книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Каждое из этих уравнений заключает лишь одну неизвестную координату и потому разрешается без всяких затруднений. Обобщен­

ная сила Ф„ в каждом частном случае определяется из того условия,

что произведение Ф„бф„ равняется работе внешних сил при дефор­ мации, соответствующей приращению координаты 6ф„.

I.ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ С ОПЕРТЫМИ КОНЦАМИ

§2. Поперечная нагрузка

Вэтом случае прогиб у в каком-либо поперечном сечении стержня на расстоянии х от левого конца (см. рис. 1) может быть представлен

втаком виде:

Если действуют только поперечные силы, то потенциальная энер­ гия системы определится формулой

(3)

(Здесь EJ — жесткость стержня при изгибе.)

Подставляя это выражение потенциальной энергии в уравнения (1), найдем

<fn JEnW Фп‘

Выражение (2) для изогнутой оси может быть теперь представ лено в таком виде:

Применим это общее выражение к различным частным случаям нагрузки.

Положим, стержень АВ изгибается сосредоточенной силой Р, приложенной на расстоянии с от левого конца (рис. 1). Для опре­

деления обобщенной силы Фп, соответствующей этому случаю на­

грузки, заметим, что произведение Фп-бфл должно давать работу внешних сил, в нашем случае силы Р на перемещениях, соответст­ вующих приращению 6ф„ координаты фл. На основании общего вы­ ражения (2) прогиб балки, соответствующий приращению бф„, равен

01О / = Оф„sinС * -ШJ1 Л- .

Работа силы Р, соответствующая этому прогибу, будет

р\г . плс

рьq ^ s m - p .

Обобщенная сила Ф„ найдется из равенства

Вставляя полученные таким образом значения Фь Ф2 в выра­ жение (4), найдем

Возьмем, например, случай изгиба силой Р, приложенной пос­ редине пролета. Прогиб посредине получим, полагая в общем вы­ ражении (6) с—х=И2:

Таким образом, приходим к известной формуле сопротивления материалов.

От изгиба сосредоточенной силой легко перейти к изгибу парой сил.

Если к стержню АВ приложить две взаимно противоположные силы Р (рис. 2), то прогиб в любой точке на основании выражения

(6) представится так:

§ 3. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ 183

Полагая Р8с=М, найдем

(7 )

п = 1

Найдем, для примера, прогиб балки посредине в том случае, когда пара сил приложена к левому концу. Для этого в общем вы­ ражении (7) нужно положить с=0, х=//2:

_ 2Af/г я3 _ M l2 ~ EJn33 2 ~ \6EJ •

Легко видеть, что выражение (7) для случая изгиба парой сил полу­ чается из выражения (6) путем дифференцирования по с.

Путем интегрирования можно из выражения (6) получить вы­ ражение для изогнутой оси в случае действия сплошной нагрузки.

Пусть q — интенсивность сплошной нагрузки (в общем случае q — функция от с). Вставляя в выражение (6) вместо Р величину qdc и интегрируя в пределах от 0 до /, получим выражение для изог­ нутой оси при действии сплошной нагрузки. Если q постоянно по длине пролета, то нагрузка распределена равномерно. Легко полу­ чить

4ql* (

УE Jn * V

Пользуясь формулами (6) и (7), можно найти выражения для изог­ нутой оси при любом распределении поперечных нагрузок.

§ 3. Совместное действие поперечных и продольных сил

Перейдем теперь к случаю, когда кроме поперечных нагрузок

сближение концов Л и В при изгибе стержня определится формулой

Вставляя вместо у его общее выражение (2), находим, что работа продольной силы при изгибе равна

- Г 6 / = - ^ 2 я * ф * .

П — 1

Потенциальная энергия системы при наличии продольной рас­ тягивающей силы будет

Это и будет общим выражением для изогнутой оси стержня в случае действия продольной растягивающей силы Т. Для получе­ ния уравнения изогнутой оси при действии сжимающей силы нужно только переменить знак а 2, тогда получим

ряда (11) обращается в нуль. Ничтожная причина может вызвать значительный прогиб — прямолинейная форма сжатого стержня перестает быть устойчивой.

Таким образом, мы приходим к формуле Эйлера для критической сжимающей силы. Применим общие выражения (10) и (11) к частным случаям.

