книги / Физические основы торможения разрушения

Кассир 1312] рассмотрел распределение термических напря­ жений вокруг эллиптической трещины в бесконечном теле. В ос­ нове его анализа лежит посылка о трещине, раскрытой темпера­ турным полем и возмущаемой тепловым потоком. Предполагается, что заданная температура и градиенты являются полиномами по координатам.

Для ряда состояний определяются коэффициенты интенсив­ ности напряжений. В первом симметричном случае известного распределения температур при г = 0 соблюдаются граничные условия:

Т = t (х, у), I = 0;

— 4 -y-sin<p-)-24-^-cossq!-(-24-y sin q> cos q>j.

Здесь q> — параметрический угол эллиптической трещины; а и b — полуоси трещины; р. — модуль сдвига; Bt — некоторые постоянные.

Всимметричном случае заданного температурного градиента

вусловиях, когда плоские поверхности эллиптической трещины раскрыты приложением тепла так, что тепловой поток на верх­ ней полуплоскости равен потоку на нижней, термические гранич­

ные условия на плоскости z — 0 становятся равными

а механические эквивалентны предыдущему варианту:

= 0, I = 0;

W = 0, л = 0.

270

Теперь нормальные напряжения и коэффициент их интенсив­ ности записываются следующим образом:

= ______{2г)т L о (r°V

271

,, 48 sin8 ф ]

— d e ~ d* у2 KJ.

4. Qo = Qi = Q2 = Qa ~ Q4 ~

х р з т ч ^ + с н ^ ^ ) -

— Ьгcos2Ф (d* + dn — ° f ф ) ] .

Задача определения термических напряжений вблизи трещины [309] эквивалентна задаче определения напряженного состояния в полусфере, когда на ее плоской границе существуют следущие условия упругости:

) = 0, 1 < г < с,

и *{г’ т .

где с > 1 — радиус сферы.

272

При задании температуры на поверхности трещины темпера­ турные граничные условия имеют вид

Т (г, п/2) = Т (г), 0 с г < 1;

Рассматриваются две задачи [309]. В первой из них поверх­ ность сферы свободна от сдвига и поддерживается в состоянии, при котором радиальная составляющая вектора смещения стре­ мится на ней к нулю. На поверхности создается температура Т 0. Такая ситуация физически возникает тогда, когда сфера в жестком

соответствуют контакту при смазке. В этом случае коэффициент интенсивности термических напряжений

N = / 2"^- Г„[1 +0,3183* + 0 ,2027*а— 1,1967л3—

ТС

— 0,4242**— 0,0930*5 + 1,2538*6 + 0,6565х7 + 0 (*8)].

Здесь р, — модуль упругости; ii — коэффициент Пуассона; at

Во второй задаче поверхность сферы, находящаяся при посто­ янной температуре T Qi свободна от растяжения. Граничные усло­ вия на ней:

Т ( С , 6) = о*(с, в) = а п (с, 6) = 0, О « 0 « ~ .

Если при этом поверхность сферы термически изолирована,

то

^ • 7 ’(Л 0)|П« = О, О < 0 < ^ - .

Граничные условия, отвечающие свободному теплообмену, можно записать так:

Здесь |5 — константа.

Для этой второй задачи

N = — [1 — 0,6366*— 0,4053х2 + 2 , 0 1 6 3 л :3 —

Я

— 0,6773д:4— 3,8523л5 4,1687дс® + 3,2741л* + 0 (л8)]

и при х = 0,6

В приведенных выше выражениях для коэффициента интен­ сивности напряжений [309] предполагается, что размеры трещины существенно меньше диаметра сферы. В случае их соизмеримости при * = 6 величины N следующие:

для первой задачи

N = — У 2тм,7°- 1,020572;

Я

для второй задачи

Численная оценка показывает, что коэффициент интенсив­ ности напряжений снижается с падением радиуса сферы. При этом скорость процесса уменьшается. N во второй задаче намного больше, чем в первой.

