Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

Перепишем систему уравнений (4.12) относительно разности

^п ~ ^и+1 —9 K I K •

Складывая почленно левые и правые части системы (4.13), по­ лучаем:

Внутри слоя температуру необходимо считать по формуле (4.8). Используя выражение (4.17), можно найти температуру на границе между интересующими нас слоями толщи. В данном слу­ чае под индексом п необходимо подразумевать номер z-го слоя толщи, для внутренней границы которой отыскивается температу­ ра. Например, температура на границе между первым и вторым слоями толщи

а между вторым и, третьим

Здесь в первом случае п +1 = 2, а во втором случае п +1 = 3 . Удельный тепловой поток q определяется по выражению (4.15) при заданных граничных условиях первого рода.

Ход температуры внутри многослойной плоской толщи представляет собой ломаную линию. Внутри каждого слоя темпе­ ратура изменяется по прямой, согласно уравнению

(4.20)

где z; - расстояние внутри рассматриваемого г-го слоя от поверх­ ности предыдущего слоя, температура на границе между которы­ ми равна tj.

4.2.Одномерное стационарное температурное поле

свнутренним источником теплоты

В главе 3, п. 3.9 отмечалось, что в ряде случаев внутри объ­ ема рассматриваемого тела появляется или расходуется теплота за счет внутренних источников или стоков. При этом количество вы­ деленной или поглощенной теплоты зависит от интенсивности ис­ точника или стока W.

Рассмотрим задачу, связанную с оценкой распределения температуры внутри неограниченного плоского тела толщиной 28 при наличии источников, равномерно распределенных по всему объему (рис. 4.2). Пусть температура на поверхностях тела одина-

112

Первое и второе интегрирование этого уравнения соответ­ ственно дают:

Разместим начало координат системы на оси симметрии стенки. Тогда, поскольку граничные условия первого рода для

то температурное поле внутри тела должно быть симметричным относительно оси z. Эта особенность распределения температуры по толщине плоского тела позволяет записать дополнительное ус­ ловие:

Определим теперь постоянные интегрирования Сх и С2 при

условиях (4.24) и (4.25).

Из выражения (4.22) при условии (4.25) получаем Сх= 0. Из

выражения (4.23) при условии (4.24) получаем

W 52

Подставляя значения постоянных С, и С2 в выражение (4.23),

найдем уравнение распределения температуры по толщине плоского тела:

Из этого уравнения найдем температуру на оси симметрии тела, подставив в него z = 0:

(4-28)

113

Решим (4.28) относительно перепада температуры между осью симметрии и поверхностью тела:

С учетом закона Фурье (или из уравнения (4.22) при z = 8) для удельного теплового потока через обе поверхности плоского тела

4.3. Стационарное температурное поле цилиндрической стенки

Как и в случае с плоским телом, для цилиндрической стенки будем рассматривать одномерное температурное поле, т. е. изме­ нение температуры только вдоль радиальной координаты, а имен­ но t =fir), где г - текущая цилиндрическая координата в пределах стенки толщиной Ъ = г2 - г у (г, и г2 - расстояние от оси трубы со­

ответственно до внутренней и наружной поверхностей стенки). Для такого случая при установившемся тепловом режиме диффе­ ренциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических ко­ ординатах (3.57) примет вид

Для решения уравнения (4,31) введем новую переменную

9 = dt/dr . (4.32)

Подставив эту переменную в уравнение (4.31), получим урав­

нение

которое может быть легко проинтегрировано.

114

Интегрирование этого уравнения приводит к следующему ре­ шению:

где Q и С2 - постоянные интегрирования.

Из решения (4.35) видно, что распределение температуры в стенке трубы следует логарифмическому закону, а плотность теплового потока q через цилиндрическую стенку не остается по­ стоянной, как в случае плоского тела, -азависит от радиуса.

Постоянные интегрирования С\ и С2 могут быть определены из граничных условий первого рода:

(4.36)

где t и гст2 - температура на внутренней и наружной поверхно­

стях стенки цилиндра.

С учетом постоянных интегрирования уравнение (4.35), по­ зволяющее рассчитать распределение температуры по толщине цилиндрической стенки, примет вид

(4.37)

Имея решение (4.37), по закону Фурье определим тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку толщиной 8 в единицу времени:

где qr - удельный тепловой поток на расстоянии г от оси цилинд­ ра, или, подставив значение градиента dtldr, получим

(4.39)

115

Количество теплоты, проходящее через цилиндрическую поверхность стенки единичной длины, находящуюся на расстоя­ нии г от оси, определится по формуле

(4.40)

Решение задачи для многослойной цилиндрической стенки можно найти, например, в работе М.А. Михеева и И.М. Михеевой [32].