Если растянутый или сжатый стержень изгибается сосредоточен­ ной силой Я, приложенной на расстоянии с от левого конца, то обоб­ щенная сила Ф„ , как мы видели, определяется формулой

От сосредоточенных сил путем интегрирования легко перейти к сплошной нагрузке. Пусть q — интенсивность нагрузки. Очевидно, q в общем случае будет некоторая функция с — расстояния от ле­ вого конца. Величина qdc будет нагрузка, приходящаяся на элемент dc изгибаемого стержня. Вставляя в общее выражение (12) вместо Р величину qdc и интегрируя по с в пределах от 0 до /, можем получить выражение для изогнутой оси стержня при любом законе распреде­ ления сплошной нагрузки. Если нагрузка распределена равномер­ но по длине, то q — величина постоянная и вышеуказанное инте­ грирование дает нам

Наибольший прогиб, очевидно, будет посредине. Мы его полу­ чим, полагая х=//2, тогда

Рассмотрим еще параболический закон распределения сплошной нагрузки. Наибольшую интенсивность нагрузки посредине пролета обозначим через q0. Тогда вся нагрузка, приходящаяся на стержень, будет а/8 q„l, интенсивность нагрузки на расстоянии с от левого конца будет

Вставляя соответствующее значение qdc вместо Р в выражение (12) и выполняя интегрирование, найдем

Во всех рассмотренных случаях мы получаем выражение для прогиба в виде бесконечного ряда. Ряды — быстро сходящиеся, и потому вычисление прогиба с нужной для практики точностью мо­ жет быть выполнено без всяких затруднений. Можно воспользо­ ваться быстрой сходимостью рядов и составить формулы, удобные для практических приложений. Если принять во внимание, что мно­ житель перед скобками в выражениях (13), (16), (17) мало отличается от /о (/о в каждом случае обозначает прогиб при действии только по­ перечной нагрузки), то легко видеть, что для вычисления проги­

§ 3. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ 187

бов при наличии продольной сжимающей силы можно пользоваться формулой

Формула эта совершенно точна для а 2= 0, с возрастанием ^ в о з ­ растает и погрешность. В случае сосредоточенной силы посредине погрешность ни в коем случае не превосходит 1,5 %, для малых же значений а 2 она весьма мала. Например, при а 2=0,2 погрешность не превосходит 0,3%.

В случае равномерно распределенной нагрузки погрешность при вычислении прогиба по приближенной формуле (18) не превосходит

в худшем случае у %. В случае параболического закона распределе­

ния сплошной нагрузки точность приближенной формулы еще боль­ шая.

Если нагрузка, изгибающая балку, расположена несимметрично относительно средины пролета, то место наибольшего прогиба не совпадает с срединой и определяется из условия dy/dx=0. Имея общее выражение для изогнутой оси, можно, конечно, найти и место наибольшего прогиба и величину его. При практических расчетах можно воспользоваться тем обстоятельством, что при действии сил одного направления прогиб посредине мало отличается от наиболь­ шего прогиба (легко показать, что в наиболее невыгодном случае, при изгибе парой сил, место наибольшего прогиба отстоит от сре­ дины на 0,078 / и величина прогиба посредине меньше наибольше­ го прогиба лишь на 2,5%. С приближением сосредоточенной нагруз­

Если мы в этом случае воспользуемся приближенной формулой (18), то погрешность будет различна в зависимости от величины с и а2. Для с=И2 погрешность не превосходит 1/5%. С убыванием с погрешность возрастает, и когда с=0, т. е. при изгибе парой сил, погрешность в худшем случае (а2=1) около 3% (погрешность эта противоположна по знаку той, которую мы делаем, заменяя наиболь­ ший прогиб прогибом посредине). Из всего вышеизложенного сле­ дует, что на практике при определении прогиба от поперечных на­ грузок и от продольной силы всегда можно пользоваться прибли­ женной формулой (18). Зная наибольший прогиб, легко найти

наибольшее значение изгибающего момента, обусловленного про­ дольной сжимающей силой. При пользовании приближенной фор­ мулой (18) легко составить выражение для полного изгибающего момента. Например, в случае сосредоточенной силы посредине момент посредине будет

Приходится момент от поперечной нагрузки множить на величи­ ну, большую единицы и зависящую от а 2. При действии сплошной равномерно распределенной нагрузки

Подобные формулы для наибольшего изгибающего момента легко составить и для других видов нагрузки.