Г. С. Кит и О. В. Побережный [313] рассмотрели влияние на напряженное состояние теплообмена с окружающей средой пла­ стины с трещиной. В случае бесконечной пластины шириной 2d, на верхней и нижней гранях которой задана температура —tQi а температура окружающей среды равна нулю, напряжения на линии расположения трещины составляют

°хх ~ (V

2

т

Здесь F — гипергеометрическая функция; к — коэффициент теплопроводности пластины; к = а/8к — коэффициент теплоот­ дачи пластины; 26 — толщина пластины; h — тепловая проводи­

Численный анализ этих уравнений показывает, что увеличение теплоотдачи пластины или тепловой проводимости трещины умень­ шает напряженное состояние в окрестностях ее вершины. Для установления предельного равновесия трещины определяют ко­ эффициенты интенсивности напряжений. Они равны

2g/3/2g/|j, (I* 4- ц)

не трещины рассматривался также в работе [314].

3. П РЕДЕЛЬН О Е РАВНОВЕСИЕ ТРЕЩИНЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ

ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ В СОЧЕТАНИИ С ВНЕШНИМ

МЕХАНИЧЕСКИМ НАГРУЖЕНИЕМ

Первый вопрос, который возникает при рассмотрении данной проблемы, заключается в переводе трещины в неустойчивое состо­ яние чисто тепловым воздействием. С этой точки зрения интерес представляют ранние стадии квазистатического роста трещины, в процессе которого затрачивается энергия на образование новых поверхностей.

В работе [315] анализируется поле температур в идеальном упругом теле, разделенном эллиптической трещиной с большой и малой полуосями а и b (а > Ь). Предполагается существование источника тепла и некоторого температурного градиента.

Термический критерий разрушения определяют на основании обычных представлений Гриффитса, согласно которым выделяе­ мая упругая энергия должна скомпенсировать энергию обнажае­ мой поверхности. Рассматриваются три случая:

1.Предполагается, что эллиптическая трещина с полуосями

а — с cos h£0; 6 = с sin h£0 превращается в другой эллипс, име­ ющий те же фокусы. Критерий Гриффитса имеет вид

J - ( A S — Д Г) = 0.

В окончательном виде градиент критической температуры (т0)криг, при котором эллиптическая трещина начнет распространяться, может быть найден из выражения

Здесь а — коэффициент термического расширения; у — поверх­

ностная энергия; v — коэффициент Пуассона; Е — модуль Юнга; k' — аргумент полного эллиптического интеграла; E(k) — полный эллиптический интеграл второго рода с модулем k.

Расчет, выполненный по этой формуле, показывает, что сопро­ тивление движению эллиптической трещины уменьшается с ростом отношения полуосей alb. Круговая трещина требует максимально высокого градиента температур для своего продвижения, вычис­ ляемого по формуле

Для случая, когда продвижение трещины обеспечивается не градиентом температур, а равномерным изменением темпера­ туры Т 0, критическая температура определяется из выражения

р — модуль сдвига.

Подобно предыдущему случаю, пенни-образная трещина тре­ бует для подрастания самой высокой температуры, определяемой

2. Предполагается, что большая полуось эллипса а способна возрастать независимо от малой Ь. При этом критерий Гриффитса становится равным

± ( V S - A W ) = 0.

Для ситуации, когда разрушение определяется величиной Т 0, ее критическое значение можно найти по уравнению

276

3. Допускается, что малая полуось эллипса b меняется нёза* висимо от большой а. Критерий Гриффитса здесь таков:

- £ ( V S -A W ) = 0.

