659

Решение первого уравнения: = 5. Решение второго уравнения: =

− 13 .

Получаем два варианта для искомой точки: (5; 0), (− 13 ; 0).

Ответ: (5; 0), (− 13 ; 0).

Пример 2.20. Даны последовательные вершины однородной четырёхугольной пластины (2; 1), (5; 3), (−1; 7), (−7; 5). Определить координаты её центра масс.

Указание. Если однородную пластину разбить на две части и найти центр масс каждой из них, то центр масс исходной пластины находится в точке, которая делит расстояние между центрами масс каждой из частей в отношении, обратном отношению их площадей. Центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан.

Решение. Разобьём четырёхугольник на два треугольника и(рис. 2.21). Найдём центр масс каждого из них, используя результат Примера 2.15.

то есть ∆ = 21.

41

Находим центр масс исходной пластины, учитывая, что он находится в точке, которая, согласно указанию к задаче, делит расстояние между точ-

Таким образом, получили точку (− 116 ; 4511) – центр масс исходной

пластины.

Ответ: (− 116 ; 4511).

Пример 2.21. Прямая определена двумя своими точками (−1; 4) и(2; 1). На этой же прямой найти точку, абсцисса которой равна 5.

Решение. Обозначим искомую точку (5; ). Точки , , лежат на одной прямой. Используя условие расположения трёх точек на одной пря-

мой:

2− 1 = 2− 1 ,

3− 1 3− 1

получаем:

2−(−1)5−(−1) = 1−4−4 , 36 = −3−4 ,

= −2.

Тогда искомая точка: (5; −2).

Ответ: (5; −2).

2.6. Полярная система координат

Полярная система координат определяется полюсом и полярной осью. Полюс – это неподвижная точка, полярная ось – это луч, выходящий из полюса и вращающийся вокруг него. Полюс обозначим буквой , полярную ось – буквой (рис. 2.22).

Рис. 2.22. Полярная система координат

В полярной системе координат точка определяется двумя координатами: – угол поворота полярной оси и – расстояние от полюса до точки. Обозначение: ( ; ). Число называется полярным радиусом, число называется полярным углом. Для построения точки в полярной системе координат полярную ось поворачивают на угол и на полученном луче находят точку, расстояние которой от полюса равно (рис. 2.23).

Пример 2.22. Построить в полярной системе координат точку

(2; 34 ).

42

Решение. Повернём полярную ось вокруг полюса на угол = 34 и на

полученном луче отложим от полюса отрезок длины 2. Получим точку

(рис. 2.24).

Рис. 2.23. Построение точки в полярной системе координат

23

4

Рис. 2.24. Построение точки (2; 34 ) в полярной системе координат (к Примеру 2.22)

Установим связь между полярной системой координат и прямоугольной декартовой системой координат. Для этого совместим обе системы координат: полюс полярной системы совместим с началом координат декартовой системы, полярный луч совместим с положительной частью оси

Ox.

Пусть точка в прямоугольной декартовой системой координат имеет координаты (; ), в полярной системе координат имеет координаты (; ) . Из точки опустим перпендикуляры на оси Ox и Oy. Основания перпендикуляров обозначим и соответственно (рис. 2.25).

Рис. 2.25. Совмещение полярной и прямоугольной декартовой систем координат

Из прямоугольного треугольника :

43

cos = | | = , sin = | | = .

Отсюда:

= cos , = sin .

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты точки через её полярные координаты.

Пример 2.23. В полярной системе координат дана точка (2; 6).

Найти прямоугольные координаты этой точки при условии, что ось абсцисс совпадает с полярной осью, начало координат совпадает с полюсом.

Решение. По формулам, выражающим прямоугольные координаты

через полярные, получаем:

= cos = 2 cos 6 = √3 ,= sin = 2 sin 6 = 1.

Прямоугольные координаты точки: (√3; 1).

Ответ: (√3; 1).

Получим формулы, выражающие полярные координаты точки через её прямоугольные координаты.

(−√3; 1). Найти полярные координаты этой точки при условии, что ось абсцисс совпадает с полярной осью, начало координат совпадает с полюсом.

Решение.

Найдём полярный радиус точки:

= √ 2 + 2 = √(−√3)2 + 12 = 2.

Найдём полярный угол точки, учитывая, что она расположена во второй четверти:

= + = + −1√3 = − √33 = − 6 = 56 .

Полярные координаты точки: (2; 56 ).

44

Ответ: (2; 56 ).

Пример 2.25. Вычислить расстояние между точками (2; 12) и

(1; 512), заданными в полярной системе координат. Решение. Сделаем чертёж (рис. 2.26).

