659

2 + 1 = 0 и + 2 − 1 = 0, равна 5.

29.Среди прямых, проходящих через точку (3; 0), найти такую, отрезок которой, заключённый между прямыми 2 − − 2 = 0 и + + +3 = 0, делится в точке пополам.

30.Через точку (0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключённый между прямыми

− 2 − 3 = 0 и − 2 + 17 = 0, делился бы в точке пополам.

31.Площадь треугольника равна 1,5. Две его вершины – точки(2; −3) и (3; −2), центр масс этого треугольника лежит на прямой 3 −− 8 = 0. Определить координаты третьей вершины .

32.Определить, при каких значениях и прямая

( + 2 − 3) + (2 − + 1) + 6 + 9 = 0 параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный −3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

33.Определить, при каких значениях и прямая

(2 − + 5) + ( + 3 − 2) + 2 + 7 + 19 = 0 параллельна оси ор-

динат и отсекает на оси абсцисс отрезок, равный 5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

Уравнение прямой в отрезках

34.Среди приведённых уравнений указать уравнения прямой в от-

36.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку(3; −7) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).

37.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной

12.

Нормальное уравнение прямой

38. Среди приведённых уравнений указать нормальные уравнения прямой:

151

39.Привести общее уравнение прямой к нормальному:

5) 2 − − √5 = 0.

Угол между двумя прямыми

40.Найти угол между прямыми = 2 − 6 и = −5 − 4.

41.Найти угол между двумя прямыми:

1)5 − + 7 = 0, 3 + 2 = 0;

2)√3 − − 5 = 0, √3 + − 1 = 0;

3)3 − 2 + 7 = 0, 2 + 3 − 3 = 0;

4)− 2 − 4 = 0, 2 − 4 + 3 = 0;

5)3 + 2 − 1 = 0, 5 − 2 + 3 = 0.

42.Вычислить углы треугольника, стороны которого даны урав-

нениями: 18 + 6 − 17 = 0, 14 − 7 + 15 = 0, 5 + 10 − 9 = 0.

43.Дана прямая 2 + − 4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 0(5; 1) под углом 450 к данной прямой.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

44.Дана прямая = 5 − 8. Определить угловой коэффициент прямой: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.

45.Среди заданных пар прямых найти параллельные:

1) 4 − + 9 = 0, 4 − 2 − 7 = 0;

2) = − 12 − 4, = − 12 + 35 ; 3) 1 + −1 = 1, 5 + 2 − 2 = 0;

3

4) 3 + 2 − 1 = 0, 6 + 4 + 3 = 0;

5) = − 23 − 1, 2 + 3 − 12 = 0; 6) = − 12 + 35 ; 8 + 4 = 1; 7) = 3 + 2, = − 15 + 1;

8) −4 + 1 = 1, 5 + −5 = 1.

2 8

46.Среди заданных пар прямых найти перпендикулярные:

1)= −4 + 1, = 14 + 1;

2)5 − 3 + 3 = 0, 3 + 5 − 4 = 0;

152

5) − 2 + 3 = 0, 2 − 4 + 7 = 0;

6) = −5 − 13 , = 2 + 1; 7) 4 − 2 + 1 = 0; 4 + −2 = 1;

8) = 3 − 4; + 3 + 12 = 0.

47. Дана прямая 5 + 3 − 3 = 0. Определить угловой коэффициент прямой: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.

48. Составить уравнение прямой, проходящей через точку(2; −3) параллельно прямой 3 − 7 + 3 = 0.

49.Составить уравнение прямой, проходящей через точку(−1; 2) перпендикулярно прямой + 3 − 2 = 0.

50.Даны вершины треугольника: (1; 1), (4; 5), (13; −4). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины .

51.Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2 − 3 + 5 = 0, 3 + 2 − 7 = 0 и одна из его вершин (2; −3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

52.При каком значении параметра прямые, заданные уравнениями

3 − 8 + 13 = 0 и ( + 1) − 2 − 21 = 0 параллельны?

53.При каком значении параметра прямые, заданные уравнениями

(3 + 2) + (1 − 4 ) + 8 = 0 и (5 − 2) + ( + 4) − 7 = 0 перпенди-

кулярны?