Отсюда для критического градиента температур

а для критической температуры (Т0)крит

Стабильность трещины при совместном действии механических и термических напряжений рассмотрена Свободой [316, 317]. Используется коэффициент интенсивности механических напря­ жений по Баренблатту:

И т у Т %)(/■, 9*) = v -

Если 0* — направление начальной трещины, то логично предпо­ ложить его нормальным максимальному растягивающему направ­ лению. Тогда

для термических напряжений в вершине трещины следует зави­ симость

Здесь Р£рнт — критические растягивающие термические напря­ жения; Р кРит — критические растягивающие механические на­ пряжения, вытекающие из тривиальных соображений:

Р =

2Еу

•*крит па

Функция f (а ЕаАТ/4Ркрнт) выражает влияние термических на­ пряжений на критические растягивающие. Ее весомость начинает

277

появляться от величин аЁауТ/4Ркрит ^ 0 ,1 . Если Р£рит/РкрИт= = 0, то разрушение вызывается только термическими напря­ жениями. В этом случае для градиента критической температуры имеем

Влияние однородного теплового потока на предельное равно­ весие пластины с прямолинейной трещиной при одноосном растя­ жении на бесконечности рассмотрено Г. С. Китом [318]. Определя­ ются предельные значения внешней нагрузки р* и теплового по­ тока <7*, по достижении которых хотя бы один из концов трещины приходит в состояние предельного равновесия, вследствие чего трещина в хрупкой пластине растет.

Используются коэффициенты интенсивности напряжений, со­ ставляющие для правого конца трещины

турного расширения; Е — модуль упругости; (5 — угол ориен­ тации теплового потока по отношению к трещине длиной 21.

Тогда угол начального распространения трещины 0*, отсчи­ тываемый против часовой стрелки от положительного направле­ ния оси ОХ у правого конца трещины и от отрицательного направ­ ления этой оси у левого конца, равен

Предельные значения внешней нагрузки р3 и теплового потока следующие:

,

где К — модуль сцепления.

В частности, если пластина находится под влиянием только температурного поля (р = 0), то предельное значение теплового потока характеризуется следующим выражением:

=2 / 6 К

Г. С. Кит отмечает, что когда трещина находится под действием только одноосного растяжения или только однородного теплового

278

потока, то трещина начинает распространяться с обоих концов одновременно. Если силовые и температурные факторы действуют совместно, концы трещин уже не находятся в одинаковых усло­ виях (за исключением случая, когда а = 0, а = я /2 и а = л). При 0 < а < я/2 трещина начинает развиваться раньше у правого конца, а при я/2 < а < я — у левого. При этом с уве­ личением теплового потока предельные усилия /?*уменьшаются,т. е. прочность пластины с трещиной падает.

4. ТЕРМ ОУПРУГИЕ ЯВЛЕНИЯ В ВЕРШИНЕ

ДВИЖ УЩ ЕЙСЯ ТРЕЩИНЫ

Известно, что в процессе распространения трещины из-за определенной пластической деформации в ее вершине температура несколько повышается. Следствием этого могут быть термоупру­ гие напряжения, локализованные в области, близко примыка­ ющей к вершине трещины и способные оказывать определенное влияние на процесс разрушения [319]. Если процесс разрушения и связанной с ним деформации протекает медленно, то тепло, порожденное пластической деформацией, рассеивается в мате­ риале вследствие теплопроводности. Процесс в этом случае можно рассматривать как изотермический; температурные напряжения отсутствуют. С увеличением скорости распространения трещины и, следовательно, ритма выделения тепла процесс приобретает черты локализованного адиабатического. В этих условиях неиз­ бежно возникновение дополнительных термоупругих напря­ жений.

Лукас [319] предполагает, что тепло, выделяемое в области протекания пластической деформации, можно аппроксимировать распределением мгновенных теплоисточников, одинаковых по интенсивности и располагающихся в малой круговой области радиусом R с центром в конце трещины. Линейные источники интенсивности qp задаются в цилиндрических координатах сле­ дующим образом:

dr' de'>

где Up— среднее значение эквивалентной работы пластической деформации; р — плотность; с — удельная теплоемкость.

Напряжения, вызванные принятым распределением, полу­ чаются из уравнений

° r r = — c ° s 4 ( 1 + s m2 4 - ) r ~ T r ' ~ ~ т + о ('*>■ •

= — a f f i - v ) cos3 T г~'Пг' ^ ' 4 + 0 (О;

279