5

12

12

Рис. 2.26. Расстояние между точками в полярной системе координат (к Примеру 2.25)

Для нахождения расстояния между точками и применим теорему косинусов для треугольника (квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения

этих сторон на косинус угла между ними):

| |2 = | |2 + | |2 − 2 ∙ | | ∙ | | cos = 22 + 12 − −2 ∙ 2 ∙ 1 cos (512 − 12) = 5 − 4 cos 3 = 3. Отсюда | | = √3.

Ответ: | | = √3.

Пример 2.26. Вычислить площадь треугольника, вершины которого(9; 10), (12; 415), (10; 35 ) заданы в полярной системе координат.

Решение. Сделаем чертёж (рис. 2.27). Площадь треугольника найдём как комбинацию площадей треугольников , , :

∆ = ∆ + ∆ − ∆ .

Площади треугольников будем находить как половину произведения смежных сторон треугольника на синус угла между ними:

∆ = 12 ∙ | | ∙ | | = 12 ∙ 9 ∙ 12 (415 − 10) = 54 sin 6 =

= 27,

∆ = 12 ∙ | | ∙ | | = 12 ∙ 12 ∙ 10 (35 − 415) = = 60 sin 3 = 30√3,

∆ = 12 ∙ | | ∙ | | = 12 ∙ 9 ∙ 10 (35 − 10) = 45 sin 2 =

= 45.

45

10

Рис. 2.27. Площадь треугольника в полярной системе координат (к Примеру 2.26)

Тогда ∆ = ∆ + ∆ − ∆ = 27 + 30√3 − 45 = 30√3 − −18 = 6(5√3 − 3).

Ответ: ∆ = 6(5√3 − 3).

2.7. Преобразование координат на плоскости

Рассмотрим две прямоугольные системы координат и установим связь между координатами точки в этих системах. Рассмотрим три случая.

1.Меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб не меняются. Такое преобразование называется параллельным сдвигом осей.

2.Обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат и масштаб не меняются. Такое преобразование называется поворотом осей.

3.Меняется положение начала координат и обе оси поворачиваются

водну сторону на один и тот же угол, масштаб не меняется. Такое преобразование называется параллельным сдвигом осей с последующим их поворотом.

Преобразование координат при параллельном сдвиге осей

Рассмотрим систему координат . Эту систему называют старой системой координат. В этой системе отметим точку ′(; ). Через точку ′ проведём новые оси ′ ′ и ′ ′ параллельно старым осям. Получим новую систему ′ ′ ′. Пусть точка относительно старой системы имеет координаты: (; ), относительно новой системы: ( ′; ′) (рис. 2.28).

Опустим из точки перпендикуляры на оси координат. Основания перпендикуляров на осях и обозначим соответственно и , на осях ′ ′ и ′ ′ обозначим соответственно ′ и ′. Точку пересечения

оси ′ ′ с осью обозначим ′ , точку пересечения оси ′ ′ с осью

обозначим ′ .

46

′

Рис. 2.28. Преобразование координат при параллельном сдвиге осей

По чертежу можно записать следующие равенства:

Переходя к координатам, получаем следующие формулы:

{ = + ′,= + ′.

или

{ = ′ + ,= ′ + .

Эти формулы называют формулами преобразования координат при параллельном сдвиге осей. Они позволяют найти координаты точки в старой

системе, зная координаты точки в новой системе. Выразим отсюда ′ и ′:

{ ′ = − ,′ = − .

Эти формулы также называют формулами преобразования координат при параллельном сдвиге осей. Они позволяют найти координаты точки в новой системе, зная координаты точки в старой системе.

Пример 2.27. Формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: = ′ − 2, = ′ + 1. Определить старые координаты начала ′ новой системы.

Решение. Данные формулы представляют формулы преобразования координат при параллельном сдвиге осей: = ′ + , = ′ + , где и

– старые координаты начала ′ новой системы. Сравнивая формулы, полу-

чаем: ′(−2; 1). Ответ: ′(−2;1).

Пример 2.28. Написать формулы преобразования координат, если начало координат перенесено в точку ′(−3;2). Направление осей и масштаб сохранены.

Решение. Воспользуемся формулами преобразования координат при

параллельном сдвиге осей: = ′ + , = ′ + . Учитывая, что = −3,

= 2, получаем: = ′ − 3, = ′ + 2. Ответ: = ′ − 3, = ′ + 2.

47

Пример 2.29. Дана точка (3; −2). Найти координаты этой точки в новой системе, если начало координат перенесено в точку ′(−1;4), направление осей и масштаб сохранены.