Нахождение точки пересечения двух прямых на плоскости

54. Найти точку пересечения двух прямых:

1)5 + 2 − 7 = 0, 10 + 4 + 3 = 0;

2)2 − 5 − 26 = 0, 5 + 2 − 7 = 0;

3)= −4 + 1 , = 3 − 7;

4)2 − 3 = 0, 4 + 5 − 1 = 0;

5)6 − 2 − 12 = 0, 3 − − 6 = 0;

6)3 − 11 + 5 = 0, = + 3;

7)= 157 + 43 , = 157 − 4;

8)5 + 4 − 7 = 0, 3 + 7 = 0;

9)= − 35 − 75 , = 74 − 154 ;

10)+ 10 − 13 = 0, 6 − 5 = 0.

55.Найти проекцию точки (−6; 4) на прямую 4 − 5 + 3 = 0.

56.Найти точку , симметричную точке (8; −9) относительно прямой, проходящей через точки (3; −4) и (−1; −2).

57.Стороны треугольника даны уравнениями 4 − − 7 = 0, + 3 − 31 = 0, + 5 − 7 = 0. Определить точку пересечения его высот.

58.Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину

(4; −1), а также уравнения высоты 2 − 3 + 12 = 0 и медианы 2 +

153

+3 = 0, проведённых из одной вершины.

Расстояние от точки до прямой

59. Найти расстояние от точки до прямой:

1)(2; 7), 12 + 5 − 7 = 0;

2)(−3; 2), 4 − 7 + 26 = 0;

3)(−3; 5), 9 − 12 + 2 = 0;

4)(1; −3), 4 − 5 + 34 = 0.

60. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

1)5 − 12 + 26 = 0 и 5 − 12 − 13 = 0.

2)10 + 15 − 3 = 0 и 2 + 3 + 5 = 0.

62.Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми + − 5 = 0 и 7 − − 19 = 0.

63.Составить уравнение прямых, параллельных прямой 3 − 4 − −10 = 0 и отстоящих от неё на расстояние = 3.

64.Даны две смежные вершины квадрата (2; 0) и (−1; 4). Составить уравнения его сторон.

65.Даны уравнения двух сторон квадрата 4 − 3 + 3 = 0 и 4 − −3 − 17 = 0 и одна из его вершин (2; −3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

66.Составить уравнение прямой, проходящей через точку (−2; 3) на одинаковых расстояниях от точек (5; −1) и (3; 7).

Уравнение пучка прямых

67.Найти центр пучка прямых, данного уравнением 5 + 2 + 7 + + (2 + 3 − 6) = 0.

68.Дано уравнение пучка прямых 3 + 2 − 9 + (2 + 5 + 5) = 0. Найти, при каком значении прямая 4 − 3 + = 0 будет принадлежать этому пучку.

69.Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых 2 + +3 + 5 + ( + 8 + 6) = 0 и проходящей через точку (1; 1).

70.Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых +

+2 + 3 + (2 + 3 + 4) = 0 и параллельную прямой 5 + 8 = 0.

71.Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 3 − 4 + 7 = 0 и 5 + 2 + 3 = 0 и параллельную оси ординат.

72.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересече-

ния прямых 3 − 2 + 5 = 0 и 4 + 3 − 1 = 0 и отсекающей на оси ординат отрезок = −3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.

73.Даны уравнения сторон треугольника + − 6 = 0, 3 − 5 + +14 = 0, 5 − 3 − 14 = 0. Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.

74.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересече-

ния прямых 3 + − 5 = 0, − 2 + 10 = 0 и отстоящей от точки

154

(−1; −2) на расстояние = 5. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

Полярное уравнение прямой

75.Записать полярное уравнение прямой, если расстояние от полюса до прямой равно 2 и полярный угол нормали равен 3 .

76.Вывести полярное уравнение прямой, если известен угол наклона прямой к полярной оси и длина перпендикуляра , опущенного из полюса на эту прямую.

77.Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку1( 1; 1) и наклонённой к полярной оси под углом .

Дополнительные упражнения

1.Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:

2.Прямая задана общим уравнением 6 − 5 + 1 = 0. Найти её угловой коэффициент.

