Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

821

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

5.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3131

Глава 3. Гипербола

1. 1)		2	−		2	= 1; 2)		2		−		2		= 1; 3) 2			−	2	= 1; 4)			( −4)2	−	( +6)2	= 1;	5)	2	−
1. 1)			−			= 1; 2)		15		−				= 1; 3) 2			−	64	= 1; 4)				−		= 1;	5)		−
16				9				15			8							81	64				9			36
										2					2			81
2							( −	10		2				5	2
2							( −		)				( + )
−	( +5)			= 1; 6)			7				−			3		= 1.	2. 1)		(0; 0), = 8, = 6; 2)							(0; 0),
−	25			= 1; 6)			169				−			64		= 1.	2. 1)		(0; 0), = 8, = 6; 2)							(0; 0),
							36							25			10			5
											(0; 0), =							, =			; 4) (−8; −6), = 4, = 3;
= 2√14, = 2√5; 3)
= 2√14, = 2√5; 3)																	7			6

5) (0; 7), = 3√7, = 6√2; 6) (− 116 ; − 1817), = 2, = 1. 3. 1) Центр ги-

перболы находится в точке (0; 0), полуоси = 11, = 8 (рис. 3.1); 2) центр гиперболы находится в точке (0; 0), полуоси = 1, = √6 (рис. 3.2); 3) центр гиперболы находится в точке (0; 0), полуоси =

= √3217 ≈ 1,37, = √76 ≈ 1,08 (рис. 3.3); 4) центр гиперболы находится в точке (−5; 4), полуоси = 10, = 8 (рис. 3.4); 5) центр гиперболы нахо-

дится в точке (

; −

), полуоси = 2, = 1 (рис. 3.5); 6) центр гипер-

болы находится в точке (0; −

), полуоси =

, =

(рис. 3.6).

−11

√6

−8

Рис. 3.1

−1

−√6

Рис. 3.2

301


	1,08				12
−1,37		1,37			4
	−1,08

			−15	−5	5
	Рис. 3.3				−4
					−4

Рис. 3.4

				7						17		27								−		7				7
																				−
						5				5		5								8						8

																										−	17
																										−
																										10
−		10
−
3
3



																										−	33
																										−
								Рис. 3.5																		10
								Рис. 3.5
																										Рис. 3.6

																										=		√21		; 4) =
4. 1) = 8, = 2√5; 2)															(−2√21;	0),		(2√21; 0); 3)										√21
4. 1) = 8, = 2√5; 2)															(−2√21;	0),		(2√21; 0); 3)
												1					2									4
																										4
	32√21											√5
= ±	32√21				; 5) = ±							√5		. 5. Точка			лежит на гиперболе. 6. 5√6 + 9√2 +
= ±					; 5) = ±									. 5. Точка			лежит на гиперболе. 6. 5√6 + 9√2 +
21												4			3
21							2				2	4									2				2
+12 = 0. 7.									−			= 1. 8. 1) Часть гиперболы											−			= 1, расположенной в
+12 = 0. 7.						64			−	48		= 1. 8. 1) Часть гиперболы								64			−	36		= 1, расположенной в
						64				48										64				36						( +4)2				2
нижней полуплоскости (рис. 3.7); 2) левая ветвь гиперболы																														( +4)2			−	2	= 1
нижней полуплоскости (рис. 3.7); 2) левая ветвь гиперболы																													49				−	9	= 1
																													49					9
(рис. 3.8).

										6																			3
			−8										8						−11							−4						3
										−6									−11							−4						3
										−6
								Рис. 3.7																							−3
								Рис. 3.7
																										Рис. 3.8


9. (−4; 6), (0; 4). 10. 1) =	3√3	; 2) = −	3√3

	4+√19 cos		4+√19 cos

. 11. 6 и 2√6.

302

Глава 4. Парабола

1. 1) 2 = −12 ; 2) 2 = 12 ; 3) ( + 3)2 = −2 ; 4) ( − 4)2 = 6( + 1); 5) ( + 143 )2 = 4 ( − 125 ); 6) ( + 49)2 = − 75 ( − 12). 2. 1) (0; 0), = 5, вет-

ви направлены вправо; 2) (0; 0), = 1532 , ветви направлены вниз; 3) (2; −1), = 2, ветви направлены влево; 4) (0; −7), = 3, ветви направлены вверх; 5) (117 ; 109 ), = 3, ветви направлены вниз;

6) (− 158 ; − 125 ), = 138 , ветви направлены вправо. 3. 1) Вершина параболы

находится в точке (0; 0), параметр = 4, фокус (2; 0), директриса = −2 (рис. 4.1); 2) вершина параболы находится в точке (0; 0), параметр =

