книги / Прочность и колебания элементов конструкций

т. е. наибольшие напряжения при наличии отверстия в два раза пре­ восходят первоначально равномерно распределенное растягивающее или сжимающее напряжение р. Как видно из формул (13), значитель­ ные изменения в напряжениях имеют место только вблизи отверстия.

С увеличением г напряжения гг и 00 быстро приближаются к зна­ чению р. При г=10р

г? = 0,99р, 00 = 1,01/7,

следовательно, наше допущение, что при большом R напряжение можно считать равным р, вполне допустимо.

§ 5. Пластинка подвергается равномерному растяжению или сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 2)

Обозначим через q растягивающее напряжение в направлении оси х, через р — в направлении оси у. Вырежем из нашей пластинки кольцо с большим наружным радиусом R, внутренний радиус, рав­ ный радиусу отверстия, обозначим через р.

Напряжения на наружном контуре кольца будут

112 О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ

На внутреннем контуре

Кольцо подвергается равномерно распределенному по наруж­ ному контуру растягивающему усилию п, и, кроме того, сжимаю­ щему и тангенциальному усилию, распределенным по закону

Мы знаем, какие напряжения получатся от равномерного растя­ жения п, остается определить напряжения, вызываемые усилиями (15). Возьмем функцию F — функцию напряжений в таком виде (см. §3):

F=(ara-\-br*+or"2+P)cos 20.

г§ = (2а + 66г2—баг- 4—2Pr- 2)sin20. ,

Произвольные постоянные а, Ь, а и р должны быть подобраны та­ ким образом, чтобы при г=р были выполнены условия (14'), а при r=R, где R велико, должны быть выполнены условия (15). Получаем четыре уравнения:

—2а— 6а/?-4— 4р/?“ 2 = — б,

—2а— бар-4— 4Рр~2 = 0, 2а + 66/?2— 6aR~* = 2р/?-2 = б, 2а+ббр2—бар"4—2Рр2 = 0.

Решая их относительно произвольных постоянных и считая R очень большим, найдем

а = | - , 6 = 0, а = ^ - , р = — бр2;

подставляя эти величины в выражения для напряжений (16), по­ лучим

гг = ^—б—36-^- + 46 -^ -^ cos 20,

60 = ^6+ 36-^-)cos20,

г'0 = (б —36-j£ + 26 -ei)sin20.

Складывая эти напряжения с напряжениями, обусловленными растягивающими усилиями п, найдем решение поставленной нами

Первые члены в правых частях написанных выражений пред­ ставляют собой не что иное, как те усилия, которые мы имели бы по наружному контуру кольца, если бы пластинка была равномерно растянута. Вызываемые этими усилиями напряжения у отверстия определятся по формулам (18). Нам остается изучить влияние вторых

Рис. 4.

членов в выражениях (20) — следовательно, определить напряже­ ния, соответствующие таким усилиям на наружном контуре:

(21)

Функция напряжений F должна иметь в данном случае форму

F = -у r 0sin 0+ (bxr3-f <xxr~x+ рхг In г) cos 0+

Подставляя полученные значения произвольных постоянных в выражения для напряжений (22), получим

" = £ { ( - т + £ Ь в + ( т + £ - ^ Ь 3 9 } .

® - i i ( - 3 T - $ “ se+ ( - T - £ + £ . ) “ s3eb

^ = т { ( — т + А ? 0 s i n 0 + ( — т + % — % ) s in 3 0 } -

При г= р, т. е. на контуре отверстия,

при 0=0 в точке а (см. рис. 4)

0§ = - 2р £ ,

при 0=90° или 0=270° в точках b u d

09 = 0',

при 0=180° в точке с

0 '9 = + 2

Налагая полученные величины напряжений на те, что найдутся для простого растяжения по формулам (18), получим решение для задачи о распределении напряжений в случае внецентренного растя­ жения, внецентренного сжатия и чистого изгиба.

Пользуясь общими формулами § 3, можно задачу решить и в са­ мом общем случае, если бы для того представилась надобность. За­ метим, что указанная метода может быть распространена и на слу­ чай задачи в трех измерениях, так как задача о деформации тела, ограниченного двумя концентрическими сферами, решена в самом общем виде. Считая, что по поверхности внутренней сферы никаких усилий нет, а по наружной поверхности усилия такие же, как и в том случае, когда нет внутри малой сферической пустоты, можно за­ дачу решить в самом общем виде.

