а , град
Рис. |
112. |
Коэффи |
Рис. |
113. |
Коэффициент кон |
Рис. |
114. |
Коэффи |
циент концентрацни |
центрации |
напряжений |
во |
циент |
концентрации |
напряжен ий |
вокруг |
круг замкнутой трещины на |
напряжений |
вокруг |
замкнутой |
трещины |
границе двух сред в зави |
краевой |
трещины на |
на границе двух сред |
симости от соотношения ме |
границе |
двух сред |
в зависимости от угла |
жду размером концентратора |
в зависимости от уг |
атаки а волной: |
и длиной |
падающей |
волны: |
ла атаки волной: |
/ — однородная сре |
1,2 — волна падает со сто |
/ — волна падает со |
да; 2 — волна падает |
роны |
ptCt |
= |
1410 |
(/ |
— |
стороны среды с рс = |
со стороны |
среды с |
р2с2 = |
1410; |
2 |
— |
р2с2 |
= |
= 2360; 2 — волна па |
рс = 1410; 3 —• волна |
= 2360); 3 , 4 — волна |
па |
дает |
|
со |
стороны |
падает |
со |
стороны |
дает со стороны рiCi = 2360 |
среды с рс = |
1410 |
среды |
с рс = 2360 |
(3 ~ |
р2с2 = 1410; |
4 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
р2с2 |
= |
2360) |
|
|
|
|
|
|
|
|
особенности до конца процесса, когда импульс приходит из среды с меньшей акустической жесткостью и, наоборот, разрушается с образованием двух подобных зон, когда упругая волна возбу ждается в среде с большей жесткостью.
При данном радиусе кривизны фронта R = 45 мм в однородной среде формирование розетки напряжений начинается с образо вания трех лепестков изохром приблизительно одинаковой интенсивности. В слоистой среде подобного явления не наблю далось. С самого начала розетка напряжений состояла из двух лепестков, почти симметрично расположенных относительно гра ниц раздела. При падении волны из среды с меньшей акустиче ской жесткостью розетка сильно вытянута, и наоборот, если им пульс приходит со стороны мягкой среды, розетка напряжений сжата и в вертикальном, и в горизонтальном направлениях.
С точки зрения разрушения композиционных материалов важно выяснить зависимость концентрации напряжений от угла атаки выреза волной. Результаты расчета приведены на рис. 112. Коэффициент концентрации определяли как отношение разности главных напряжений при падении импульса под произвольным углом к разности главных напряжений, когда импульс распро странялся вдоль берега выреза. Расчет выполняли отдельно для среды с рас2 == 1410 и р гсг = 2360. Максимальное напряженное состояние формируется тогда, когда угол падения 0 и 180°.
Вотличие от однородного случая эта зависимость более слабая.
Вряде работ показано, что коэффициент интенсивности имеет экстремальную зависимость от соотношения между размером концентратора и длиной падающей волны.
Предпринята попытка обнаружить этот эффект в слоистом композиционном материале. Длину выреза меняли от 8 до 45 мм,
длительность импульса составляла 30 мкс. Результаты приведены на рис. 113. Увеличение размера выреза сопровождается повы шением коэффициента концентрации. Эта зависимость оказы вается более крутой в среде с большей акустической жесткостью.
Дифракция упругого импульса на краевом вырезе. Краевой вырез имел длину 45 мм и радиус при вершине 0,25 мм. Его вер шина была расположена на нормали к торцу образца, исходящей из точки приложения нагрузки. Импульс сжатия падал под углами 45; 90; 135; 180; 225; 270 и 315°. Во всех случаях розетка напряжений имела сначала сложную форму, а затем трансфор мировалась в двухлепестковую. Следует отметить, что максимум касательных напряжений достигается не в момент прихода пика импульса (за исключением 90°), а гораздо позднее, что, по-види мому, можно объяснить изменением напряженного состояния в импульсе в результате взаимодействия его с границей раздела.
На рис. 114 приведены результаты расчета коэффициента концентрации напряжений в зависимости от угла атаки. Исход ным состоянием, относительно которого было проведено сравне ние, служил угол 45°.
Как следует из рис. 114, коэффициент концентрации прини мает максимальное значение при 180°, т. е. когда упругая волна распространяется вдоль берега выреза. При 180° коэффициент концентрации терпит разрыв, причем его величина более значи тельна для среды с меньшей акустической жесткостью.
Таким образом, возможны многочисленные варианты взаимо действия трещины с упругими волнами и импульсами различной природы. Экспериментально оказалось исследовано лишь влияние преимущественно импульсов сжатия, растяжения, изгиба и релеевских импульсов. Следует, очевидно, рассмотреть в дальнейшем
ииные классы упругих возмущений, а именно: поперечные волны
иимпульсы различной поляризации, многочисленные разновид ности поверхностных волн, перемещающихся по трещине на раз личных стадиях ее вскрытия с учетом фрактографических особенно
стей вскрывающихся полостей разрушения, крутильные волны и многие другие. Целесообразно, конечно, и четко разделить ста ционарные и нестационарные волновые явления и проанализи ровать влияние длительности приложенного упругого импульса. Однако ужесейчас очевидно, что предположение о принципиальной возможности такого взаимодействия между статической и дина мической трещиной, с одной стороны, и упругой волной, с другой, при котором разрушение способно кардинально меняться, а в не которых случаях итти по произвольно заданной траектории или вообще останавливаться, вполне обосновано.
Г л а в а IX
УПРАВЛЕНИЕ ТРЕЩИНОЙ
СПОМ ОЩ ЬЮ ТЕРМИЧЕСКИХ
ИТЕРМОУПРУГИХ ПОЛЕЙ
Одним из средств торможения быстрых трещин могут быть тем пературные поля. Их применение оправдано легкостью получе ния и многосторонним характером воздействия на процесс раз рушения. Прежде всего, не вызывает сомнения влияние повыше ния вязкости металла с повышением температуры, способное само по себе погасить скорость распространения трещины. Этим, од нако, благотворное влияние температуры не ограничивается. Трещина, представляя собой разрыв сплошности материала, заметно меняет тепловой поток, что ведет к изменению распреде ления температур и термическим напряжениям. Пожалуй, это едва ли не основная причина изменения характера разрушения.
В динамическом варианте возможно и взаимодействие трещины
стермоупругими волнами. Влияние теплового потока через тре щину и ее окрестности может сказаться и на величине области
пластической деформации — зоны Дагдейла — вокруг вершины и полостей трещины. Вероятно, названные причины не исчерпы вают механизмов взаимодействия трещины с температурным полем. Именно это многообразие и позволяет надеяться, что тер мические потоки и поля могут быть использованы на практике для прерывания даже закритического распространения быстрой трещины в твердых телах.
Более того, техническая простота получения в протяженном объекте любого по величине и распределению температурного и термоупругого поля создает широкие возможности изменения направления распространения трещины. Это позволяет исполь зовать термическое воздействие для управления траекторией разрушения, что не менее важно, чем полное торможение трещины.
1.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМ ПЕРАТУР Б ПЛАСТИНЕ
СТРЕЩ ИНОЙ
Анализ плоского температурного поля вокруг трещины в пла стинках проведен Я. С. Подстригачом и Г. С. Китом [308]. Предполагалось, что трещина криволинейная и обладает термо сопротивлением и теплопроводностью. Она располагается в плоско сти комплексного переменного г = х -\-iy и между ее берегами имеется неидеальный тепловой контакт.
Рассматривается задача об определении в этой плоскости стационарного температурного поля в предположении, что на достаточно большом расстоянии от щели распределение темпера тур описывается заданной гармонической функцией tm(.v, у). Трещина рассматривается как физическая линия L, имеющая
приведенные теплопроводность %0 и тепловую проводимость к. Тогда искомая ^температура может быть выражена в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
(х> у) |
= |
t (лг, у) |
-f |
ifсо (х, у), |
|
где t |
(х, |
у) |
►0 при t |
— > |
оо. |
|
Далее |
задача |
сводится [3081 к отысканию гармонической |
функции |
t (х, |
у), |
исчезающей на бесконечности и удовлетворяю |
щей |
на |
L |
условиям |
неидеального теплового |
потока: |
Ь щ г + п + ъ 4 ц г - п — 21 ж ’ |
К |
щ |
( |
Г - |
П |
+ 6 ^ |
( t * — V ) — \ 2 h ( t * — 1 |
) = — 12Х |
где X — коэффициент теплопроводности тела; |
S0 — дуговая абс |
цисса точки 10 линии Ц п0 — нормаль в точке | 0, направленная влево от L; индексы -f и —^означают предельные значения соот ветствующих величин слева и справа от линии L.
Авторы полагают [308], что на обоих концах (z = с) линии L температуры и тепловые потоки равны, т. е.
t+{c) = t~{c)> dt+(с) __ dt~ (с)
дп дп
Функцию t (xt у) определяют в виде суммы потенциалов двойного и простого слоев:
t (.х, у) = U (х, у) + V (.х, у).
Величины U (Ху у) и |
V (х, у) находят через интегралы типа |
Коши: |
V (х, у) = ImFt (г); |
U (х, у) = ReF1 (z); |
T«)dS |
/(£)<*£ . |
5 - * |
■ W - - s r J i - 2 ’ |
f(S) = — J Ц (S) dS. |
|
При этом у (5) и р ( S) определяют отдельно из системы сингу лярных интегро-дифференциальных уравнений.
