821
.pdf5.9.1(5; 4), 2(−3; 1), 3(3√3; −4), 4(−√13; 0), 4 2 − 3 2 = 52.
5.10.1(−1; 4), 2(√10; −1), 3(3; 0), 4(−3; 0), 5 2 − 3 2 = 45.
5.11.1(√3; 0), 2(2√2; −2√5), 3(3; 2√6), 4(−√3; 0), 4 2 − 2 =
= 12.
5.12. 1 (− 2√55 ; 0), 2(3; 5), 3(√2; −√3), 4(−4; 7), 5 2 − 2 2 = 4. 5.13. 1(√3; 2√6), 2(0; −4), 3(−3; 6), 4(1; 4), 8 2 − 3 2 = −48.
5.14. 1 (− 2√35 ; 0), 2(3; −2), 3(√10; √5), 4(−√10; −√5), 3 2 − −2 2 = 20.
5.15. 1 (2√36 ; 0), 2(3; −3), 3(−√5; −√3), 4(−4; 5), 9 2 − 7 2 =
= 24.
5.16. 1(3; −2), 2(−2√2; √5), 3(0; √5), 4(2; 0), 5 2 − 4 2 = 20. 5.17. 1(−2; 0), 2(5; −3), 3(√11; √2), 4(2; 0), 2 2 − 7 2 = 8.
5.18. 1(−4√2; √15), 2(3; −1), 3(−4; 2), 4(√7; 0), 3 2 − 5 2 =
= 21.
5.19. 1(√2; 0), 2(√5; 2), 3(−3; 3), 4(−√2; 0), 8 2 − 7 2 = 16. 5.20. 1(0; −2), 2(√2; 0), 3(√7; √10), 4(−√2; 0), 2 2 − 2 = 4.
5.21. 1 (√22 ; 0), 2(3; 2), 3(4; 3), 4(−2; √3), 6 2 − 7 2 = 3. 5.22. 1(0; −√3), 2(−2; 3), 3(5; 8), 4(−1; 0), 3 2 − 2 = 3.
5.23. 1 (0; − 2√33), 2 (2√53 ; 0), 3(−√6; √2), 4(4; −3), 5 2 − 9 2 =
= 12.
5.24. 1(2√2; −√3), 2(0; √2), 3 (− 4√55 ; 0), 4(3; −2), 5 2 − 8 2 =
= 16.
5.25. 1(7; 2√2), 2 (0; − 3√55), 3(−3; 0), 4(−6; 2), 2 − 5 2 = 9.
5.26. 1 (0; − 2√714), 2(√10; √6), 3(2; 1), 4 (− 2√510 ; 0), 5 2 − −7 2 = 8.
5.27.1(√3; 0), 2 (0; − 3√515), 3(3; 4), 4(−√3; 0), 9 2 − 5 2 = 27.
5.28.1(−2; 1), 2(1; −1), 3 (0; √42), 4 (− √77 ; 0), 7 2 − 8 2 = −1.
5.29.1(2; −5), 2(−1; √6), 3(0; −1), 4 (√77 ; 0), 7 2 − 2 = 1.
5.30.1(2√2; √6), 2(3; 2), 3(0; −√6), 4(−2; 0), 3 2 − 2 2 = 12.
5.31.1(−3; 1), 2(√7; −1), 3(2; 0), 4(4; 4), 5 2 − 3 2 = 32.
5.32.1(4; 2√10), 2(3; −1), 3(5; 9), 4(−√6; 0), 4 2 − 2 = 24.
5.33.1 (− 32 ; 0), 2 (0; − 3√77), 3(3; 1), 4(2; −1), 4 2 − 7 2 = 9.
5.34.1(−2; 0), 2(−√2; 4), 3(3; 4), 4 (0; 4√36), 8 2 − 3 2 = −32.
5.35.1(3; √7), 2(−1; 1), 3(2; 0), 4 (0; − 2√77), 5 2 − 7 2 = −4.
181
5.36. 1(−2; 0), 2(2; 1), 3(3; −√2), 4 (0; − 2√510), 2 2 − 5 2 = 8.
