821

Получено каноническое уравнение эллипса с полуосями = 4, = 3 в системе координат ′′ ′′, полученной из системы переносом начала

Рис. 5.7. Эллипс с центром в точке (−1; 1), полуосями = 4, = 3, углом поворота = 450 (к Примеру 5.6 (8))

телем этой системы является инвариант 2 ≠ 0, поэтому система имеет единственной решение. Найдём это решение, например, по формулам Крамера.

второго столбца соответствующими элементами правой части уравнений:

∆2= |32 10| = −2. Находим неизвестные: 0 = ∆∆1 = −11 = −1, 0 = ∆∆2 =

=−−21 = 2. Таким образом, центр кривой (−1; 2).

Вданном примере уравнения прямых можно найти, воспользовав-

шись уравнением, связывающим угловые коэффициенты искомых прямых:2 + 2 + = 0. Единственно, что таким способом мы найдём уравнения прямых в системе .

Составляем квадратное уравнение для нахождения угловых коэффициентов прямых: 2 + 4 + 3 = 0. Корни уравнения: 1 = −3, 1 = −1. За-

тем составляем уравнения прямых, используя уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку: − 0 = = ( − 0). Угловые коэффициенты прямых соответственно равны −3 и

−1 и точка (−1; 2) принадлежит каждой прямой. Уравнение первой прямой: − 2 = −3( − (−1)), 3 + + 1 = 0. Уравнение второй прямой: − 2 = −( − (−1)), + − 1 = 0. Выполним построение (рис. 5.8).

2

1

Рис. 5.8. Две прямые, пересекающиеся в точке (−1; 2) (к Примеру 5.6 (9))

Ответ:

1) эллиптический тип; эллипс с центром в точке (5; −2); канониче-

(−1; −1) и заданных уравнениями ′ = 2 ′ и ′ = −2 ′; 5) эллиптический тип; кривая вырождена в точку (−2; 1);

6) эллиптический тип; окружность с центром в точке (3; −2); каноническое уравнение ′2 + ′2 = 13;

262

7) гиперболический тип; гипербола с центром в точке (0; 0); кано-

9)гиперболический тип; пара прямых, пересекающихся в точке

(−1; 2) и заданных уравнениями 3 + + 1 = 0, + − 1 = 0;

5.4.Приведение к каноническому виду кривой второго порядка,

не имеющей центра или имеющей бесконечно много центров

Если кривая не является центральной, то она относится к параболическому типу, то есть представляет параболу или пару параллельных действительных прямых, которые могут сливаться, или пару мнимых парал-

лельных прямых. Параметр параболы можно найти по формуле: = ± √−33 .

12

В этом случае для приведения общего уравнения к каноническому виду сначала применяют формулы преобразования координат при повороте осей, затем формулы преобразования координат при параллельном сдвиге осей.

Пример 5.7. Определить тип каждого из следующих уравнений; установить, какие геометрические образы они определяют; привести каждое уравнение к каноническому виду; изобразить на чертеже расположение каждого геометрического образа относительно старых и новых осей координат:

1)2 2 − 4 + 2 − 3 = 0;

2)9 2 − 24 + 16 2 − 20 + 110 − 50 = 0;

3)9 2 + 12 + 4 2 − 24 − 16 + 3 = 0;

4)16 2 − 24 + 9 2 − 160 + 120 + 425 = 0.

Составим каноническое уравнение параболы c помощью выделения полного квадрата относительно каждой переменной и применения формул преобразования координат при параллельном сдвиге осей.

Сгруппируем слагаемые относительно переменной :

(2 2 − 4 ) + 2 − 3 = 0.

Вынесем за скобку числовой коэффициент перед квадратом неиз-

вестной:

2( 2 − 2 ) + 2 − 3 = 0.

263

Выделим в скобках полный квадрат, воспользовавшись формулой сокращённого умножения 2 − 2 + 2 = ( − )2. Для этого дополним выражение скобки до полного квадрата. Получаем:

2 − 2 = 2 − 2 ∙ ∙ 1 + 12 − 12 = ( 2 − 2 ∙ ∙ 1 + 12) − 1 =

=( − 1)2 − 1.

