Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

Температура в строке z = 0,75 м, т. е. на нижней границе по­ верхности льда, согласно (5.50) принята равной 0 °С и также запи­ сывается в таблицу.

Что касается температуры в строке 4 при z = 0,15 м, т. е. на границе раздела снег - лед, то эта температура должна быть опре­ делена из условия сохранения тепловой энергии согласно форму­ лы (5.47):

Х{Аz2-+A2AZ[

индексы у знака t указывают строку таблицы.

В о з д у х

Рис. 5.5. Н естац и о н ар н о е тем п ер ату р н о е поле в сн его -л ед ян о м покрове п р и гр ан и ч н ы х у сл о ви ях I рода.

151

Таблица 5.6

Расчет температуры в “С в снего-ледяном покрове при граничных условиях первого рода

5.3. Ч исленны й метод реш ения уравнения теплопровод­ ности для двухмерного температурного поля

Дифференциальное уравнение теплопроводности для двух­ мерного поля (3.58) в конечных разностях имеет следующий вид:

Раскрывая смысл суммы вторых производных от температуры по координатам и выражая их так же, как и выше [формула (5.37)], напишем выражение для изменения температуры за элементарный

152

5.4. Расчет скорости пром ерзания и оттаивания почвогрунта

В том случае когда температурное поле определяется для среды, меняющей агрегатное состояние с поглощением или выде­ лением тепловой энергии, как, например, для влажных замерзаю­ щих или Оттаивающих почв, в расчетах необходимо учитывать особое условие на границе талой и мерзлой среды (условие Стефа­ на). Оно заключается в том, что разность интенсивностей тепло­ вых потоков, поступающего от талой среды к границе мерзлой и уходящего от этой границы через мерзлый слой, идет на таяние льда в мерзлом слое. При замерзании почвы тепловой поток из та­ лого слоя суммируется с теплотой кристаллизации воды и отво­ дится через мерзлый слой в атмосферу.

Обозначим буквой Ь, толщину мерзлого слоя (рис. 5.7), ось абсцисс буквой t, а ось ординат - z, интенсивность теплового по-

154

мерзлом слоях на уровне £, где температура равна О °С, в следую­ щем виде:

в первом случае поток рассматривается на границе со стороны та­ лого слоя почвы, а во втором - со стороны мерзлого слоя.

Если обозначим буквой W объем воды в единице объема

вы, то найдем выражение для интенсивности выделения теплоты на границе талого и мерзлого слоев при промерзании почвы:

! 1 Аналитическое решение задачи о скорости промерзания влажного грунта и рас-

{пределении температуры при его промерзании в ограниченных частных условиях приводится в работах [15, 29].

1 55

При этом заметим, что если одномерное поле температуры в таломерзлой среде рассчитывается методом конечных разностей с использованием уравнения теплопроводности, то должно быть учтено и уравнение (5.67), так как условие Стефана требует опре­ деления перемещения границы двух сред со скоростью, вычислен­ ной по этому уравнению. В этом случае коэффициенты теплопро­ водности для талого и мерзлого грунта выбираются по таблице или назначаются в соответствии с данными наблюдений в натуре.

По уравнению (5.67) можно рассчитывать и скорость оттаи­ вания почв. В этом случае справа у уменьшаемого и вычитаемого необходимо поменять знаки.

В заключение отметим, что задачи о замерзании и оттаивании почв и грунтов имеют решающее значение в вопросах прогноза ве­ сеннего стока, которые до настоящего времени остаются слабо изу­ ченными.

5.5. И зучение тем пературны х полей на моделях

Моделирование температурного поля в среде без источ­ ника теплоты. К настоящему времени аналитические решения дифференциального уравнения теплопроводности получены только для самых простых задач и ограниченного их числа. Поэтому вы­ ход из создавшихся затруднений обычно ищут в экспериментах, проводимых на моделях. Метод экспериментальных исследований на моделях применяют также в тех случаях, когда трудно или не­ возможно изучить натурные явления или стоимость их изучения в натуре чрезвычайно высока. Этот метод дает значительно боль­ шие возможности по сравнению с расчетными методами и при изу­ чении меняющихся во времени (нестационарных) температурных полей, а также при изучении теплообмена в среде, являющейся те­ плоносителем: адвективный и конвективный теплоперенос. Теория подобия применительно к явлениям теплопроводности разработана главным образом трудами российских ученых, среди которых осо­ бенно необходимо отметить М.В. Кирпичёва [22] и А.А. Гухмана [16]. Теория гидромеханического подобия [43] подробно рассмат­ ривается на гидрологическом факультете РГГМУ в курсе гидрав­ лики, поэтому ниже будет показано применение теории подобия только к задачам теплопроводности (теплообмена). Основные по­

156

ложения теории подобия гидромеханики применимы ко всем физи­ ческим явлениям, в частности, и к теплопередаче, поэтому указа­ ния о постановке опытов и обработке результатов наблюдений, из­ ложенные в [43], сохраняют силу.