6. Составление уравнения касательной к гиперболе в её точке Задание 6. Составить уравнение касательной к гиперболе в её точке .
6.1.(−6; 2√3), 5 2 − 9 2 = 72.
6.2.(2√5; −7), 8 2 − 3 2 = 13.
6.3.(−4; 2), 2 2 − 7 2 = 4.
6.4.(5; 9), 4 2 − 2 = 19.
6.5.(−√10; 2), 7 2 − 9 2 = 34.
6.6.(6; −3), 3 2 − 5 2 = 63.
6.7.(√6; 3), 9 2 − 4 2 = 18.
6.8.(−2√3; 2√2), 5 2 − 7 2 = 4.
6.9.(4; −9), 6 2 − 2 = 15.
6.10.(√11; −2), 4 2 − 5 2 = 24.
6.11.(3√2; 6), 7 2 − 3 2 = 18.
6.12.(−5; 3), 3 2 − 4 2 = 39.
6.13.(√3; −5), 9 2 − 2 = 2.
6.14.(−4; 5), 8 2 − 5 2 = 3.
6.15.(√10; 2√2), 6 2 − 7 2 = 4.
6.16.(7; −5), 4 2 − 7 2 = 21.
6.17.(2√6; 4), 5 2 − 3 2 = 72.
6.18.(3√5; −√5), 2 2 − 9 2 = 45.
6.19.(−9; 4), 2 − 5 2 = 1.
6.20.(8; 3√3), 2 2 − 3 2 = 47.
6.21.(−5; 2√6), 6 2 − 5 2 = 30.
6.22.(√6; 4), 7 2 − 2 2 = 10.
6.23.(−2√3; 4), 5 2 − 2 2 = 28.
6.24.(3; −2√2), 9 2 − 8 2 = 17.
6.25.(√10; 2), 4 2 − 9 2 = 4.
6.26.(−8; 3), 2 − 3 2 = 37.
6.27.(3√2; −4), 8 2 − 7 2 = 32.
6.28.(2√5; 6), 3 2 − 2 = 24.
6.29.(−3; −2√3), 7 2 − 4 2 = 15.
6.30.(5; 4), 5 2 − 6 2 = 29.
6.31.(√7; −1), 2 2 − 5 2 = 9.
6.32.(3; √7), 9 2 − 7 2 = 32.
6.33.(−9; 3), 2 − 4 2 = 45.
6.34.(3√3; 4), 4 2 − 5 2 = 28.
6.35.(6; −3), 3 2 − 5 2 = 63.
6.36.(2√3; 2√2), 6 2 − 7 2 = 16.
182
Второй уровень сложности
7. Составление уравнения гиперболы по заданным уравнениям асимптот и расстоянию между фокусами
Задание 7. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что
уравнения асимптот = ± |
|
и расстояние между фокусами равно 2с. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
√15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.1. = ± |
|
|
|
, 2 = 24. |
7.2. = ± |
|
, 2 = 2√57. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.3. = ± |
|
|
|
, 2 = 14. |
7.4. = ± |
|
, 2 = 2√73. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
√17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.6. = ± |
3√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.5. = ± |
|
|
|
, 2 = 4√26. |
, 2 = 2√82. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.8. = ± |
2√14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.7. = ± |
|
, 2 = 2√65. |
, 2 = 18. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.9. = ± |
|
|
|
, 2 = 2√73. |
7.10. = ± |
|
|
|
, 2 = 2√117. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
√11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
7.11. = ± |
|
, 2 = 24. |
7.12. = ±√2 , 2 = 6√3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.13. = ± |
|
, 2 = 8√7. |
7.14. = ± |
|
, 2 = 4√23. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.15. = ± |
|
, 2 = 2√41. |
7.16. = ± |
|
, 2 = 2√102. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.17. = ± |
|
, 2 = 2√33. |
7.18. = ± |
|
, 2 = 4√34. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.19. = ± |
|
, 2 = 10√3. |
7.20. = ± |
|
, 2 = 16. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, 2 = 2√ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.21. = ± |
|
, 2 = 2√37. |
7.22. = ± |
|
102 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2√10 |
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.23. = ± |
|
, 2 = 22. |
7.24. = ± |
|
, 2 = 4√19. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3√10 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.25. = ± |
|
, 2 = 4√19. |
7.26. = ± |
|
, 2 = 2√122. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
√7 |
|
|
|
|
|
3√5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.27. = ± |
|
, 2 = 16. |
7.28. = ± |
|
, 2 = 2√61. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.29. = ± |
|
, 2 = 2√74. |
7.30. = ± |
|
, 2 = 18. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
√5 |
|
|
|
|
|
|
2√5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.31. = ± |
|
, 2 = 4√14. |
7.32. = ± |
|
, 2 = 12. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√10 |
|
|
|
|
|
2√14 |
, 2 = 18. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.33. = ± |
|
, 2 = 8√7. |
7.34. = ± |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.35. = ± |
|
, 2 = 8√10. |
7.36. = ± |
|
, 2 = 4√15. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Построение гиперболы по заданному уравнению Задание 8. Построить гиперболу по заданному уравнению.
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.1. 1) |
= − |
√ |
2 |
− 49; |
2) |
= −4 + 2√ 2 + 4. |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.2. 1) |
= |
√ 2 |
+ 16; |
|
2) |
= 3 − |
|
√ |
2 |
− 36. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3. 1) = − |
√ |
2 + 36 |
; |
|
2) |
= −1 + |
|
|
|
|
√ 2 |
− 25. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.4. 1) = − |
√ 2 − 64; |
2) |
= 5 + |
√ |
2 + 81 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.5. 1) = |
|
|
√ |
2 − 9 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
= −6 − |
|
|
|
|
√ 2 |
− 25. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.6. 1) = − |
√ 2 − 16; |
2) |
= 2 + |
√ |
2 + 16 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8.7. 1) = − |
√ |
2 + 81 |
; |
|
2) |
= −3 + √ 2 − 25. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.8. 1) = 2√ 2 − 1; |
2) |
= −7 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 25. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.9. 1) = − |
√ |
2 + 81 |
; |
|
2) |
= 2 + |
|
√ 2 − 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.10. 1) = 3√ 2 + 4; |
2) |
= −4 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 25. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.11. 1) = − |
|
|
√ |
2 − 16 |
; |
2) |
= −6 + |
|
|
|
√ 2 |
+ 36. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.12. 1) = |
|
|
√ 2 + 64; |
2) |
= 2 − |
√ |
2 − 16 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.13. 1) = − |
|
|
√ |
2 − 81 |
; |
2) |
= −5 + |
|
|
|
√ 2 |
+ 25. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8.14. 1) = 4√ 2 + 1; |
2) |
= 6 − |
√ |
2 − 49 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8.15. 1) = − |
√ |
2 − 4 |
; |
2) |
= −4 + |
|
|
|
√ 2 |
− 49. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.16. 1) = |
|
|
√ 2 − 16; |
2) |
= 3 − |
√ |
2 + 36 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.17. 1) = − |
|
√ |
2 + 81 |
; |
2) |
= −2 + |
|
|
|
√ 2 |
− 16. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8.18. 1) = |
|
|
√ 2 − 49; |
2) |
= 6 − |
√ |
2 + 81 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.19. 1) = −3√ |
2 + 1 |
; |
2) |
= −5 + |
|
|
|
√ 2 |
− 49. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.20. 1) = |
|
|
√ 2 − 9; |
2) |
= 7 − |
√ |
2 + 16 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
8.21. 1) = − |
√ |
2 − 36 |
; |
2) |
= 1 + |
|
√ 2 + 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.22. 1) = 2√ 2 + 4; |
2) |
= −2 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 49. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8.23. 1) = − |
√ |
2 − 25 |
; |
2) |
= 3 + 2√ 2 + 16. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
8.24. 1) = 2√ 2 + 9; |
2) |
= −3 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.25. 1) = − |
|
√ |
2 − 81 |
; |
2) |
= 4 + 3√ 2 + 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
8.26. 1) = |
|
|
√ 2 + 16; |
2) |
= −1 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 49. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8.27. 1) = − |
√ |
2 − 64 |
; |
2) |
= 2 + |
|
√ 2 + 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.28. 1) = |
|
√ 2 + 36; |
2) |
= −5 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 16. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.29. 1) = − |
√ |
2 − 9 |
; |
2) |
= 4 + |
|
√ 2 + 25. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.30. 1) = |
|
|
√ 2 + 36; |
2) |
= −7 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 16. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8.31. 1) = − |
√ |
2 − 64 |
; |
2) |
= 3 + 2√ 2 + 9. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8.32. 1) = 2√ 2 + 1; |
2) |
= −3 − |
|
|
|
√ |
2 |
− 36. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8.33. 1) = − |
√ |
2 − 81 |
; |
2) |
= 2 + |
|
√ 2 + 25. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
8.34. 1) |
= |
√ 2 + 36; |
2) |
= −6 − |
|
√ |
2 |
− 9. |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
8.35. 1) |
= − |
√ |
2 − 25 |
; |
2) |
= 3 + |
√ 2 + 81. |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.36. 1) |
= 2√ 2 + 4; |
2) |
= −6 − |
|
√ |
2 |
− 9. |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9. Нахождение координат точек пересечения прямой и гиперболы
Задание 9. Найти координаты точек пересечения прямой и гипербо-
лы.
9.1.5 − 2 − 17 = 0, 6 2 − 7 2 − 36 − 14 + 198 = 0.
9.2.4 − 3 − 10 = 0, 2 2 − 3 2 − 4 − 12 + 20 = 0.
9.3.3 − − 7 = 0, 6 2 − 5 2 − 24 − 10 + 58 = 0.
9.4.+ − 3 = 0, 5 2 − 4 2 + 30 + 48 − 115 = 0.
9.5.− 3 + 7 = 0, 4 2 − 5 2 + 32 + 10 − 65 = 0.
9.6.3 + − 5 = 0, 6 2 − 7 2 − 24 − 14 + 74 = 0.
9.7.3 − 2 − 16 = 0, 3 2 − 5 2 − 24 − 20 + 61 = 0.
9.8.4 + 5 − 23 = 0, 5 2 − 4 2 − 70 − 8 + 180 = 0.
9.9.3 + − 5 = 0, 6 2 − 5 2 − 36 − 40 + 130 = 0.
9.10.2 − 3 + 13 = 0, 3 2 − 2 2 + 12 − 12 − 25 = 0.
9.11.2 − 3 − 9 = 0, 4 2 − 3 2 − 24 − 6 + 9 = 0.
9.12.+ 2 − 1 = 0, 9 2 − 8 2 − 54 − 16 + 45 = 0.
9.13.+ + 2 = 0, 5 2 − 3 2 − 10 − 18 − 40 = 0.
9.14.2 + 3 − 1 = 0, 7 2 − 4 2 − 28 − 8 − 23 = 0.
9.15.4 + 3 − 9 = 0, 8 2 − 7 2 − 48 − 14 + 105 = 0.
9.16.3 − 5 − 13 = 0, 2 2 − 3 2 + 16 − 30 − 66 = 0.
9.17.− 2 − 7 = 0, 3 2 − 7 2 + 6 − 56 − 129 = 0.
9.18.− + 1 = 0, 5 2 − 6 2 + 20 − 12 + 18 = 0.
9.19.5 − 2 + 19 = 0, 7 2 − 4 2 + 70 − 24 + 67 = 0.
9.20.3 − 2 − 13 = 0, 4 2 − 7 2 − 8 − 70 − 124 = 0.
9.21.− + 6 = 0, 5 2 − 4 2 + 30 + 24 + 5 = 0.
9.22.2 + 5 + 14 = 0, 2 2 − 7 2 − 12 − 56 − 116 = 0.
9.23.− − 11 = 0, 5 2 − 3 2 − 70 − 24 + 189 = 0.
9.24.5 − 4 − 13 = 0, 3 2 − 4 2 − 6 − 16 + 39 = 0.
9.25.4 − 3 + 26 = 0, 4 2 − 3 2 + 40 + 12 + 100 = 0.