4.4. Теплопередача при цилиндрической стенке

Пусть требуется рассмотреть передачу теплоты от теплоно­ сителя, например воды, с температурой tBчерез стенку цилиндри­ ческой трубы к окружающему ее воздуху с температурой 0 при стационарном режиме. Так как трубопровод имеет большую дли­ ну, то будем рассматривать тепловой поток от воды к воздуху, приходящийся только на единицу длины трубопровода.

Этот тепловой поток можно определить по формулам, ана­ логичным зависимостям (3.38), (3.39) и (3.40):

/ \

(4.41)

Решим уравнения (4.41) относительно разностей температуры:

*в-*СТ1 = б /( а 12^ )>

(4.42)

*ет, - 0 = £ /( а 22лг2).

Складывая почленно левые и правые части системы (4.42), затем, решая сумму относительно теплового потока и переходя от радиусов к диаметрам, получаем:

(4.43)

116

В этом выражении знаменатель, по аналогии с (3.44), носит название линейного термического сопротивления Rlt а обратная его величина, по аналогии с выражением (3.45), называется прово­ димостью, или линейным коэффициентом теплопередачи:

(4.44)

Отличие коэффициента kt от коэффициента теплопередачи в выражении (3.45) состоит в том, что в данном случае тепловой поток относится к цилиндрической поверхности длиной 1 м, а в выражении (3.45) - к плоской поверхности площадью 1 м2.

С учетом зависимости (4.44) уравнение (4.43) примет вид

4.5. Двухмерное стационарное температурное поле

Впрактике встречаются двухмерные стационарные темпера­ турные поля, например, распределение поверхностной или сред­ ней по глубине температуры водоема, распределение температуры

всечении снежного или ледяного покровов и т. д.

Встационарном двухмерном температурном поле распреде­ ление температуры зависит только от двух координат (.х, у). Для такого поля дифференциальное уравнение теплопроводности пе­ реходит в уравнение Лапласа (3.60) и имеет вид

Аналитическое решение этого уравнения значительно слож­ нее, чем решение уравнения для одномерного поля. Поэтому в практических задачах для тел, имеющих сложные очертания и сложные граничные условия, аналитическое решение часто не удается получить. В таких случаях решение уравнения (4.46) вы­ полняется приближенными методами, а именно: графическим ме­ тодом, методом релаксации, электротепловой аналогии и др.

Аналитический метод. Рассмотрим в качестве примера аналитическое решение уравнения (4.46), позволяющее найти тем­ пературу t =flx, у) в однородной плоской среде (в полуограничен-

117

ной пластине), имеющей размер 8 вдоль оси х и неограниченный размер по оси у. Пусть на боковых поверхностях этой пластины температура поддерживается постоянной и равной (п, а вдоль по­

верхности при у = О (на торце пластины) - = f(x ) (рис. 4.3).

Температура по толщине пластины (в направлении оси z) во всех точках имеет одно и то же значение.

Рис. 4.3. Граничные условия при двухмерном температурном поле.

5 - ширина пластины, tn - темпе­ ратура боковых поверхностей пластины, - температура торца пластины.

Введем новую переменную в виде так называемой избыточ­ ной температуры. Тогда уравнение (4.46) и граничные условия пе­ репишем следующим образом:

Для решения уравнения (4.47) воспользуемся методом раз­ деления переменных.1Будем искать его в виде произведения двух функций:

где X = f l{x), Y = f 2 (у) - соответственно функции переменных хи>\

1Этот метод рассматривается также при решении задач в случае нестационарной теплопроводности (глава 5, п. 5.1.1).

118

Дифференцирование выражения (4.49) и подстановка его ре­

Из уравнения (4.51) следует, что равенство левой и правой частей возможно только в том случае, если они порознь равны по­ стоянной величине, например к2. (Левая часть не зависит от у и равна правой части, которая не зависит от х. Следовательно, их общее значение к2 не зависит ни от х, ни от у.)

Таким образом, из уравнения (4.51) получаем два обыкно­

а общим решением уравнения (4.47) - функция, полученная от пе­ ремножения (4.54) на (4.55):

Для определения постоянных коэффициентов в уравнении (4.56) С1; С2, С3 и С4 воспользуемся граничными условиями

(4.48).

При подстановке граничного условия S = 0 при х = 0 най­ дем, что С, = 0, а при подстановке условия & = 0 при у —»оо С3 = 0 (это условие выполняется, когда 7 = 0 , что возможно лишь при С3 = 0). Тогда решением уравнения (4.47) будет следующее выра­ жение:

119

значениях аргумента & = 0. В связи с этим оно исключается из рассмотрения. Общее решение этого уравнения может быть запи­ сано как сумма частных решений для всех последовательных по­ ложительных значений числа п:

п%

(4.59)

л=1

Это выражение может быть разложено в ряд Фурье по сину­ сам в промежутке 0 < х < 5.

Коэффициенты этого разложения определяются по формуле

tx= const), представляет интерес одно из частных решений (4.61).

Прежде всего находим интеграл (4.60) при п = 1, 3, 5, ... (при и = 2,4, 6, ..., Сп =0):

120