138 , фокус (0; − 1316), директриса = 1316 (рис. 4.2); 3) вершина параболы находится в точке (−3; 6), параметр = 2, фокус (−3; 7), директриса

= 5 (рис. 4.3); 4)							вершина параболы находится в точке (0; 5), параметр
= 1,		фокус (−					1	; 5),			директриса =						1	(рис. 4.4); 5) вершина параболы
= 1,		фокус (−					2	; 5),			директриса =							(рис. 4.4); 5) вершина параболы
							2									2
находится в точке									(	17	; −	15		),		параметр = 5, фокус (								17	; −	65	), дирек-
находится в точке									(		; −	7		),		параметр = 5, фокус (									; −		), дирек-
				5					3			7								3					14
триса		=		5		(рис.			4.5);			6)				вершина		параболы находится в точке
триса		=		14		(рис.			4.5);			6)				вершина		параболы находится в точке
				14
(−	18	; −	20		), параметр =								19		, фокус (−				239	; −		20	), директриса = −					49
(−		; −			), параметр =										, фокус (−					; −			), директриса = −
5		11										4						40		11					40
(рис. 4.6).

																			=		13
																			=
																				16



	= −2																						Рис. 4.2.
	= −2
					Рис. 4.1.
						′
							6
							6							′
= 5														′
= 5
				−3
					Рис. 4.3.

303

5 ′

= 0,5

Рис. 4.4

′

					17	=	5
					3	=
					3		14			−		18
												18
												5		20			′
														20
		15							′				− 11

− 7
− 7

				Рис. 4.5									= −				49
																	49
																	40
																	40
												Рис. 4.6.
4. Точки				и		лежат на параболе. 5. 3 + 2 + 6 = 0. 6. 2							= −		3	.
4. Точки				и		лежат на параболе. 5. 3 + 2 + 6 = 0. 6. 2							= −			.
1				3									7
7. 1) Часть параболы 2 = −2 , расположенная в третьем координатном
углу; вершина параболы находится в точке (0; 0);											параметр = 1, фокус
(−	1		; 0),	директриса =				1	(рис. 4.7);	2) часть параболы ( + 6)2							= −4 ,
(−			; 0),	директриса =					(рис. 4.7);	2) часть параболы ( + 6)2							= −4 ,
2						2

расположенная правее прямой = −6; вершина параболы находится в точке (−6; 0); параметр = 2, фокус (−6; −1), директриса = 1 (рис. 4.8).

	29		17
8. (1; 2√3), (3; −6). 9. =	29	. 10.	17	.

	34−34 cos		15

304

	= 1	= −6
	= 1



		Рис. 4.8
= 1
2

Рис. 4.7.

Глава 5. Исследование общего уравнения кривой второго порядка

1. (−8; 6). 2. Гипербола. 3. Эллиптический тип; эллипс с центром в точке

(−6; 2); каноническое уравнение		′2			′2
				+		= 1 (рис. 5.1).
		9		+	4	= 1 (рис. 5.1).
		9			4
	′
						4
						2	′
−9	−6		−3
	Рис. 5.1.

Ответы к Прикладным задачам для самостоятельного решения

Глава 1. Окружность

1. 3 − 4 − 2 = 0. 2. 1(−0,4; 8,8), 2(6; 4). 3. Окружность с центром в

точке ( −+ ; 0) и радиусом = 2 √− , где и – силы источников света, 2 – расстояние между источниками света.

Глава 2. Эллипс

1. 90202 2 + 87082 2 = 1. 2. ≈ 0,08. 3. ≈ 0,017. 4. = 6953 км – полуось ор-

биты, = 0,0517. 5. Эллипс с уравнением 22 + 22 = 1, где = , =

= . 6. Эллипс с уравнением 22 + 22 = 1, где = , = . 7. наиб ≈ 70 см, наим ≈ 10 см; наиб ≈ 35 см/сек, наим ≈ 5 см/сек.

305

8. = 23 сек1 , = 28 см, = 23 см, ≈ 16 см, наиб ≈ 44 см, наим ≈ 12 см;

наиб ≈ 88 см/сек, наим ≈ 24 см/сек. 9. Эллипс с фокусами в точках и .

Глава 3. Гипербола

1. Точка лежит на гиперболе с фокусами в точках и . При значительной удалённости точки ветвь гиперболы можно заменить её асимптотой, которую можно построить на карте. 2. Гипербола с фокусами в точках и.