Подставляем полученное выражение в уравнение:

2[( − 1)2 − 1] + 2 − 3 = 0.

Раскроем внешние скобки:

2( − 1)2 − 2 + 2 − 3 = 0.

Преобразуем:

2( − 1)2 + 2 − 5 = 0, 2( − 1)2 = −2 + 5,

2( − 1)2 = −2 ( − 52), ( − 1)2 = − ( − 52),

Далее воспользуемся формулами преобразования координат при па-

определяет параболу.

Так как 2 = 0, то кривая не является центральной.

Применим непосредственно формулы преобразования координат при

= ′ cos − ′ sin ,

повороте осей на угол : { = ′ sin + ′ cos .

Подставляем в исходное уравнение:

9( ′ cos − ′ sin )2 − 24( ′ cos − ′ sin )( ′ sin + ′ cos ) + +16( ′ sin + ′ cos )2 − 20( ′ cos − ′ sin ) +

+110( ′ sin + ′ cos ) − 50 = 0.

Преобразуем:

9( ′2 cos2 − 2 ′ ′ cos sin + ′2 sin2 ) −

−24( ′2 cos sin + ′ ′ cos2 − ′ ′ sin2 − ′2 cos sin ) +

+16( ′2 sin2 + 2 ′ ′ cos sin + ′2 cos2 ) −

−20 ′ cos + 20 ′ sin + 110 ′ sin + 110 ′ cos − 50 = 0, (9 cos2 − 24 cos sin + 16 sin2 ) ′2 +

+(−18 cos sin − 24 cos2 + 24 sin2 + 32 cos sin ) ′ ′ + +(9 sin2 + 24 cos sin + 16 cos2 ) ′2 +

+(−20 cos + 110 sin ) ′ + (20 sin + 110 cos ) ′ − 50 = 0.

Подберём угол поворота так, чтобы коэффициент перед произведением переменных обратился в ноль. Получаем тригонометрическое уравнение:

−18 cos sin − 24 cos2 + 24 sin2 + 32 cos sin = 0.

Преобразуем:

24 sin2 + 14 cos sin − 24 cos2 = 0, 12 sin2 + 7 cos sin − 12 cos2 = 0.

Разделим уравнение на cos2 :

12 2 + 7 tg − 12 = 0.

Решив это уравнение как квадратное относительно tg , получаем:

Подставляем полученные значения в уравнение кривой:

(9 ∙ (45)2 − 24 ∙ 45 ∙ 35 + 16 ∙ (35)2) ′2 +

+(9 ∙ (35)2 + 24 ∙ 45 ∙ 35 + 16 ∙ (45)2) ′2 + (−20 ∙ 45 + 110 ∙ 35) ′ +

+(20 ∙ 35 + 110 ∙ 45) ′ − 50 = 0.

Преобразуем:

265

0 ∙ ′2 + 25 ′2 + 50 ′ + 100 ′ − 50 = 0,′2 + 2 ′ + 4 ′ − 2 = 0.

Сгруппируем слагаемые относительно переменной ′:

( ′2 + 4 ′) + 2 ′ − 2 = 0.

Выделим в скобке полный квадрат, воспользовавшись формулой сокращённого умножения 2 + 2 + 2 = ( + )2. Для этого дополним выражение скобки до полного квадрата. Получаем:

′2 + 4 ′ = ′2 + 2 ∙ ′ ∙ 2 + 22 − 22 = ( ′2 + 2 ∙ ′ ∙ 2 + 22) − 4 =

=( ′ + 2)2 − 4.

Подставляем полученное выражение в уравнение:

( ′ + 2)2 − 4 + 2 ′ − 2 = 0.