Чтобы тепловые процессы, протекающие на модели, были подобными таковым в натуре при ее изготовлении выполняются определенные требования. Эти требования сводятся к геометриче­ скому, тепловому и механическому (если рассматривается под­ вижная среда) подобию натуры и модели - равенству для них без­ размерных критериев подобия. В теории теплового моделирования это критерии Фурье, Био, Грасгофа и др.

Геометрическое подобие натуры и модели определяется со­

модели и натуры; тя/ - масштаб модели, т. е. отношение линейных размеров модели к соответствующим линейным размерам натуры.

Упомянутый критерий Фурье получается исходя из следую­ щих соображений.

Законы распространения теплоты как в натуре, так и на мо­ дели осуществляются в соответствии с уравнением теплопровод­ ности:

для натуры

Кду» dzt

Будем считать, что между соответствующими характеристи­ ками, относящимися к модели и к натуре, существуют соотноше­ ния (5.68), а также:

157

где тм, ам, tu и тн, ан, tH - соответственно время протекания процесса, коэффициент температуропроводности и температура на модели и в натуре; тх, та , т( - масштабные множители времени,

коэффициента температуропроводности, температуры, т. е. отноше­ ние времени и температуры, относящихся к модели, и константы модели к соответствующим характеристикам и константе натуры.

Решая совместно (5.68), (5.70) и (5.71), найдем:

(5.72)

или

(5.73)

Сопоставление уравнения (5.73) с уравнением (5.69) показы­ вает, что если множитель

(5.74)

то эти уравнения тождественны, а следовательно, требование по­ добия температурных полей модели и натуры удовлетворено.

Комплекс масштабных множителей (5.74) называется инди­ катором подобия.

Заменив в равенстве (5.74) значения масштабных множите­ лей отношениями соответственных величин модели и натуры, приведенных в (5.68) и (5.71), найдем безразмерные отношения:

(5.75)

или, в общем виде

где / - характерный размер, соответственно по направлению х, у или z.

Последнее равенство носит название критерия Фурье. Он позволяет осуществить пересчет результатов исследования, полу­ ченных на модели, на натуру.

158

Из равенства (5.75) видно, что выбор размера и материала модели должен быть подчинен требованиям критерия Фурье. По­ следний позволяет при заданных материале и размерах модели оп­ ределить масштаб времени моделирования теплового процесса.

При выводе критерия Фурье температура в него не вошла. Это обстоятельство позволяет воспроизводить на модели темпера­ турное поле в произвольном диапазоне значений температуры, лишь бы было удовлетворено температурное подобие на контурах модели (граничные условия). Отсюда следует, что масштаб темпе­ ратуры может быть произвольным и выбранным из условия про-

Iведения эксперимента. Например, эксперимент процесса, проте­ кающего при отрицательной температуре, может быть проведен

влаборатории с положительной температурой, что облегчает про­ ведение эксперимента на модели.

Естественно, что на модели должны быть осуществлены и граничные условия, отвечающие натуре.

Втом случае когда заданы граничные условия третьего рода, при моделировании необходимо учесть условие (3.70)

венными значениями (5.80), получаем для модели

(5.81)

тх

Сопоставив уравнение для модели (5.81) с уравнением для натуры (5.78), приходим к заключению, что они тождественны при соблюдении условия

Заменяя значения масштабных множителей в условии (5.82) значениями из равенств (5.80), найдем

Это уравнение носит название критерия Био.

При получении температурных полей на модели этот крите­ рий должен быть удовлетворен в том случае, когда не могут быть выполнены требования граничных условий первого рода.

Втех случаях когда левая часть уравнения (5.77), так же как

иего правая, относится к окружающей среде (при этом предпола­ гается, что через прилегающий к поверхности слой этой среды те­ плота передается только теплопроводностью), комплекс (5.83) на­

зывают критерием Нуссельта - Nu [29].

Моделирование температурного поля в среде, меняющей агрегатное состояние. Все вышеприведенные выводы справедли­ вы лишь в том случае, когда тепловые процессы не вызывают из­ менения агрегатного состояния среды или когда температурное поле не имеет каких-либо других источников теплоты.

В противном случае одного критерия Фурье недостаточно. Между тем почти все теплотехнические задачи, с которыми

приходится иметь дело гидрологу или гидротехнику, связаны с необходимостью учета изменения агрегатного состояния среды. Таковы, например, вопросы изучения температурного режима ежегодно замерзающих и оттаивающих влажных почв и грунтов. Сюда же следует отнести и многие вопросы, связанные с прогно­ зом температурного режима многолетнемерзлых грунтов в осно­ ваниях возводимых в районах многолетней мерзлоты гидротехни­ ческих сооружений и создаваемых там же водохранилищ. В этих случаях решение конкретных теплотехнических задач может быть выполнено методами моделирования - путем воспроизведения температурных полей на моделях. При этом в качестве дополни­ тельного условия необходимо учесть то количество теплоты, кото­ рое освобождается или поглощается на границе перехода среды из талого в мерзлое состояние и наоборот (условие Стефана), которое имеет вид:

160