3.Составить уравнение прямой, зная, что её угловой коэффици-

ент равен 9 и величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, равна

− 13 .

5

4.Построить прямые, заданные следующими уравнениями:

5.Составить уравнение прямой, проходящей через точку(−6; 2) и имеющей угловой коэффициент равный − 43 .

6.Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

1(−4; −7) и 2(3; −1).

7.Найти угол между прямыми = 4 + 8 и = −3 − 1.

8.Найти точку пересечения прямых 4 − 2 + 1 = 0 и 7 + 3 −

−6 = 0.

9.Найти расстояние от точки (−6; −1) до прямой 5 − 8 −

−3 = 0.

10.Построить прямые, заданные следующими уравнениями:

10)+ 4 = 0.

11.Даны вершины треугольника (−4; 2), (1; 5), (6; −7). Составить уравнения сторон треугольника.

155

12.Даны вершины треугольника (−5; 2), (−3; 6), (7; −3 ). Составить уравнение медианы, проведённой из вершины .

13.Найти угол между прямыми 7 + 9 − 1 = 0 и 3 − 4 − 6 =

=0.

15.Составить уравнение прямой, проходящей через точку(−4; 2) перпендикулярно прямой 3 + 5 − 7 = 0.

16.Вычислить расстояние между параллельными прямыми

6 + 5 − 8 = 0 и 12 + 10 + 3 = 0.

Индивидуальные задания Первый уровень сложности

1. Нахождение углового коэффициента прямой по её двум данным точкам

Задание 1. На плоскости даны точки и . Найти угловой коэффи-

2. Нахождение углового коэффициента прямой по её общему уравнению

Задание 2. Найти угловой коэффициент прямой, заданной общим уравнением.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Задание 3. Составить уравнение прямой, зная её угловой коэффици-

ент и величину отрезка , отсекаемого прямой на оси ординат.

4. Построение прямой по заданному уравнению с угловым коэффициентом

Задание 4. Построить прямые, заданные уравнением с угловым коэффициентом.

4.1.1) = + 3; 2) = 2 − 2; 3) = −3 + 4; 4) = − 14 − 5;

5)= −5 ; 6) = −3; 7) = 5.

4.2.1) = −4 + 5; 2) = − 3; 3) = − 12 − 1; 4) = 3 + 2;

5)= 13 ; 6) = −9; 7) = −2.

4.3.1) = − + 1; 2) = 4 − 7; 3) = −2 − 3; 4) = 14 + 3;

5)= −4 ; 6) = 2; 7) = − 12 .

4.4.1) = 3 − 5; 2) = − + 2; 3) = −5 − 5; 4) = 12 + 1;

5)= 13 ; 6) = −8; 7) = 1.

4.5.1) = −6 + 2; 2) = − − 4; 3) = + 3; 4) = 13 − 4;

5)= −6 ; 6) = 4; 7) = 12 .

4.6.1) = −7 + 6; 2) = − 12 − 2; 3) = 2 + 1; 4) = 6 − 8;

5)= ; 6) = −2; 7) = − 13 .

4.7.1) = 4 + 2; 2) = −3 − 6; 3) = − 13 + 2; 4) = − 1;

5)= −4 ; 6) = − 52 ; 7) = 5.

4.8.1) = −3 + 6; 2) = 2 + 1; 3) = − − 4; 4) = − 12 − 3;

5)= 6 ; 6) = −4; 7) = 7.

4.9.1) = 4 − 2; 2) = 12 + 1; 3) = − + 5; 4) = −3 − 2;

5)= −2 ; 6) = 1; 7) = −8.

4.10.1) = −6 + 4; 2) = 2 + 7; 3) = − 13 − 1; 4) = 4 − 2;

5)= 15 ; 6) = −3; 7) = 6.

4.11.1) = − − 8; 2) = 14 + 2; 3) = 6 − 7; 4) = −3 + 1;

5)= −3 ; 6) = 0; 7) = 4.

4.12.1) = 2 − 1; 2) = −3 + 2; 3) = 12 + 4; 4) = − − 2;

5)= 5 ; 6) = −2; 7) = 6.