§ 7. Перемещения в случае простого растяжения

Рассматривая задачу о влиянии круглых отверстий на распре­ деление напряжений в пластинке как обобщенную плоскую задачу, мы пришли к дифференциальному уравнению четвертого порядка:

Д2Д2^ = 0.

118О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ

Ктакому же уравнению пришли бы мы и в том случае, если бы считали деформацию плоской. Поэтому полученный нами закон рас­ пределения напряжений при простом растяжении совершенно сов­ падает с результатами Г. Кирша. Если от напряжений перейти к определению перемещений, то тут такого совпадения уже не полу­ чится.

Пусть и и v — перемещения по направлениям л: (направление ра­ стяжения) и у, к и р — коэффициенты Ламэ, тогда полученные Г. Киршем перемещения представятся в такой форме:

Эти перемещения получены Г. Киршем в предположении, что по поверхностям пластинки распределены нормальные напряжения Z0 по такому закону, что по оси z пластинка испытывает во всех точках одно и то же относительное сжатие

2 р ( З Л + 2 р ) •

Следовательно, для перехода от перемещений (1) к случаю пло­ ской деформации нужно на деформации, приведенные у Г. Кирша, наложить растяжение в направлении оси г, равное по величине сжа­ тию (2). Тогда перемещения будут следующие:

Чтобы от перемещений в случае плоской деформации перейти

кперемещениям в случае обобщенной плоской задачи, нужно вместо

кпоставить величину

2Яр А.-)- 2 р

Следовательно, для удаленных точек, т. е. при г большом, пе­ ремещения (3), как и нужно было ожидать, одинаковы с перемеще­ ниями (1), полученными Г. Киршем. Вблизи отверстия перемещения (1) и (3) различны.

При р=л, т. е. на контуре отверстия,

р З ( к + у ) х _ 3 р х

Круговой контур отверстия обращается в эллиптический.

§8. Растяжение пластинки конечной ширины

Внаших выводах мы везде предполагали, что диаметр круглого отверстия весьма мал по сравнению с размерами пластинки. На

Из полученной формулы видно, что при отношении р/Ь<1/7 раз­ ность между суммой усилий, вычисленной по формуле (18) для пла­ стинки бесконечной ширины, и действительной силой, растягиваю­ щей пластинку ширины 2Ь, не превосходит 1 %; следовательно, формулы (18) в данном случае вполне применимы. На практике часто отношение р/Ь достигает значения 1/4 (такое соотношение встреча­ ется в случае заклепочных отверстий). В этом случае разность меж­ ду суммой растягивающих усилий, вычисленной по формуле (1), и действительной растягивающей силой несколько больше 3%. Если через р обозначим величину растягивающих напряжений по концам пластинки, то нужно ожидать, что в точках а, а (см. рис. 5) растя­ гивающие напряжения больше 3р, т. е. больше того напряжения, которое получилось бы в точках а, а при бесконечной ширине. Чтобы оценить величину необходимой поправки, допустим, что взятая нами

120 О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ

пластинка составляет часть растянутой пластинки бесконечной ши­ рины, тогда по боковым сторонам пластинки mmх и ппг будут дей­

пластинку шириной 26, то для того чтобы напряжения у отверстия остались прежними, необходимо по сторонам mmi и nth приложить усилия, равные Y у и Х у, заменяющие действие отброшенной части пластинки на вырезанную полоску шириной 26.

В действительности этих усилий по боковым сторонам пластинки нет, и потому распределение напряжений будет несколько иным, чем то следует из формул (18). Отбрасывание растягивающих уси­ лий Y у, очевидно, увеличит растягивающие напряжения в точках а, а. Если бы Y y везде имели свое максимальное значение 0,0878 р (см. формулу (3)), то тогда их отбрасывание вызвало бы увеличение растягивающих усилий в точках а, а примерно на ту же величину, т. е. на 0,0878 р. Так как Y yбыстро убывает с возрастанием х, то нужно полагать, что отбрасывание этих усилий вызовет еще мень­ шие изменения напряжений в точках а, а. Рассмотрим теперь, как скажется на величине напряжений в точках а, а отбрасывание уси­

0

Сравнивая этот результат с формулой (1), видим, что усилия Х„ по боковым сторонам пластинки вместе с растягивающими усилиями по сечению сс уравновешивают растягивающую силу 2р6, прило­ женную по концам. Отбрасывание усилий Х у, очевидно, вызовет увеличение растягивающих напряжений по сечению сс. Если до­ пустить, что это увеличение распределяется по закону, определяе­ мому формулами (18), то растягивающие усилия в точках а, а возрастут при р/6=1/4 примерно на 0,09 р. Приняв во внимание