книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Без особых затруднений можно было бы, конечно, получить приближенное выражение для тр в форме целого полинома. Если ограничиться лишь одним членом разложения (7'), то следует по­ ложить

Ф= Ooi(x2—aa)(t/2—62)(/.

Пользуясь принципом сложения сил, легко получить распреде­ ление касательных напряжений в том случае, когда направление силы не совпадает с направлением одной из осей симметрии прямоугольного по­ перечного сечения. Как частный случай можно рассмотреть распределение каса­ тельных напряжений в стержне квад­ ратного поперечного сечения в том слу­

чае, когда направление силы W совпа­ дает с направлением вертикальной диа­ гонали (рис. 6).

По плоскости xz, разделяющей попо­ лам изгибаемый стержень, нет никаких напряжений, следовательно, каждая половина стержня деформируется неза­ висимо под действием силы W/2, причем

эта сила не проходит через центр тяжести соответствующего тре­ угольного поперечного сечения. Каждая половина балки кроме из­ гиба испытывает кручение. Величины крутящего момента опреде­ ляются тем условием, что сторона треугольника, соответствующая

г) См. стр. 22 нашей работы, указанной в сноске х) на стр. 272.

2) S a i n t - V e n a n t В. Memoire sur la flexion des prismes, sur les glissements transversaux et longitudinaux qui l’accompagnent lorsqu’elle ne s’opere pas uniformement ou en arc de cercle, et sur la forme courbe affectee alors par leurs secti­ ons transversales primitivement planes. Journal demathematiques pures et appliquees (J. Liouville), 2 serie, 1856, tome 1, pp. 89—189. CM . § 25. [Перевод на русский язык: С е н - В е н а н Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. Физматгиз, М., 1961, 518 стр. Мемуар об изгибе призм, стр. 381—494.]

282 ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

вертикальной диагонали квадрата, сохраняет при деформации вер­ тикальное направление. Мы можем, пользуясь общим выражением (7"), получить приближенное выражение для касательных напря­ жений в случае скручивания стержня треугольного сечения. Комби­ нируя эти напряжения с напряжениями изгиба для квадратного се­ чения, получим распределения касательных напряжений для стерж­ ня, сечение которого — равнобедренный прямоугольный треуголь­ ник с вертикальной гипотенузой.

Задача может быть также приближенно решена и в том случае, когда равнобедренный треугольник не прямоугольный и сила W направлена параллельно основанию.

В случае сечения, ограниченного двумя дугами круга и двумя вертикальными прямыми (рис. 7), также легко задачу привести к

разыскиванию провисания мембраны, натянутой на плоский кон­ тур, и вычислить напряжения, пользуясь приближенной методой Рэлея — Ритца.

Особенно просто решается задача о распределении касательных напряжений в случае сечения, рассмотренного Ф. Грасгофом х) (рис. 8).

Сечение образовано двумя дугами гиперболы

ха(1+ст)—1/а<т=а*

и двумя прямыми у=*±а.

Берем для напряжений формулы (9). Правую часть уравнения

(11)обратим в нуль, положив

^G r a s h o f F. Theorie der Elastizitat und Festigkeit mit Bezug auf ihre Anwendungen in der Technik. Berlin, Verlag von Rudolph Gartner, Zweite Auflage, 1878, 408 SS. CM. S. 246. [Первое издание: G r a s h о f F. Die Festigkeitslehre mit besonderer Riicksicht auf die Bedurfnisse des Maschinenbaues. Berlin, Verlag von R. Gartner, 1866, XIV +294S.]

Функция ф определится из уравнения

причем на контуре ф=0.

В таком случае ф =0 по всему сечению и касательные напряжения будут

Легко решаются задачи также в том случае, когда уравнение контура имеет вид

Мы ограничимся приведенными примерами; из них видно, что введение функции напряжений ф может упростить решение задачи о кручении и изгибе призматических стержней. В некоторых слу­ чаях этим путем можно получать приближенные решения, приме­ няя методу Рэлея — Ритца.