9.26.3 + 4 + 1 = 0, 5 2 − 4 2 − 10 − 8 − 43 = 0.
9.27.− 3 − 10 = 0, 3 2 − 5 2 − 24 − 20 + 6 = 0.
9.28.− 2 + 2 = 0, 4 2 − 7 2 + 32 − 14 + 21 = 0.
9.29.− 2 + 13 = 0, 6 2 − 7 2 + 60 + 56 + 21 = 0.
9.30.4 − 3 − 10 = 0, 3 2 − 5 2 − 6 − 20 + 36 = 0.
9.31.2 − 3 + 22 = 0, 7 2 − 3 2 + 70 + 24 + 76 = 0.
9.32.+ − 1 = 0, 8 2 − 5 2 + 16 + 20 − 24 = 0.
9.33.2 − 3 + 9 = 0, 5 2 − 4 2 + 60 − 8 + 147 = 0.
9.34.+ 3 − 15 = 0, 2 2 − 5 2 + 12 + 60 − 175 = 0.
9.35.2 + 3 − 5 = 0, 4 2 − 3 2 + 40 + 36 − 41 = 0.
9.36.2 + 3 − 10 = 0, 6 2 − 7 2 + 48 + 84 − 152 = 0.
185
10. Составление полярного уравнения гиперболы по заданному её уравнению
Задание 10. Дано каноническое уравнение гиперболы. Составить полярное уравнение её левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе.
10.1. |
2 |
− |
|
2 |
= 1. |
10.2. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.3. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
||||||||||||||||
45 |
36 |
64 |
57 |
16 |
33 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10.4. |
2 |
− |
|
2 |
= 1. |
10.5. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.6. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
||||||||||||||||
81 |
40 |
28 |
21 |
49 |
32 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10.7. |
2 |
− |
|
2 |
= 1. |
10.8. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.9. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
||||||||||||||||
25 |
24 |
52 |
29 |
16 |
44 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10.10. |
2 |
|
|
− |
2 |
= 1. |
10.11. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.12. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||
100 |
|
32 |
9 |
24 |
36 |
13 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10.13. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.14. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.15. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||||
64 |
|
17 |
8 |
17 |
50 |
72 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.16. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.17. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.18. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||||
52 |
|
28 |
56 |
40 |
12 |
20 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.19. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.20. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.21. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||||
36 |
|
27 |
90 |
54 |
20 |
29 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.22. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.23. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.24. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||||
64 |
|
26 |
76 |
24 |
25 |
56 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.25. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.26. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.27. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||||
48 |
|
33 |
52 |
69 |
81 |
63 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.28. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.29. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.30. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||||
36 |
|
45 |
52 |
13 |
36 |
24 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.31. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.32. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.33. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||||
81 |
|
90 |
56 |
20 |
49 |
13 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.34. |
2 |
|
|
− |
2 |
= 1. |
10.35. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
10.36. |
2 |
− |
2 |
= 1. |
|||||||||||||||
100 |
|
44 |
52 |
48 |
76 |
45 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третий уровень сложности
11. Определение полуосей гиперболы по её полярному уравнению Задание 11. Найти полуоси гиперболы, заданной полярным уравне-
нием.