			Глава 4. Парабола
1. = 12; 2. 40 см. 3. =			1		2 + 2,5. 4.		= 0,0036 2 − 0,12 ; ≈ 16,67;
1. = 12; 2. 40 см. 3. =					2 + 2,5. 4.		= 0,0036 2 − 0,12 ; ≈ 16,67;
			72				1
			72						8
≈ 33,33. 5. 7,5 см от вершины. 6. 13 мм. 7. 5 м. 8.									8	.
≈ 33,33. 5. 7,5 см от вершины. 6. 13 мм. 7. 5 м. 8.										.
2							3
							3
					Ответы к Тестам
			Глава 1. Окружность
Вариант 1.
Номер задания	1	2		3		4		5
Номер ответа	2	3		5		2		1
Вариант 2.
Номер задания	1	2		3		4		5
Номер ответа	4	3		2		1		2
					Глава 2. Эллипс
Вариант 1.
Номер задания	1	2		3		4		5
Номер ответа	5	1		2		2		3
Вариант 2.
Номер задания	1	2		3		4		5
Номер ответа	4	3		1		5		3
				Глава 3. Гипербола
Вариант 1.
Номер задания	1	2		3		4		5
Номер ответа	3	5		1		2		2
Вариант 2.
Номер задания	1	2		3		4		5
Номер ответа	1	4		2		3		4

306

Глава 4. Парабола

Вариант 1.

Номер задания	1	2	3	4	5
Номер ответа	4	3	1	2	1
Вариант 2.
Номер задания	1	2	3	4	5
Номер ответа	3	1	4	2	3

Глава 5. Исследование общего уравнения кривой второго порядка Вариант 1.

Номер задания	1	2	3	4	5
Номер ответа	3	4	2	3	1
Вариант 2.
Номер задания	1	2	3	4	5
Номер ответа	5	3	1	4	3

307

Заключение

Внастоящее время агропромышленный комплекс невозможен без современной техники, оборудования и технологий, что вызывает необходимость подготовки инженерных кадров, способных не только эффективно использовать имеющиеся технологии, но и создавать новые. В образовании инженера большую роль играет математическая подготовка, возможность средствами математики решать профессиональные задачи. В связи с этим в данном учебном пособии рассматриваются кривые второго порядка, имеющие множество приложений в науке, технике и повседневной жизни.

Математический аппарат кривых второго порядка применяется в машиностроении, приборостроении, в устройстве различных станков, прессов, формовочных машин, в математической картографии, в строительстве зданий и сооружений, в организации грузоперевозок. Оптические свойства кривых второго порядка лежат в основе работы оптических приборов. Кривые второго порядка являются важным элементом общей культуры. Нередко архитекторы обращаются к этим кривым, позволяющим сочетать хорошие технические характеристики возводимого объекта с эстетическими, вызванными особенностями геометрической формы объекта.

Данное пособие позволит обучающимся получить основательные и системные знания и умения в области кривых второго порядка, применять их при изучении технических дисциплин, с пониманием читать математическую и техническую литературу, решать профессиональные задачи, подготовиться к текущему и итоговому контролю.

Врезультате изучения данного пособия обучающийся овладеет системой знаний в области уравнений, свойств и вида кривых второго порядка; будет иметь представление о возможности применения кривых второго порядка в различных сферах деятельности, в том числе технической; сможет составлять уравнения кривых второго порядка по их заданным свойствам; сможет выявлять свойства кривых второго порядка по их заданному уравнению; по заданному алгебраическому уравнению второй степени сможет строить кривые второго порядка, определяемые этими уравнениями; сможет применять теорию кривых второго порядка к решению прикладных задач, в том числе задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера; получит навык исследования свойств и вида кривых второго порядка.

Содержание и форма предлагаемого учебного материала являются механизмом мотивации обучающегося к дальнейшему изучению как кривых второго порядка, так и в целом дисциплин Математика и Высшая математика. В зависимости от потребностей, дальнейшее изучение возможно

вобласти теории или в области приложений.

Данное пособие предназначено для обучающихся инженернотехнических направлений подготовки. Также будет полезно всем, кто изучает аналитическую геометрию в рамках вузовского курса математики, а также тем, кто занимается самообразованием. Может быть использовано преподавателями высших и средних учебных заведений, а также учителями школ с целью углублённого изучения математики.

308

Глоссарий

Окружность –множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой её центром.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокальные радиусы эллипса – расстояние от произвольной точки эллипса до фокуса.

Эксцентриситет эллипса – отношение расстояния между фокусами к большой оси.