ОБ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ, ИМЕЮЩИХ НЕЗНАЧИТЕЛЬНУЮ ПЕРВОНАЧАЛЬНУЮ КРИВИЗНУ

Вестник общества технологов, 1913, том 20, № 13, стр, 411—414.

§ 1. Продольные силы заданы

На практике нередко приходится иметь дело с изгибом слегка искривленных стержней. Иногда начальный изгиб является резуль­ татом неизбежной неточности изготовления, и тогда форма кривой для нас неизвестна, мы можем иметь лишь некоторые данные отно­ сительно величины наибольших начальных прогибов, иногда же начальное искривление задается и имеет вполне определенную фор­ му. Если начальное искривление оси стержня выполнено по дуге круга радиуса г, то, обозначая радиальные перемещения точек оси бруска при изгибе через и, получим в случае малых значений и урав­ нение

В тех случаях, когда изменения кривизны оси бруска при из­ гибе того же порядка, как и начальная кривизна 1[г, второй член в левой части уравнения (1) мал по сравнению с первым и им можно пренебречь. Мы приходим, таким образом, к известному дифферен­ циальному уравнению для изогнутой оси прямого стержня и можем прогибы слегка искривленного стержня вычислять по формулам, выведенным для прямых стержней. Заключение это справедливо лишь до тех пор, пока изгиб бруска происходит под действием толь­ ко поперечных нагрузок. Влияние продольной силы в случае пря­ мого и в случае слегка искривленного стержня будет различно, и это влияние мы постараемся оценить, пользуясь выражением для искривлений в форме тригонометрического ряда. Этот прием в при­ менении к прямым стержням оказывается весьма удобным 1), он дает возможность установить весьма простые формулы для оценки влияния продольной силы на прогиб и на величину наибольшего момента. Возьмем стержень с опертыми концами и расположим ко-019*

х) См. нашу работу «Применение нормальных координат к исследованию из­ гиба стержней и пластинок». Известия Киевского политехнического института, 1910, год 10, книга 1, стр. 1—49. См. также стр. 326 нашего «Курса сопротивления материалов», Киев, Л. Идзиковский, 1911, 518+V стр.

где F — площадь поперечного сечения; h — расстояние от нейтраль­ ной линии до наиболее удаленного сжатого волокна; i — соответ­ ствующий радиус инерции поперечного сечения стержня.

Если принять начальное искривление по синусоиде

Ух = Ьхsin - у , то yt = Y = & bi sin — .

Введя обозначения h : i=k и bt : i=ku напишем формулу для максимальных сжимающих напряжений так:

На практике k не более трех, и если положить Ь1=0,001/, то при отношении ///= 100 найдем

На основании этой формулы легко показать, что при прогибах, не превосходящих 0,001/, расчет стержня на продольный изгиб всегда обеспечивает достаточный запас прочности. Вопрос этот был подробно разобран Ф. С. Ясинским *) в предположении началь­ ного искривления по дуге круга.

§ 2. Продольные силы неизвестны

Рассмотрим теперь тот случай изгиба слегка искривленного стержня, когда продольные силы не заданы, а являются следствием того обстоятельства, что при изгибе концы стержня не могут сво­ бодно сближаться. В зависимости от начальных искривлений про­ дольные силы могут быть растягивающими или сжимающими, влия­ ние их на изгиб может быть значительно большим, чем в случае стержней с прямой осью. В качестве примера рассмотрим изгиб стержня с опертыми несближающимися концами под действием равномерно распределенной нагрузки q.

Начальное искривление возьмем по синусоиде

ух = Ьхsin -j-.

На основании формулы (7) прогиб стержня представится так:

л= 1 , з . Б, ...

1)Я с н н с к и й Ф. С. Собрание сочинений. Том 1. Сборник института ин­ женеров путей сообщения, вып. 56, С.-Петербург, тип. Ю. Н. Эрлих, 1902, 320 стр. См. стр. 241.