4.13.1) = 3 + 2; 2) = −5 − 5; 3) = 13 − 1; 4) = − + 5;

5)= − ; 6) = 6; 7) = −3.

4.14.1) = − + 4; 2) = −2 − 52; 3) = − 12 + 1; 4) = 3 + 7;

5)= 2 ; 6) = 3; 7) = −5.

4.15.1) = 4 + 3; 2) = −5 + 1; 3) = 12 − 2; 4) = − − 4;

5)= −3 ; 6) = 5; 7) = 5.

4.16.1) = − − 1; 2) = −2 + 3; 3) = 13 + 6; 4) = 4 − 3;

158

5)= − ; 6) = 32 ; 7) = −4.

4.17.1) = −3 + 2; 2) = 5 + 1; 3) = 15 − 1; 4) = − − 4;

5)= ; 6) = 4; 7) = 4.

4.18.1) = + 6; 2) = −2 + 4; 3) = − 14 − 3; 4) = − 1;

5)= 72 ; 6) = 1; 7) = −4.

4.19.1) = −3 + 4; 2) = − − 3; 3) = 12 + 1; 4) = 4 − 3;

5)= 2 ; 6) = 73 ; 7) = 2.

4.20.1) = − 2; 2) = −6 + 7; 3) = 13 + 2; 4) = − − 4;

5)= −2 ; 6) = 6; 7) = 154 .

4.21.1) = −5 − 2; 2) = −3 + 1; 3) = 12 + 1; 4) = − 5;

5)= − 52 ; 6) = 4; 7) = 4.

4.22.1) = − 2; 2) = −4 + 3; 3) = − 12 − 4; 4) = 2 + 2;

5)= −3 ; 6) = 5; 7) = 6.

4.23.1) = −7 + 5; 2) = + 2; 3) = 13 − 2; 4) = −2 − 3;

5)= −2 ; 6) = 3; 7) = 4.

4.24.1) = 4 − 1; 2) = 2 + 2; 3) = − 12 − 3; 4) = − + 4;

5)= ; 6) = 3; 7) = −1.

4.25.1) = − 5; 2) = −2 − 4; 3) = 13 + 2; 4) = −3 + 73;

5)= −2 ; 6) = 5; 7) = 4.

4.26.1) = −3 − 6; 2) = 2 + 2; 3) = 14 − 6; 4) = − + 5;

5)= 12 ; 6) = 3; 7) = −1.

4.27.1) = − 6; 2) = −3 + 1; 3) = − 12 − 5; 4) = 2 + 3;

5)= 4 ; 6) = 3; 7) = 256 .

4.28.1) = 2 − 2; 2) = −3 + 4; 3) = 13 + 1; 4) = − − 3;

5)= ; 6) = −6; 7) = 5.

4.29.1) = −4 − 6; 2) = 2 + 8; 3) = 12 − 1; 4) = − + 5;

5)= 65 ; 6) = 1; 7) = −3.

4.30.1) = 2 + 4; 2) = 5 − 6; 3) = − 12 + 4; 4) = − − 1;

5)= −3 ; 6) = 4; 7) = −2.

4.31.1) = −6 + 2; 2) = − 2; 3) = 14 + 5; 4) = 2 − 3;

5)= 2 ; 6) = 1; 7) = 125 .

4.32.1) = −4 + 3; 2) = −6 − 8; 3) = 12 + 1; 4) = − 3;

5)= 113 ; 6) = −3; 7) = 5.

4.33.1) = − − 6; 2) = 2 + 5; 3) = 12 − 1; 4) = −3 + 4;

159

5)= 3 ; 6) = 5; 7) = − 65 .

4.34.1) = −4 − 5; 2) = 2 + 1; 3) = − 12 + 3; 4) = − 3;

5)= 4 ; 6) = 6; 7) = −1.

4.35.1) = + 5; 2) = −2 + 1; 3) = − 13 − 2; 4) = 2 − 103 ;

5)= −2 ; 6) = 3; 7) = 4.

4.36.1) = −4 + 2; 2) = − − 1; 3) = 12 + 3; 4) = 2 − 4;

5)= 4 ; 6) = 1; 7) = 4.

5. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку

Задание 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент .

6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Задание 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .