книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf5 4. С Ф Е Р И Ч Е С К А Я О Б О Л О Ч К А П Р И Д Е Й С Т В И И К О Н Т У Р Н Ы Х У С И Л И Й 301
Отношение максимальных |
напряжений от изгиба к напряже |
|||||
ниям от сжатия равно |
|
|
|
|
||
VS (1 + о ) (2 + а ) |
... 1 - c o s |
6 б |
(1 + а ) (2 + а ) |
cos 0• 2 cos4 |
£ |
|
2 |
1 _ о * |
coso.ay sinj,0 |
2 а |
1 — а а |
2 ' |
|
Наибольшее значение это отношение получает в вершине оболоч ки при 0=0. Здесь оно равно (при а=0,3)
6 (l+g)(2+q) |
3,28 А . |
||
а |
1 — а* |
||
|
|||
При малых толщинах напряжения изгиба малы по сравнению с напряжениями сжатия и растяжения. Ими можно пренебрегать или ограничиваться при их вычислении первым приближением.
Если бы мы для рассматриваемого случая пожелали найти даль нейшие приближения и вставили найденные значения Gu G, в урав нения (4),- то для Ти Т %получились бы величины, отличающиеся от ранее найденных (3) членами порядка б*/а2.
Практический вывод получается такой. В случае подвижно опер той сферической оболочки, находящейся под действием собственного веса, можно с достаточной точностью определить напряжения, пренебрегая изгибом оболочки и вычисляя лишь напряжения от уси лий 7\, 7\.
§ 4. О напряжениях, возникающих в сферической оболочке при действии усилий, приложенных по круговому опорному контуру
На практике обыкновенно мы имеем случай, когда край оболочки не может перемещаться в направлении, перпендикулярном опорно му контуру, и не может поворачиваться относительно касательных к этому контуру. И в куполах, и в днищах резервуаров мы имеем дело с заделанным краем.
Для решения вопроса о напряжениях при таком закреплении по опорному контуру поступим следующим образом. Отбросим пред варительно закрепления, стесняющие свободу заделанного края, и приведем таким образом задачу к рассмотренному выше случаю под вижно опертой оболочки. Для этого случая найдем напряжения и перемещения по опорному контуру.
Когда эта часть задачи будет выполнена, нам нужно будет ре шить такой вопрос: какие усилия N, Тх и моменты 6Хдолжны быть приложены по контуру, чтобы сместившийся опорный край оболоч ки поставить в условия заделки.
Вопрос о напряжениях и деформациях, возникающих в сфери ческой оболочке при действии усилий, приложенных по опорному
§4. СФЕРИЧЕВКАЯ ОБОЛОЧКА ПРИ ДЕЙСТВИИ КОНТУРНЫХ УСИЛИЙ 303
Если теперь мы на основании уравнений (12) и (13) выразим т через N и вставим это выражение в (15), то и получим искомое урав нение, заключающее лишь одну неизвестную N.
На основании первой из формул (И) получаем
am= ctgej — - § + (<?!—<?„) ctg0j. |
(16) |
|||
Удлинения |
и ег легко могут быть выражены через 7\ |
и Т %. |
||
В самом деле, формулы (9) дают нам |
|
|
||
е1— |
(Г i ог7’*) |
и ег~ |
(^2 аТ]), |
|
или, принимая во внимание (12) |
и (13), |
|
|
|
e* = w(~3S
Выражение (16) перепишется так:
ат *8 0 = ТЕ [ ~ Я ? + а Ш ct8 е> -
- ( 1 + 0) ^ ctg е + ( 1 + 0) ctg* B N ] . (16')
Теперь остается полученное для т выражение вставить в урав нение (15), и мы приходим к уравнению четвертого порядка
sin* 0 -f 2 sin* 0 cos 0 ^ —sin* 0 (3—sin* 0) |
+ |
+ sin 0 (3 cos 0 -f 2 cos 0 sin* 0) |
AM |
— |
_ t f [ 3 - ( l - o * ) s i n ‘ 0(* + i J £ ) ] = O t (17)
заключающему одну неизвестную N. Если N будет найдено, то остальные величины, представляющие интерес при расчете обо лочек, легко могут быть получены на основании ранее найденных формул. В самом деле на основании (12) и (13)
Т 1= N ctg О, |
Т —— |
|
1 *— <ю • |
§5. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР |
307 |
Из этих двух условий найдутся произвольные постоянные Ai и A t общего интеграла (23).
Возьмем для рассчитываемой оболочки такие размеры: а=4,8 м, 0О=18°13', 6=1,2 см\ кроме того, положим сг=0,3, Е —2- 10е кг/см2, <7=9 кг[см2, тогда 36,4. Значения N и его производных на конту ре представятся такими формулами:
ье,
N = eY 2 (—0,Б73Л, +1,695л,), ье,
^ |
= е Гй (—57,5Л, + 26,3Л2), |
|
ье, |
S |
(__2070Лх—832Ла). |
Вставляя это в уравнения (26), получим |
|
Л1=0,00327, Л ,= —0,00954. |
|
Момент Gi определится по формуле (18). На контуре он будет равен
|
ье, |
(G1)e=e |
6геV I |
49 000Л,. |
|
1 2 |
а ( 1 — а) |
Соответствующие этому изгибающему моменту максимальные напряжения равны
(Pl)max = ^ « 2500 кг/см*.
Напряжения эти должны быть присоединены к напряжениям растяжения, определяемым по формуле (24) и равным в нашем слу чае 1800 кг/см2. Полученные таким образом значения наибольших напряжений превосходят предел упругости железа и обыкновенной стали. Следовательно, по закрепленному контуру оболочки должны получиться остающиеся деформации, и действительное распреде ление напряжений будет отличаться от найденного нами в предпо ложении абсолютно заданного контура.
Напряжения, обусловленные усилиями N и моментами Glt при ложенными по контуру оболочки, имеют характер местных напря жений. Из общего решения (23) для N видно, что эти усилия изме няются по закону быстро затухающих колебаний, полный период
которых соответствует углу 2л Y 2jb. Чем меньше толщина оболочки по сравнению с радиусом и чем больше угол 0О, тем быстрее затуха ют колебания, тем на меньшей части оболочки сказывается влияние усилий, действующих по закрепленному контуру,— результат, ана логичный тому, который получается при рассмотрении изгиба
3 0 8 |
К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК |
цилиндрической оболочки силами и парами сил, равномерно распре деленными по круговому поперечному сечецию *).
При увеличении толщины оболочки величина Ь убывает и может оказаться, что первое приближение, которым мы ограничивались в предыдущем примере, будет недостаточно точным. Тогда следующее приближение мы можем получить таким путем. Вместо частного ин теграла уравнения (21) М=ех‘в (где — корень соответствующего характеристического уравнения А,*+Ь*=0) возьмем в качестве вто рого приближения для интеграла уравнения (20) выражение
Л*= е ¥ [ 1 + 1 / ( 0)]. |
(27) |
Здесь /(0) — неизвестная пока функция, которую мы определим таким путем. Вставим выражение (27) в уравнение (20), тогда члены, включающие множители Ь* и Ьа, взаимно сокращаются. Множите-
|
4Х/ |
|
лем у Ьг будет выражение -ф Г (в) + а2Подберем /(0) так, чтобы |
||
это выражение обращалось в нуль, тогда |
|
|
/ <">— |
i ( T |
d « e + 4 e ) |
" = ‘ v [ ‘ - i ( 4 d s e + 4 |
e ) ] - |
|
Комбинируя полученные таким путем частные интегралы, най дем для N второе приближение в такой форме:
ьв
ы = А ' Т т [ c“ 7 T - T c° sw ( 4 c t |! e + T e ) -
86 s i " ( 4 r t g9 + f о) ] +
ьв
У * г . |
60 |
|
|
sin- |
86 |
|
r ( 4 ct* e + 4 е ) + |
|
’a s i n r |
||
|
+ |
V 2 |
cos7 r(^ ctg0 +4 0)] |
|
86 |
||
|
|
||
*) Задача эта имеет большое практическое значение в связи с расчетом цилинд рических резервуаров. Изящное решение этой задачи при помощи метода Ритца имеется в интересной работе: Р б s с h 1 Th. Ober die Berechnung der Spannungsverteilung in zylindrischen Behalterwanden mit veranderlichen Querschnift. Armierter Beton, 1912, Bd. 5, Heft 5, SS. 169— 175; Heft 6 ,SS. 210—217.См.такжеР o s c h 1 Th., T e г z a g i K- Berechnung von Behaltern nach neueren analytischen und graphischen Methoden. Berlin, J. Springer, 1913, 80 S. CM. SS. 6—7.
$ 5. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР |
309 |
Значение произвольных постоянных определится на основании прежних условий на контуре, но решение уравнений (26) становит ся более сложным и требует большого количества арифметических вычислений.
В тех случаях, когда толщина оболочки значительна и намечен ный выше способ решения потребовал бы разыскания дальнейших приближений, что сопряжено с большим количеством арифметиче ских вычислений, можно для решения задачи воспользоваться вы числительной методой, применяемой при расчете турбинных дис ков 1).
Если в рассмотренном нами численном примере изменить на правление давлений q на противоположное, то изменится и знак на пряжений. В случае такой оболочки, работающей на сжатие, осо бое практическое значение имеет вопрос устойчивости. Опыты®) показывают, что при переходе давлений за известный предел сфе рическая форма оболочки перестает быть устойчивой — появляются на оболочке впадины, которые быстро возрастают с возрастанием давления. Теоретического решения задачи об устойчивости сжатой сферической оболочки до сих пор не имеется.41*
1) См. нашу статью «Вопросы прочности в паровых турбинах», Вестннк обще ства технологов, 1912, том 19, № 7, стр. 266—279. Применение вычислительной методы к некоторым численным примерам имеется в работе Г. Келлера: K e l l e r Н. Berechnung gewolbter Platten. Mitteilungen iiber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1912, Heft 124, SS. 33—82. В самое последнее время появилась работа: M e i s s n e r Е. Das Elastizitatsproblem fur diinne Schalen von Ringflachen-, KugelOder Kegelform. Physikalische Zeitschrift, 1913, Jahrgang 14, № 8, SS. 343—349. Автору этой работы'удалось привести решение задачи к двум дифференциальным уравнениям второго порядка, интегрирующимся при помощи
гипергеометрических рядов. |
kugelformiger Wandungen gegenfiber |
*) В а с h С. Die Widerstandsfahigkeit |
|
ausserem Oberdruck. Zeitschrift des Vereines |
deutscher Ingenieure, 1902, Bd. 46, |
№ 10, SS. 333—341. |
|
О ВЛИЯНИИ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ НА ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ С ОПЕРТЫМИ КРАЯМИ, ПОДВЕРГАЮЩЕЙСЯ ДЕЙСТВИЮ РАСТЯЖЕНИЯ ИЛИ СЖАТИЯ
Сборник Института инженеров путей |
сообщения, Петроград, 1915, вып. 89, |
стр. 1—4. Отдельный оттиск, Петроград, |
1914, 4 стр. |
Предположим, что начальное искривление прямоугольной пла стинки (рис. 1) задано выражением
w,
Под действием равномерно распределенных усилий интенсив ности / \ и Ра пластинка получит дополнительный прогиб, который мы в дальнейшем будем обозначать через Полный прогиб, рав ный ш0+Шх, обозначим через w. В таком случае дифференциальное уравнение для определения wt на
пишется так:
г |
4- о |
d*Wl л . |
\ — |
|
|
° |
V дх* Г ^ |
ду2 _г |
ду* ) ~ |
|
|
|
|
д2ш |
д2ш |
|
(О |
|
— |
■Р, |
• |
||
|
дх2 "И |
* ду2 |
|
||
Представим интеграл этого уравне
ния в виде такого |
ряда: |
|
|
||
|
со |
00 |
гплх |
. |
ппу |
Щ= |
V |
л » |
|||
|
2 * АтпSin — |
Sin |
|||
m = 1 n s 1
( 2)
Вставляя это в уравнение (1), получим для каждого из коэффи циентов А'тп уравнение
с а ; |
т2п2 , п2я 2 |
\ 2 |
п2тт2 |
- Р |
, ^ - (л »„ + |
А ^), |
~а2~~т~~Ь2' |
|
= - Р, ^ |
||||
откуда |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А ' |
|
|
|
тп |
( 3) |
|
г, ( т2п2 , я2я 2 \ 2 , п т2п2 , |
п п2п2 |
||||
|
п тп— |
|||||
|
|
L |
+ P l~ a r+ p*~W |
|
||
Таким |
образом, |
по |
известным |
значениям |
Рх и Pt |
могут |