Преобразуем:

( ′ + 2)2 = −2 ′ + 6, ( ′ + 2)2 = −2( ′ − 3),

Далее воспользуемся формулами преобразования координат при па-

раллельном сдвиге осей: { ′ − 0 = ′′, где ( 0; 0) – новое начало коор-

′ − 0 = ′′,

{ ′ − 3 = ′′, ( )

динат. Получаем: ′ + 2 = ′′, где 3; −2 – новое начало координат. То-

гда каноническое уравнение параболы: ′′2 = −2 ′′. Параметр параболы

Рис. 5.10. Парабола с вершиной в точке (3; −2), параметром = 1 и углом поворота ≈ 410 (к Примеру 5.7 (2))

параллельных прямых.

Так как 2 = 0, то кривая не является центральной.

Применим непосредственно формулы преобразования координат при

= ′ cos − ′ sin ,

повороте осей на угол : { = ′ sin + ′ cos .

Подставляем в исходное уравнение:

9( ′ cos − ′ sin )2 + 12( ′ cos − ′ sin )( ′ sin + ′ cos ) + +4( ′ sin + ′ cos )2 − 24( ′ cos − ′ sin ) −

−16( ′ sin + ′ cos ) + 3 = 0.

Преобразуем:

9( ′2 cos2 − 2 ′ ′ cos sin + ′2 sin2 ) +

+12( ′2 cos sin + ′ ′ cos2 − ′ ′ sin2 − ′2 cos sin ) + +4( ′2 sin2 + 2 ′ ′ cos sin + ′2 cos2 ) −

−24 ′ cos + 24 ′ sin − 16 ′ sin − 16 ′ cos + 3 = 0, (9 cos2 + 12 cos sin + 4 sin2 ) ′2 +

+(−18 cos sin + 12 cos2 − 12 sin2 + 8 cos sin ) ′ ′ + +(9 sin2 − 12 cos sin + 4 cos2 ) ′2 +

+(−24 cos − 16 sin ) ′ + (24 sin − 16 cos ) ′ + 3 = 0.

Подберём угол поворота так, чтобы коэффициент перед произведением переменных обратился в ноль. Получаем тригонометрическое уравне-

ние:

−18 cos sin + 12 cos2 − 12 sin2 + 8 cos sin = 0.

Преобразуем:

−12 sin2 − 10 cos sin + 12 cos2 = 0, 6 sin2 + 5 cos sin − 6 cos2 = 0.

Разделим уравнение на cos2 :

6 2 + 5 tg − 6 = 0.

Решив это уравнение как квадратное относительно tg , получаем:

Подставляем полученные значения в уравнение кривой:

(9 ∙ (√313)2 + 12 ∙ √313 ∙ √213 + 4 ∙ (√213)2) ′2 +

+(9 ∙ (√213)2 − 12 ∙ √313 ∙ √213 + 4 ∙ (√313)2) ′2 + (−24 ∙ √313 − 16 ∙ √213) ′ +

+(24 ∙ √213 − 16 ∙ √313) ′ + 3 = 0.

Преобразуем:

13 ∙ ′2 − √10413 ′ + 3 = 0,

267

Сгруппируем слагаемые относительно переменной ′:

(13 ∙ ′2 − √10413 ′) + 3 = 0, 13 ( ′2 − √813 ′) + 3 = 0.

Выделим в скобке полный квадрат, воспользовавшись формулой сокращённого умножения 2 − 2 + 2 = ( − )2. Для этого дополним выражение скобки до полного квадрата. Получаем:

Тогда каноническое уравнение: ′′2 = 1. Получаем две параллельные прямые ′′ = 1 и ′′ = −1. Выполним построение (рис. 5.11).

′′

′

′, ′′

Рис. 5.11. Пара параллельных прямых (к Примеру 5.7 (3))

относится к параболическому типу.

268

раллельных прямых.

Так как 2 = 0, то кривая не является центральной.

Применим непосредственно формулы преобразования координат при

= ′ cos − ′ sin ,

повороте осей на угол : { = ′ sin + ′ cos .

Подставляем в исходное уравнение:

16( ′ cos − ′ sin )2 − 24( ′ cos − ′ sin )( ′ sin + ′ cos ) + +9( ′ sin + ′ cos )2 − 160( ′ cos − ′ sin ) +

+120( ′ sin + ′ cos ) + 425 = 0.