Директрисы эллипса – две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на рас-

стоянии от него ( – длина большой полуоси эллипса, – эксцентриситет

эллипса).

Гипербола – множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Эксцентриситет гиперболы – отношение расстояния между фокусами к расстоянию между её вершинами.

Фокальные радиусы гиперболы – расстояние от произвольной точки гиперболы до фокуса.

Директрисы гиперболы – две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая её пересекает, и расположенные симметрично относи-

тельно центра на расстоянии от него ( – длина действительной полуоси

гиперболы, – эксцентриситет гиперболы).

Парабола – множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию от этой же точки до фиксированной прямой, называемой директрисой.

Параметр параболы – расстояние между фокусом и директрисой параболы.

309

Список литературы

1.Андросов, А. Зубчатые передачи с эллиптическим профилем зуба как элемент научно-технического прогресса в машиностроении / А. Андросов, Г. Гребенюк // САПР и Графика. 2005. №8.

2.Гельфанд, И. М. Функции и графики (основные приёмы). / И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль. – Изд-во "Наука". Главная редакция физико-математической литературы, 1973 – 96 с.

3.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 7-е изд., испр. – Москва: АСТ: Мир и Образование, 2014.– 816 с.: ил.

4.Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. – 14-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 240 с.

5.Ильин, В. А. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. 8-е изд., стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. – 224 с.

6.Карпушина, Н. Во власти сечений / Н. Карпушина // Наука и жизнь. 2012. №5.

7.Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие / Д. В. Клетеник. – 17-е изд., стер. / Под ред. Н. В. Ефимова. – СПб.: Издательство Лань, 2014. – 224 с.

8.Кожевников, Д. В. Режущий инструмент: Учебник для вузов / Д. В. Кожевников, В. А. Гречишников, С. В. Кирсанов, В. И. Кокарев, А. Г. Схиртладзе. – 3-е изд. / Под ред. С. В. Кирсанова. – М.: Машиностроение, 2007. – 528 с.

9.Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 576 с.

10.Макаров, К. Н. Инженерная геодезия: учебник для вузов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 243 с.

11.Ноздрин, И. Н. Прикладные задачи по высшей математике /

И. Н. Ноздрин, И. М. Степененко, Л. К. Костюк. – «Вища школа», 1976. – 176 с.

12.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч.1 / Д. Т. Письменный. – 12-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2013.– 288 с.

13.Потапов, А. П. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник и практикум для академического бакалавриата / А. П. Потапов – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 310 с.

14.Попов, О. Н. Введение в теорию гибких нитей: учебное пособие / О. Н. Попов, М. О. Моисеенко. – Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2016. – 66 с.

15.Привалов, И. И. Аналитическая геометрия: учебник для вузов / И. И. Привалов. – 40-е изд., стер. – М.: Издательство Юрайт, 2016. – 233 с.

16.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – Изд-во "Наука". Главная редакция физико-математической литературы, 1981 – 464 с.

17.Серапинас, Б. Б. Математическая картография: Учебник для вузов / Балис Балио Серапинас. – М.: Издательский центр "Академия", 2005. – 336 с.

18.Смирнов, В. А. Строительная механика: учебник для вузов /

В. А. Смирнов, А. С. Городецкий; под ред. В. А. Смирнова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 423 с.

19.Тимофеев, Г. А. Теория механизмов и машин: учебник и практикум для прикладного бакалавриата / Г. А. Тимофеев. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 368 с.

20.Цубербиллер, О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О. Н. Цубербиллер. – 34-е изд., стер. – СПб: Издательство Лань, 2009. – 336 с.

21.Фихтенгольц, Г. М. Математика для инженеров. Часть первая.

/Г. М. Фихтенгольц. – 4-е изд. – ОНТИ. Главная редакция общетехнических дисциплин. Ленинград. Москва, 1934. – 620 с.

22.Язев, С. А. Астрономия. Солнечная система: учебное пособие для вузов / С. А. Язев; под науч. ред. В. Г. Сурина. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2019.

– 336 с.

310

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3131

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20245.44 Mб0817.pdf
#
09.01.20245.44 Mб0818.pdf
#
09.01.20245.46 Mб0819.pdf
#
09.01.2024441.6 Кб082.pdf
#
09.01.20245.47 Mб0820.pdf
#
09.01.20245.5 Mб3821.pdf
#
09.01.20245.54 Mб0822.pdf
#
09.01.20245.55 Mб1823.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0824.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0825.pdf
#
09.01.20245.57 Mб0826.pdf