Решение. Применяя формулы преобразования координат при парал-

лельном сдвиге осей, получаем:

′ = − = 3 − (−1) = 4, ′ = − = −2 − 4 = −6.

Координаты точки в новой системе: (4; −6).

Ответ: (4; −6).

Преобразование координат при повороте осей

Рассмотрим систему координат . Эту систему называют старой системой координат. Повернём оси и на угол . Получим новые оси′ и ′. Угол – угол поворота, то есть угол между осями и ′, и ′. Получим новую систему ′ ′. Пусть точка относительно старой

системы имеет координаты: ( ; ), относительно новой системы:

( ′; ′) (рис. 2.29).

′

Отсюда:

| | = | | cos 1, | | = | | sin 1.

Учитывая, что | | = , | | = , | | = , получаем:

= cos 1 = cos( 2 + ) = (cos 2 cos − sin 2 sin ) =

48

=( cos 2) cos − ( sin 2) sin ;

= sin 1 = sin( 2 + ) = (sin 2 cos + cos 2 sin ) =

=( sin 2) cos + ( cos 2) sin .

Из прямоугольного треугольника ′ (рис. 2.29):

| ′| = | | cos 2, | ′ | = | | sin 2.

Учитывая, что | | = , ′ = ′, ′ = ′, получаем:

′ = cos 2, ′ = sin 2.

Выражения для и принимают вид:

= ′ cos − ′ sin , = ′ cos + ′ sin = ′ sin + ′ cos .

Таким образом получены следующие формулы:

= ′ cos − ′ sin , { = ′ sin + ′ cos .

Эти формулы называют формулами преобразования координат при повороте осей. Они позволяют найти координаты точки в старой системе, зная координаты точки в новой системе.

Получим формулы, позволяющие найти координаты точки в новой системе, зная координаты точки в старой системе. Для этого решим полученную систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера относительно неизвестных ′ и ′. Перепишем систему в виде:

К этим формулам можно прийти другим способом. Старую систему можно получить из новой поворотом её на угол − . Поэтому в формулах, выражающих старые координаты точки через новые, заменим на − , на

′, ′ на , на ′, ′ на . Получим следующие формулы:

′ = cos + sin , { ′ = − sin + cos .

49

Эти формулы также называют формулами преобразования коорди-

нат при повороте осей. Они позволяют найти координаты точки в новой системе, зная координаты точки в старой системе.

Пример 2.30. Определить угол , на который повёрнуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: =

12 ′ − √23 ′, = √23 ′ + 12 ′.

Решение. Сравним данные формулы с формулами преобразования координат при повороте осей: = ′ cos − ′ sin , = ′ sin +

+ ′ cos . Отсюда: cos = 12 , sin = √23 и угол поворота: = 3 .

Ответ: = 3 .

Пример 2.31. Написать формулы преобразования координат, если координатные оси повёрнуты на угол = − 6 . Начало координат и мас-

штаб сохранены.

Решение. Воспользуемся формулами преобразования координат при повороте осей: = ′ cos − ′ sin , = ′ sin + ′ cos . Учитывая, что

= − 6 , получаем:

= ′ cos (− 6) − ′ sin (− 6) = √23 ′ + 12 ′,

= ′ sin + ′ cos = ′ sin (− 6) + ′ cos (− 6) = − 12 ′ + √23 ′.

Ответ: = √23 ′ + 12 ′, = − 12 ′ + √23 ′.

Пример 2.32. Дана точка (1; −1). Найти координаты этой точки в новой системе, если оси координат повёрнуты на угол в 450, начало координат и масштаб сохранены.

Решение. Применяя формулы преобразования координат при пово-

роте осей, получаем:

′ = cos + sin = 1 ∙ cos 450 + (−1) ∙ sin 450 = 0,

′ = − sin + cos = − 1 sin 450 + (−1) ∙ 450 = − √2.

Координаты точки в новой системе: (0; −√2).

Ответ: (0; −√2).

Преобразование координат при параллельном сдвиге осей с последующим их поворотом

Рассмотрим систему координат . Эту систему называют старой системой координат. В этой системе отметим точку ′( ; ). Через точку ′ проведём новые оси ′ ′′ и ′ ′′ параллельно старым осям. Получим вспо-

могательную систему ′ ′′ ′′. Повернём систему ′ ′′ ′′ на угол . Угол

– угол поворота, то есть угол между осями ′ ′′ и ′ ′, ′ ′′ и ′ ′. Получим новую систему ′ ′ ′. Пусть точка относительно старой системы имеет координаты: ( ; ), относительно новой системы: ( ′; ′), относительно вспомогательной системы ( ′′; ′′)

(рис. 2.30).

50