Преобразуем:

16( ′2 cos2 − 2 ′ ′ cos sin + ′2 sin2 ) +

−24( ′2 cos sin + ′ ′ cos2 − ′ ′ sin2 − ′2 cos sin ) + +9( ′2 sin2 + 2 ′ ′ cos sin + ′2 cos2 ) −

−160 ′ cos + 160 ′ sin + 120 ′ sin + 120 ′ cos + 425 = 0, (16 cos2 − 24 cos sin + 9 sin2 ) ′2 +

+(−32 cos sin − 24 cos2 + 24 sin2 + 18 cos sin ) ′ ′ + +(16 sin2 + 24 cos sin + 9 cos2 ) ′2 +

+(−160 cos + 120 sin ) ′ + (160 sin + 120 cos ) ′ + 425 = 0.

Подберём угол поворота так, чтобы коэффициент перед произведением переменных обратился в ноль. Получаем тригонометрическое уравнение:

−32 cos sin − 24 cos2 + 24 sin2 + 18 cos sin = 0.

Преобразуем:

24 sin2 − 14 cos sin − 24 cos2 = 0, 12 sin2 − 7 cos sin − 12 cos2 = 0.

Разделим уравнение на cos2 :

12 2 − 7 tg − 12 = 0.

Решив это уравнение как квадратное относительно tg , получаем:

Подставляем полученные значения в уравнение кривой:

(16 ∙ (35)2 − 24 ∙ 35 ∙ 45 + 9 ∙ (45)2) ′2 +

+(16 ∙ (45)2 + 24 ∙ 35 ∙ 45 + 9 ∙ (35)2) ′2 + (−160 ∙ 35 + 120 ∙ 25) ′ +

+(160 ∙ 45 + 120 ∙ 35) ′ + 425 = 0.

269

Преобразуем:

25 ∙ ′2 + 200 ′ + 425 = 0,′2 + 8 ′ + 17 = 0,

Сгруппируем слагаемые относительно переменной ′:

( ′2 + 8 ′) + 17 = 0.

Выделим в скобке полный квадрат, воспользовавшись формулой сокращённого умножения 2 + 2 + 2 = ( + )2. Для этого дополним вы-

ражение скобки до полного квадрата. Получаем:

′2 + 8 ′ = ′2 + 2 ∙ ′ ∙ 4 + 42 − 42 = = ( ′2 + 2 ∙ ′ ∙ 4 + 42) − 16 = ( ′ + 4)2 − 16.

Подставляем полученное выражение в уравнение:

( ′ + 4)2 − 16 + 17 = 0.

Преобразуем:

( ′ + 4)2 = −1,

Далее воспользуемся формулами преобразования координат при па-

гда каноническое уравнение: ′′2 = −1. Это уравнение не определяет никакого геометрического образа. Или, говорят, определяет пару мнимых параллельных прямых.

Ответ:

1) параболический тип; парабола с вершиной в точке (1; 52 ); кано-

ническое уравнение ′2 = − ′; 2) параболический тип; парабола; каноническое уравнение ′′2 =

=−2 ′′, угол поворота ≈ 410, (3; −2 );

3)параболический тип; пара параллельных прямых, заданных урав-

нениями ′′ = 1 и ′′ = −1, угол поворота ≈ 370, (√413 ; 0 ); 4) параболический тип; пара мнимых параллельных прямых, задан-

ных уравнением ′′2 = −1, угол поворота ≈ 590, (0; −4 ).

Контрольные вопросы

1.Дайте понятие инвариантов кривой второго порядка. Запишите формулы их нахождения.

2.Как определить тип кривой с помощью инвариантов?

3.Что называется центром кривой второго порядка? Как его

найти?

4.Какие кривые называются центральными?

5.Какие кривые относят к центральным?

6.Охарактеризуйте способы приведения кривой второго порядка

кканоническому виду.

270