Отсюда
t (z, z) = -1 [Ft (2) + f T ( i ) - i IFS(z) — 7J(z)])
итемпература в общем виде определяется как
Т(z, z) = t (z, z) -f tm(z, z).
Поле температур в упругой теплопроводной сфере, содержа щей пенни-образную трещину, рассматривалось в работе [309]. Трещина единичной длины располагается в начале координат ортогонально оси z. Радиус сферы существенно превышает раз
меры разреза с ^ 1. В условиях задания температуры на поверх ности сферы
Г ( г , -5-) = |
Г (г); |
0 |
</• < 1; |
|
|
|
► |
тЦ§-(г>0)|„ |
я = 0; |
1 |
< г < с - |
Распределение температур в плоскости трещины вне ее пери метра характеризуется выражением
sin-1 ( f ) sin-1 (£ )
T {r' Jf ) |
= |
J |
f(rsin0)d0 — у |
J |
f ( y S in 0) d 0 |
|
|
|
|
о |
|
|
о |
|
|
для 1 < |
г < |
с, |
где |
f (х) — аппроксимируется |
полиномом. |
|
В частном случае, когда заданная температура на поверхности |
трещины |
постоянна |
Т (г) |
= Т 0, распределение температур |
вне |
трещины на плоскости 0 = |
-jjp может быть представлено в |
виде |
Т [г, |
|
= |
^ Г |
(1 -(- 0,6366л:+ 0,4053л2 + |
0,2580а? + |
|
+ 0,1643л:4 + 0,1046л:5 + 0,0666л:0 + 0,424л7) х
X(sin-1- ! - -f sm-1-^-) +
+(0,2122л5+ 0,1351л° + 0,0860л7) X
X fг2 sin—1 |
---- (г2— I)2 |
|
I ' м |
f |
, г |
( с 4 |
|
С - с 4 |
Л 2 |
г Г2 |
С2 |
\ Г2 |
/ |
/ J |
|
|
|
|
где л = — .
2 . ТЕРМ И Ч ЕСКИ Е НАПРЯЖ ЕНИЯ ВО КРУГ ТРЕЩ ИНЫ
Не претендуя на полноту обзора, приведем данные некоторых исследований термоупругих напряжений, возникающих вблизи трещины, находящейся в тепловом потоке.
Одним из первых проанализировал сингулярный характер термических напряжений у вершины трещины Си [310]. Его целью было проверить, в какой степени классические представ ления Гриффитса—Ирвина, в частности относящиеся к особен ностям напряжений у вершины трещины, соблюдаются и в слу чае, когда напряженное состояние создается не механическим, а температурным путем,
Согласно Си, предполагается, что, так как наличие собственно теплового потока не должно вызывать дополнительной сингу лярности, ожидаемая сингулярность должна иметь обычный вид
типа ПУТ! Если пренебречь членами высоких порядков малости относительно г, то компоненты температурных напряжений у вер шины трещины можно представить в виде:
где А — комплексная постоянная.
По мнению Си, вид уравнений остается в общем неизменным для всех двумерных задач о температурных напряжениях. Два параметра Re [А] и Im [А] зависят только от формы трещины и способа задания температуры или ее градиента на границе, chn уравнения идентичны уравнениям Ирвина при наличии на границах тела механических усилий, когда величины
Ki = y=Re[A) и Х2 = — y=Im[A]
являются коэффициентами интенсивности напряжений у вершины трещин соответственно симметричного и антисимметричного типа.
Си [3101 рассматривает частные случаи, когда трещина дли ной 2а с центром в начале координат плоскости г расположена вдоль оси X. В первом из них напряжения вызваны тепловым потоком, приложенным к поверхности трещины. При этом на верхней и нижней поверхностях трещины температура поддер живается постоянной. Поток, необходимый для получения задан ного распределения температур, обозначается Q. Тогда постоян ная А имеет вид
E a Q a
2 п ц (1 -J- и)
где |i и а — коэффициенты температуропроводности и теплового расширения соответственно, а к имеет значение (3—4v) для плос
кой деформации и (3 — v)/(l -j-v) для плоского напряженного состояния.
В этих условиях коэффициент концентрации напряжений у вершины трещины составляет
=о.
Вкачестве второго примера Си исследует задачу термоупруго сти для равномерного теплового потока, возмущенного наличием термоизолирующей трещины длиной 2а. В этом случае величину А находят из выражения
__ |
iGoto? sin |
x~frrt |
Л = = |
2(1 + и) |
V i ’ |
где невозмущенный градиент температур направлен под углом р к оси X. Из общих выражений для Ki и /С2» приведенных выше, следует, что коэффициент интенсивности напряжений равен
В цитированной ранее работе Я. С. Подстригая и Г. С. Кит [3081 рассматривают плоскость с прямолинейной трещиной длиной 2а, расположенной на оси ОХ симметрично относительно начала координат. Если на бесконечности задан однородный тепловой поток q, направленный под углом р к оси ОХ, то
tco = q (х cos р -f у sin Р) + t0.
