Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

НЕСТАЦИОНАРНОЕТЕМПЕРАТУРНОЕПОЛЕ

5.1.Аналитическиеметодырешенияуравнения теплопроводности

Это уравнение является частным случаем однородного диф­ ференциального уравнения с постоянными коэффициентами для некоторой функции t от двух переменных х их:

131

Последнее уравнение называется уравнением коэффициен­

тов.

Переходя к уравнению (5.1) и сопоставляя его с уравнением

Таким образом, частное решение (5.3) является интегралом дифференциального уравнения (5.1) и с учетом (5.8) приобретет

В этом уравнении можно задавать любые значения чисел для С,

а, а.

132

Выражение (5.9) может быть представлено в виде произве­

дения

где сомножитель ехр(а2ат) является функцией только времени т,

а сомножитель ехр(ах) - только расстояния х:

С увеличением времени т температура во всех точках непре­ рывно растет и может стать выше наперед заданной, что в практи­ ческих задачах не встречается. Поэтому обычно берут только та­ кие значения а, при которых а2 отрицательно, что возможно при а

где q - произвольное действительное число1; i = -J—l .

В этом случае уравнение (5.10) приобретет следующий вид:

преобразуем уравнение (5.13). Получим два решения в комплекс­ ном виде:

Сложим левые и правые части уравнений (5.15), затем отде­ лим действительные от мнимых частей в левой и правой частях суммы и приравняем их соответственно. Тогда получим два реше­ ния:

1 Ранее значком q обозначали удельный тепловой поток. Стремясь следовать

примененным индексам в первоисточнике [15], использовали его вторично.

133

4 -[(Q + С2)/2]ехр(- q2ax)cos(qx) ;

тогда получим два решения, удовлетворяющих дифференциально­ му уравнению теплопроводности (5.1):

Известно, что если искомая функция имеет два частных ре­ шения, то и сумма этих частных решений будет удовлетворять ис­ ходному дифференциальному уравнению (5.1), т. е. решением это­ го уравнения будет:

а общее решение, удовлетворяющее этому уравнению, можно за­ писать в следующем виде:

Любые значения qm, qn, C;, Д в уравнении (5.20) будут

удовлетворять уравнению (5.1). Конкретизация в выборе этих зна­ чений будет определяться начальными и граничными условиями каждой частной практической задачи, причем значения qm и qn

определяются из граничных условий, а С, и Д - из начальных.

Помимо общего решения уравнения теплопроводности (5.20), в котором имеет место произведение двух функций, одна из которых зависит от х, а другая - от т, существуют еще решения, в которых такое разделение невозможно, например:

(5.21)

И

134

Оба решения удовлетворяют уравнению теплопроводности, в чем легко убедиться, продифференцировав их сначала по т, а за­ тем 2 раза по дг и подставив результат в дифференциальное урав­ нение (5.1).

5.1.2. Частный пример нестационарного температурного поля в стенке

Рассмотрим пример применения полученного выше реше­ ния. Исходные данные.

1.Дана бетонная стенка толщиной 2Х = 0,80 м.

2.Температура окружающей стенку среды 0 = 0 °С.

3.В начальный момент времени температура стенки во всех точках Fix) = 1 °С.

4.Коэффициент теплоотдачи стенки а = 12,6 Вт/(м2 • °С); ко­ эффициент теплопроводности стенки X = 0,7 Вт/(м • °С); плотность

аД = 18,0 1/м.

Требуется определить распределение температуры в стенке через 5 ч после начального момента времени.

Решение. Обращаясь к общему решению (5.20) и имея в виду, что начальное и последующие распределения температуры симмет­ ричны относительно оси стенки, заключаем, что ряд синусов в этом общем решении отпадает и при х = Х оно будет иметь вид

(5.23)

;=1

Значения qn X определены из граничных условий (без до-

I полнительных здесь пояснений) и приведены в табл. 5.1.

135

Располагая значениями qn X , cos,[c]n X ), sinkn,X ) из табл.

5.1, находим искомый ряд значений по формуле

(cos

т. е. Ц = 1,250; D2 =-0,373; £>3 =0,188; D4 - - 0,109; D5 =0,072.

Начальное распределение температуры в рассматриваемой стенке приобретет следующий вид:

/т=0 =F(x) = l,250cos(3,45x)-0,373cos(l0,4x)+

+ 0,188cos(l7,7x)- 0,109cos(25,lx) +0,072cos(32,7x)-... ^ -25'>

Чтобы получить расчетное распределение температуры че­ рез 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд

значений Д. ехр(- q2n ат) на время через 5 ч. Эти расчеты выполне­

ны в табл. 5.2.

136

Окончательное выражение для распределения температуры в толще стенки через 5 ч после начального момента:

tz=5 = l , 1 7 5 c o s ( 3 , 4 5 x ) - 0 , 2 0 3 c o s ( l 0 , 4 x ) +

(5.26)

+ 0 ,0 3 3 c o s ( l 7 , 7 x ) - 0 ,0 0 3 c o s (2 5 ,1 jc ) .

На рис. 5.1 показано распределение температуры в толще стенки на начальный момент времени и через 5 ч. Наряду с общим решением здесь же изображены и частные, причем римскими циф­ рами указаны частные кривые, отвечающие последовательным слагаемым рядов (5.25) и (5.26).

t

Рис. 5.1. Распределение температуры в стенке на начальный момент времени (слева) и через 5 ч (справа).

При решении практических задач обычно нет необходимо­ сти определять температуру во всех точках стенки. Можно огра­ ничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной точ­ ки, например, для точки в середине стенки. В этом случае объем вычислительных работ по формуле (5.23) значительно сократится.

Если начальная температура в рассмотренном выше случае равна не 1 °С, а Тс, то уравнение (5.20) примет вид:

137

= r o | S C'- CXp (" ‘?m«T)sin t / ) +

(5.27)

+ j r D, exp(- q \ flr)cos(grB|x )l.

1=1

5.1.3. Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях

Не будем приводить последовательный ход решения урав­ нения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имею­ щихся готовых решений.

Задача № 1. Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х. В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, темпе­ ратура Тс. Температура на поверхности О °С удерживается в тече­ ние всего расчетного периода.

Требуется найти t -

Пример к задаче № 1. Неподвижное водохранилище покры­ лось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Гс = 4 °С).

Глубина водохранилища 5 м (X = 5 м). Рассчитать температуру

138

воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Темпера­ туропроводность неподвижной воды а = 4,8 ■10^* м2/ч. Тепловой поток у дна, т. е. при х —0, отсутствует.

В течение расчетного периода (х = 3 • 30 • 24 = 2160 ч) тем­ пература на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т. е. при х = X Та = 0 °С.

Весь расчет сводим в табл. 5.3 и 5.4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального

Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особен­ ностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомен­ дации к этим расчетам можно найти в пособии [47].

Точно так же полезные указания даны в работе К.И. Россий­ ского [48].

Задача № 2. Исходные данные. Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени х = 0 во всех точках температура тела равна Тс. Для всех моментов времени х > 0 на

поверхности тела поддерживается температура Тп= О °С.

Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию вре-

функции х/-]4ах даны в табл. 5.5.

Практически решение начинается с определения отношения

х / л/4ах , в котором х и х заданы в условии задачи.

Количество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь рас­

Пример к задаче № 2. В начальный момент времени темпе­ ратура почвы от поверхности до значительной глубины была по­

140