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11.1. = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.2. = |
|
22√14 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14+5√ |
|
|
|
|
cos |
|||||||||||||||
11+13 cos |
14 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.3. = |
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.4. = |
|
4√3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6+√ |
|
|
cos |
||||||||||||||||||||
5+8 cos |
42 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.5. = |
|
14√2 |
11.6. = |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
6+5√ |
|
|
|
|
cos |
5+6 cos |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.7. = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.8. = |
|
10√3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
||||||||||||||||||||||||
7+11 cos |
6+√51 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
11.9. = |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11.10. = |
|
8√3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
4+√ |
|
|
|
|
|
cos |
5+√ |
|
|
cos |
||||||||||||||||||||||
23 |
33 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
11.11. = |
13 |
|
|
|
. |
11.12. = |
32 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6+7 cos |
7+9 cos |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11.13. = |
|
|
|
|
|
|
|
11.14. = |
|
31√2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6+7√ |
|
cos |
|||||||||||||||||||||||||||
5+7 cos |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
11.15. = |
|
4√6 |
11.16. = |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
1+√ |
|
|
|
cos |
3+√ |
|
cos |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
14 |
186
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.17. = |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
11.18. = |
6√15 |
|
|
|
. |
|||||||||||
9+11 cos |
|
|
|
5+2√ |
|
|
cos |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
10 |
|||||||||||||||||||||||||||
11.19. = |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
11.20. = |
12 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3+2√5 |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
cos |
||||||||||||||||||||
|
|
|
3+√15 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.21. = |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
11.22. = |
2√5 |
|
. |
||||||||||||||
4+5 cos |
|
|
|
2+√5 |
|
cos |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
11.23. = |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
11.24. = |
41 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2+√ |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
7+3√ |
|
|
cos |
||||||||||||||||||
13 |
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11.25. = |
4√6 |
|
|
|
11.26. = |
6√2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
2+√ |
|
|
cos |
|
|
|
3+√ |
|
|
cos |
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
12 |
||||||||||||||||||||||||||
|
12√19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
11.27. = |
|
. |
11.28. = |
2√10 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
19+5√ |
|
|
|
|
|
|
cos |
5+√ |
|
|
cos |
|||||||||||||||||||
19 |
30 |
|||||||||||||||||||||||||||||
11.29. = |
4√3 |
|
|
|
|
11.30. = |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
2+√ |
|
|
cos |
|
|
|
5+√ |
|
|
cos |
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
34 |
||||||||||||||||||||||||||
11.31. = |
|
9√7 |
|
|
|
11.32. = |
22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
7+√ |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
3+2√5 |
|
cos |
|||||||||||||||||||
70 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
11.33. = |
16√17 |
|
|
. |
11.34. = |
9 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
17+5√ |
|
|
|
cos |
1+2 cos |
|||||||||||||||||||||||||
17 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11.35. = |
6√14 |
. |
|
|
11.36. = |
9√2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7+√70 cos |
|
|
4+5 cos |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тесты
Вариант 1
Первый уровень сложности.
1. Уравнение гиперболы с центром в точке (−6; 2), полуосями = 3, = 7, имеет вид (фокусы гиперболы лежат на оси абсцисс (ординат) или на прямой, параллельной этой оси, симметрично относительно точки ):
1) |
( +6)2 |
+ |
|
( −2)2 |
= 1 |
2) |
( +6)2 |
|
+ |
|
( −2)2 |
= 1 |
|||||||||||
9 |
49 |
3 |
|
7 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) |
( +6)2 |
− |
|
( −2)2 |
= 1 |
4) |
( +6)2 |
|
− |
|
( −2)2 |
= 1 |
|||||||||||
9 |
49 |
3 |
|
7 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5) |
( −6)2 |
− |
|
( +2)2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 |
49 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. Уравнения асимптот гиперболы |
|
|
− |
= 1 имеют вид: |
|||||||||||||||||||
64 |
|
28 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
32√23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
= ± |
|
|
|
2) = ±2√23 |
|
|
|
|
|
3) = ±8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) = ±2√23 |
|
5) = ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй уровень сложности.
3. Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, большая полуось которой равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 и эксцентриситет равен |
|
√5 |
, имеет вид: |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
− |
= 1 |
2) |
− |
= 1 |
3) |
|
− |
|
= 1 |
|||||||
16 |
4 |
4 |
2 |
16 |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
2 |
+ |
2 |
= 1 |
5) |
2 |
+ |
2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|||
16 |
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Прямая + + 1 = 0 пересекает гиперболу 5 2 − 2 2 − 30 − |
|||||||||||||||||
−16 + 1 = 0 в следующих точках: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
1(−5; −6), 2(−1; −2) |
|
2) 1(1; −2), 2(5; −6) |
||||||||||||||
3) |
прямая касается гиперболы в точке (1; −2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187 |
|
|
|
|
|
4)прямая касается гиперболы в точке (5; −6)
5)прямая проходит вне гиперболы
Третий уровень сложности.