Перейдем теперь к случаю растягивающей силы. В этом случае также в довольно широких пределах для вычисления наибольшего прогиба можно пользоваться приближенной формулой

(19)

Точность этой формулы зависит от величины а 2. (В случае ра­ стягивающих сил величина эта может быть значительно больше 1. На практике а 2 обыкновенно не превосходит десяти.) В случае сос­ редоточенной силы посредине погрешность при вычислении про­ гиба по формуле (19) будет около 1,2% для а 2=1 и около 2,2% для а 2=2. С возрастанием а 2 погрешность возрастает и формула (19) дает лишь грубое приближение. При удалении изгибающей силы от середины точность формулы (19) изменяется и в крайнем случае, при изгибе парой сил, приложенной на конце, погрешность достиг­ нет 2,5% для а 2=1 и 4,3% для а 2= 2 . Заметим, что большие значе­ ния а* получаются лишь в случае весьма гибких стержней. К таким стержням обыкновенно не прилагают сосредоточенных нагрузок. При действии равномерно распределенной нагрузки точность при­ ближенной формулы (19) значительно большая. При а 2=1 погреш­ ность около 0,3%, при а 2= 2 погрешность 0,7% и при а 2=10 по­ грешность приблизительно 1,7%. В случае параболического рас­ пределения сплошной нагрузки точность формулы (19) еще большая.

Таким образом, на практике почти всегда можно пользоваться приближенной формулой (19). В тех случаях, где точность ее по­ чему-либо является недостаточной, прогиб может быть вычислен на основании общего выражения (10) для упругой линии. Как и в слу­ чае продольной сжимающей силы, можно при помощи приближенной формулы (19) составить выражения для величины наибольшего

изгибающего момента. Например, при действии силы посредине бу­ дем иметь

0 ,8 2 3 а 2\

М = т ( : “Г+а2 / '

§ 4. Случай, когда продольная сила неизвестна

До сих пор мы предполагали, что продольная сила Т задана. Часто приходится ее определять из того условия, что концы стержня при изгибе не могут сближаться или что сближение пропорциональ­ но продольной силе. Если концы стержня вовсе не сближаются, то, очевидно, удлинение оси стержня, обусловленное продольной ра­ стягивающей силой, как раз равно тому сближению концов, которое получается от изгиба. Для нахождения продольной силы получаем уравнение

i

где F — площадь поперечного сечения.

Аналогичное уравнение получим, если сближение концов про­ порционально продольной силе.

Вставляя в уравнение (20) вместо у его общее выражение, полу­ чим уравнение, заключающее одно неизвестное Т (а2может быть вы­ ражено через Т). На практике для разрешения уравнения (20) сле­ довало бы для наиболее часто встречающихся типов нагрузки соста­ вить таблицы значений левой части уравнения (20) при различных Т. Имея такие таблицы, можно без особого затруднения решать урав­ нение (20) в каждом частном случае. Задачу можно значительно упростить, если воспользоваться приближенной формулой (19) и при­ нять, что стержень изгибается по синусоиде. (Второе предположение весьма близко к истине в случае равномерной нагрузки и нагрузки по закону параболы. Погрешность несколько больше в случае со­ средоточенных сил.) В таком случае левая часть уравнения (20) может быть представлена в таком виде:

Принимая во внимание, что T= a2EJn2ll2, можем представить

Решение уравнения (21) в каждом частном случае не представляет никаких затруднений. Для упрощения можно составить таблицу корней уравнения (21) для ряда значений величины f%/4i2. Зависи­ мость между а2и fl/4i2можно представить графически. Полученная таким образом кривая дает возможность легко находить а2, а следовательно, и величину продольной силы в каждом частном случае.

В качестве приложения приближенного уравнения (21) рассмо­ трим такой числовой пример. Стержень длиной 122 см имеет жест­ кость В=0,185-108 кг-см2 и изгибается равномерно распределенной нагрузкой q кг-см. Найти величину наибольшего прогиба f и вели­ чину продольного растягивающего напряжения t при различных значениях q, если при изгибе концевые сечения стержня могут сво­ бодно поворачиваться, но совершенно не могут сближаться. Взятые здесь числа соответствуют примеру, разобранному в статье И. Г. Буб­ нова 2). Значения /„ вычисляем по формуле 5 ql4384 В. Пользуясь ими, находим из уравнения (21) ряд соответствующих значений а 2. Продольная растягивающая сила получается умножением эйлеровой нагрузки на а 2. Для получения наибольшего прогиба f нужно зна­ чения /о делить на соответствующие значения 1+ а 2. Результаты вы­ числений приведены в таблице А. Последние два столбца таблицы

заключают значения прогиба /' и значения продольного растяги­ вающего напряжения f , полученные в вышеупомянутой статье И. Г. Бубнова на основании точных расчетов. Из сравнения за­ ключаем, что приближенные формулы дают вполне удовлетворитель­ ные результаты как для величины прогиба, так и для величины на­ пряжений.

*) Б у б н о в И. Г. Напряжения в обшивке судов от давления воды. С.-Пе­ тербург, типолитография А. Э. Винеке, 1904, 93 стр. См. стр. 20. [Перепечатка:

Бу б н о в И. Г. Труды по теории пластин. Москва, Гостехиздат, 1953, стр. 11—

100.См. стр. 29.]