Предполагается, что теплопроводностью вдоль трещины можно пренебречь. В этих условиях напряжения вокруг трещины имеют вид
а' = “ W |
( 5 sm "Г “ |
3 sm н г ) |
+ 0 (,/7): |
°ф = |
~ 1 7 5 г ( 3 sin х |
+ 3 sin Х -) |
+ 0 O'7 ); |
т*> = |
I F F |
( cos x + |
3cos н г )+ |
0 O'7 )- |
где
K r = -lr a lE a M q K C 1 slnf>-,
a t — коэффициент термического расширения; E — модуль Юнга;
к |
% . |
г _ |
да + 0.3469Д + 0,0253 |
А — |
2ah* |
L l ~ |
Д3 + 1,1957Д2 + 0,3101Д + 0,0201 * |
Коэффициент интенсивности напряжений Кп таким образом, зависит от тепловой проводимости трещины через величину КС^
При идеальном тепловом контакте между берегами трещины (h =
= оо, К = 0) величина |
Кг равна нулю, а в случае термоизоли |
рованной трещины |
(h = |
0, К = оо, КСг = 1) |
при постоянных |
других параметрах достигает максимальной величины. |
Пусть [311] бесконечно длинный круговой |
цилиндр, образо |
ванный конечным |
радиусом, содержит пенни-образную трещину |
на плоскости 2 = |
0. Предполагается существующим известное |
температурное распределение / (р), причем температура, напря жения сдвига и радиальное смещение на поверхности цилиндра отсутствуют.
Если а и с (при этом с > я) — радиусы трещины и цилиндра соответственно, то задача определения напряженного состояния
вблизи трещины эквивалентна определению напряжений в |
полу- |
бесконечном цилиндре 2 ^ |
0, 0 ^ р с |
с, когда на границе |
пло |
скости 2 = |
0 действуют термические |
и упругие условия: |
|
0 (Р> 0) = |
/ (р), 0 < |
р < я; |
|
|
^ -0(р , 0) = |
0, |
я < |
р < |
с; |
|
|
арг (Р, 0) |
= |
0, |
0 < |
р < |
с; |
|
|
<Jzz (Р, 0) |
= |
0, |
0 < |
р < |
я; |
|
|
1/г (р, 0) = |
0, |
я < р < |
с, |
|
|
где f (р) задана, а 0 = 0 (р, z) — функция температуры, удовле творяющая уравнению теплопроводности
('ар5' ~р~' ар “t" ai5") ®(Р> z) = 0» 0 < р < с, 2 ^ 0 .
На поверхности р = с соблюдаются условия
0 (с, 2) = 0, 2 ^ 0;
О рг fo 2) = 0 , 2 ^ 0 ;
Up fe z) = 0, 2 ^ 0.
Хорошо известно, что потенциал ф (р, г) компонентов термо упругого смещения U1 следующим образом связан с координа тами и напряжениями:
Ы = тв’
где tj — коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного термического расширения.
Объединяя уравнение теплопроводности с последним соотно шением, находим
( ^ г + Т - ^ + ж ) ’ * ^ г) = 0'
Результирующие напряжения в плоскости трещины имеют следующий вид:
|
|
|
а |
а |
Огг (р. 0) = |
— ШЦ Г |
dU + 2ПЦ1 f g, (U) dU X |
|
|
|
о |
о |
х |
Iа Jtw! 2 / » (| р )+ lp / l ш1 cosh md| ~ |
|
о |
|
|
|
- |
2Р j |
л |
Д р dU + £ |
S S (U) dU X |
|
o |
|
|
b |
|
X |
|
|
|
x |
. f T |
f r |s in ( y /) /°(lp)d|- |
|
0 |
|
|
|
Коэффициент интенсивности напряжений таков:
N = lim(р — t)'n ст„(p, 0) = ( - | ) 2 P£(a)-
Наряду с приведенным находят также итерационное решение для коэффициента интенсивности напряжений в виде
N = ( т ) ' /2 м |
(«) - - (2fl),/2 |
[ 1- 0.5543 ( “ ) - |
— 0,3073 ^-2-у |
+ 0,3313 (-j-)3— 0,2398 (-2-)* — 0,0679 ( 2.)* + |
+0,0945 (-2 .)'— 0,1032 ( - f ) ' — 0,0178 (-2-)’ +
+0,0159 (-2-)’ + . . . ] .
В частном случае, когда а = 3 и с = 5:
N = — -— WJLIGO- 0,5934.
ЭХ
Указанные формулы для коэффициента интенсивности напря жений N применимы лишь для случая, когда а!с мало. В против ном случае N численно определяется из формулы
j_
N = — (6)* я_1яц1бк,-0,593385.
