая величина x заключена в интервале от x до x + dx.

Количество молекул, для которых физическая величина x, характеризующая их, заключена в интервале значений от x до x + dx,

dN = N dW(x) = N f(x) dx.

Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести и распределение частиц в однородном силовом поле, соответственно):

,

здесь p – давление на высоте h, n – концентрация молекул на высоте h, p₀, n ₀ давление и концентрация частиц на уровне моря (h = 0), m₀ – масса одной молекулы, M – молярная масса, g – ускорение свободного падения, k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая (абсолютная) температура, R – универсальная газовая постоянная;

Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям):

,

здесь ʋ – скорость молекулы;

Число молекул, скорости которых заключены в пределах от ʋ до ʋ + dʋ:

,

здесь N – общее число молекул;

Число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u + du:

,

здесь u = ʋ/ʋ_в – относительная скорость, равная отношение скорости ʋ к наивероятнейшей скорости ʋ_в.

Эффективное сечение столкновения молекулы:

σ = πd²,

здесь d – эффективный диаметр молекулы (внесистемная единица измерения 1 барн = 10^–28 м²).

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени:

,

здесь n – концентрация молекул, ‹ʋ› – средняя арифметическая скорость молекул;

Среднее длина свободного пробега:

;

Импульс, переносимый молекулами из одного слоя в другой через элемент поверхности:

,

здесь η – динамическая вязкость газа, dʋ/dz – градиент (поперечный) скорости течения его слоев, ΔS – площадь элемента поверхности, dt – время переноса;

Динамическая вязкость:

,

здесь ρ – плотность газа;

Вязкое трение:

,

здесь F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа;

Закон Фурье:

здесь ΔQ – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью ΔS за время Δt, λ – теплопроводность, dT/dx – градиент температуры;

Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа:

,

здесь c_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;

Закон Фика:

,

здесь Δm – масса газа, перенесенная в результате диффузии через сечение площадью ΔS за время Δt, D – коэффициент диффузии, dN/dx – градиент концентрации молекул;

Диффузия (коэффициент диффузии):

.

ЗАДАЧИ

03.01. Распределение Больцмана

Уровень 1.

1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10^–18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты на Δh = 10 м? Температура воздуха T = 300 К. g = 9,8 м/с², k = 1,38·10^-23, e = 2,71828. Полученный ответ умножьте на 10^-9 и округлите до целого значения. [19] [20]

2. Одинаковые частицы массой m = 10^–12 г каждая распределены в однородном гравитационном поле напряженностью G = 0,2 мкН/кг. Определить отношение n₁/n₂ концентраций частиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг друга на Δz = 100 м. Температура T во всех слоях считается одинаковой и равной 290 К. k = 1,38·10^-23 Дж/К. e = 2,71828. Полученный ответ округлите до целого значения. [148] [149]

3. Определить силу F, действующую на частицу, находящуюся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение n₁/n₂ концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на Δz = 1 м, равно e (e – основание натуральных логарифмов). Температуру T считать везде одинаковой и равной 300 К. k = 1,38·10^-23 Дж/К. Полученный ответ умножьте на 10²³. [414]

4. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой. R = 8,31 Дж/(моль·К). Молярная масса воздуха M = 0,029 кг/моль. g = 9,8 м/с². Полученный ответ округлите до целого значения. [5878] [5877]

5. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление p = 90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление p₀ = 100 кПа? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой. R = 8,31 Дж/(моль·К). Молярная масса воздуха M = 0,029 кг/моль. g = 9,8 м/с². Полученный ответ округлите до целого значения. [893] [894]

6. Найти изменение высоты соответствующее изменению давления на Δp = 100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверхности Земли, здесь температура T₁ = 290 К, давление p₁ = 100 кПа; 2) на некоторой высоте, здесь температура T₂ = 220 К, давление p₂ = 25 кПа. R = 8,31 Дж/(моль·К). Молярная масса воздуха M = 0,029 кг/моль. g = 9,8 м/с². Полученный ответ округлите до целого значения.

1) [9] [8] 2) [26] [25]

Уровень 2.

1. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 10^–19 г. Отношение концентрации n₁ пылинок на высоте h_l = 1 м к концентрации n₀ их на высоте h₀ = 0 равно 0,787. Температура воздуха T = 300 К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро N_A. R = 8,31 Дж/(моль·К). g = 9,8 м/с². Полученный ответ умножьте на 10^-21 и округлите до целого значения. [609] [610]

2. На сколько уменьшится атмосферное давление p = 100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h = 100 м? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой. R = 8,31 Дж/(моль·К). Молярная масса воздуха M = 0,029 кг/моль. g = 9,8 м/с², e = 2,71828. Полученный ответ округлите до целого значения. [1172] [1173]

Уровень 3.

1. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p = 80 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха изменилась на ΔT = 1 К. Какую ошибку Δh в определении высоты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление p₀ = 100 кПа. R = 8,31 Дж/(моль·К). Молярная масса воздуха M = 0,029 кг/моль. g = 9,8 м/с². Полученный ответ округлите до целого значения. [7] [6]

2. В центрифуге с ротором радиусом a, равным 0,5 м, при температуре T = 300 К находится в газообразном состоянии вещество с относительной молекулярной массой M_r = 10³. Определить отношение n_a/n₀ концентраций молекул у стенок ротора и в центре его, если ротор вращается с частотой n = 30 с^–1. R = 8,31 Дж/(моль·К). π = 3,14, e = 2,71828. Полученный ответ округлите до целого значения. [6] [5]

3. Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с частотой n = 50 с^–1. Радиус a ротора равен 0,5 м. Определить давление p газа на стенки ротора, если в его центре давление p₀ равно нормальному атмосферному (p₀ = 100000 Па). Температуру T по всему объему считать одинаковой и равной 300 К. R = 8,31 Дж/(моль·К). Молярная масса радона M = 0,222 кг/моль. π = 3,14, e = 2,71828. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [300] [299]

4. В центрифуге находится некоторый газ при температуре T = 271 К. Ротор центрифуги радиусом a = 0,4 м вращается с угловой скоростью ω 500 рад/с. Определить относительную молекулярную массу M_r газа, если давление p у стенки ротора в 2,1 раза больше давления p₀ в его центре. R = 8,31 Дж/(моль·К). Полученный ответ умножьте на 10³ и округлите до целого значения. [84] [83]

Уровень 4.

1. Ротор ультрацентрифуги радиусом a = 0,2 м заполнен атомарным хлором при температуре T = 3000 К. Хлор состоит из двух изотопов: ³⁷Cl и ³⁵Cl. Доля w₁ атомов изотопа ³⁷Cl составляет 0,25. Определить доли 1) wʹ₁ 2) и wʹ₂ атомов того и другого изотопов вблизи стенок ротора, если ротору сообщить угловую скорость вращения ω, равную 10⁴ рад/с. R = 8,31 Дж/(моль·К), e = 2,71828. Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения.

1) [72] [71] 2) [28] [29]