5. Полуоси гиперболы, заданной полярным уравнением = |
11 |
, |
||||||
|
||||||||
5+6 cos |
||||||||
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
= 25, = 11 |
2) |
= 5, = √11 |
3) = 5, = 11 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
= 25, = √11 |
5) |
= 5, = 6 |
|
|
|
Вариант 2
Первый уровень сложности.
1. Дано уравнение гиперболы ( −1)36 2 − ( +2)25 2 = 1. Координаты её цен-
тра , полуоси и равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) (1; −2), = 6, = 5 |
2) (1; −2), = 36, = 25 |
||||||||||||||||
3) |
(−1; 2), = 6, = 5 |
4) (−1; 2), = 36, = 25 |
|||||||||||||||
5) |
(−2; 1), = 6, = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Уравнения директрис гиперболы |
2 |
− |
2 |
= 1 имеют вид: |
|||||||||||||
36 |
|
24 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
= ±2√15 |
2) = ±6 |
|
|
|
|
|
3) = ±2√6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) = ± |
6√15 |
|
5) = ± |
√6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Второй уровень сложности.
3. Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, малая полуось которой равна 4 и
расстояние между директрисами равно |
20 |
, имеет вид: |
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
− |
= 1 |
2) |
|
− |
= 1 |
|
|
3) |
|
− |
|
= 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2√5 |
4 |
|
20 |
16 |
|
|
|
20 |
16 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
2 |
+ |
2 |
= 1 |
5) |
2 |
+ |
|
2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20 |
|
16 |
|
2√5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. Уравнение = −4 − |
√ 2 + 25 определяет: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
1)часть гиперболы с центром в точке (−4; 0), полуосями = 7, = 5, с фокусами, лежащими на оси абсцисс симметрично относительно точки
и расположенную выше оси абсцисс
2)часть гиперболы с центром в точке (−4; 0), полуосями = 7, = 5, с фокусами, лежащими на оси абсцисс симметрично относительно точки
и расположенную ниже оси абсцисс
3)левую ветвь гиперболы с центром в точке (−4; 0), полуосями = 7, = 5, с фокусами, лежащими на оси абсцисс симметрично относительно точки
4) правую ветвь гиперболы с центром в точке (−4; 0), полуосями= 7, = 5, с фокусами, лежащими на оси абсцисс симметрично относительно точки
5) гиперболу с центром в точке (−4; 0), полуосями = 7, = 5, с фокусами, лежащими на оси абсцисс симметрично относительно точки
188
Третий уровень сложности.
5.Из точки (1; −10) проведены касательные к гиперболе 82 − 322 =
=1. Уравнение хорды, соединяющей точки касания, имеет вид:
1) 5 + 2 − 16 = 0 |
2) 5 − 2 − 16 = 0 |
3) − 5 − 16 = 0 |
4) 2 + 5 − 16 = 0 |
5) 8 − 32 + 1 = 0 |
|
189
Глава 4. Парабола
В этой главе будет рассмотрен такой простейший геометрический объект как парабола. Парабола – это линия, уравнение которой может быть записано в виде 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 0, где , , , , ,
– некоторые числа, причём 2 + 2 + 2 ≠ 0 и − 2 = 0. Указанное уравнение является общим уравнением второй степени. Этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на параболе, и не удовлетворяют координаты и ни одной точки, не лежащей на параболе.
4.1. Определение параболы
Параболой называется множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки , называемой фокусом, равно расстоянию от этой же точки до фиксированной прямой, называемой директрисой. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через .
4.2. Каноническое уравнение параболы
Выберем систему координат так, чтобы ось проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу. Начало координат поместим посередине между фокусом и директрисой.
Пусть (; ) – произвольная точка параболы. Обозначим через расстояние от точки до фокуса , обозначим через расстояние от точкидо директрисы. Учитывая, что расстояние между фокусом и директрисой равно , уравнение директрисы имеет вид = − 2 . Основание перпендику-
ляра, опущенного из точки на директрису, обозначим через . Сделаем схематичный чертёж (рис. 4.1).
2
= − 2
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
Рис. 4.1. Определение параболы
190