книги / Прочность и колебания элементов конструкций

тогда для функции напряжений получим

ф= _ Р™8*8 ( * . + У1_ А

Эта функция представит распределение напряжений также для случая трубчатого стержня, контур попе­ речного сечения которого образован двумя подобными эллипсами, главные оси кото­ рых совпадают.

Для мембраны с прямоугольным конту­ ром нормальные функции известны и про­ висание мембраны для нашего случая мо­ жет быть представлено в виде двойного ряда Фурье (рис. 2):

Приравнивая приращение этой работы, соответствующее изме­ нению какого-либо коэффициента атп, работе сплошной нагрузки, взятой с обратным знаком, получим для определения атп уравнение

Здесь через а обозначено отношение Ь:а. Таким образом, для функции напряжений получаем выражение

Связь между скручивающим моментом и кручением т найдем из уравнения

т=1, 3, 5, ... л=1, 3, 5,... ш2я2 ( т 2а 2 + я2)

2 7 2 ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

Результат этот может быть представлен в более удобной для вы­ числений форме, если принять во внимание, что а)

Для прямоугольного контура мы можем получить приближенное решение в виде целого полинома, пользуясь для ф приближенным выражением (7'). Чтобы показать, насколько удовлетворительные

4) См. стр. 8 нашей работы «Применение нормальных координат к иссле­ дованию изгиба стержней и пластинок». Известия Киевского политехнического института, 1910, отдел ииж.-механический, год 10, книга 1, стр. 1—49.

а) См. стр. 177 русского перевода из ссылки 2), приведенной на стр. 264.

результаты дает приближенная метода, приводим здесь вычисле­ ния для квадратного сечения со стороной 2а.

Ограничиваясь первым членом в выражении (7'), мы в качестве первого приближения положим

1|з0= а00(х2—а2)(у*—а?).

Вставляя это в выражение (5), найдем из уравнения

Сравнение с результатом (8) показывает, что первое приближе­ ние дает величину М с точностью до 17*%.

Принимая во внимание условия симметрии, мы в качестве вто­ рого приближения можем положить

Ч>,= (х*-а*) {у2—а2) К ,, + а02 (х2+ у*)].

Вставляя это в выражение (5) и определяя а00 и Оо* из уравнений

Второе приближение дает при определении скручивающего мо­ мента погрешность, меньшую 1/5%.

В величине напряжений наше приближенное решение, как и следовало ожидать, дает значительно меньшую точность. Например, погрешность в величине наибольших напряжений для полученного выше второго приближения достигает 4%.

Равносторонний треугольник. Воспользуемся для общим вы­ ражением (7я). Уравнение контура в рассматриваемом случае будет (рис. 3)

(* /+ -- р ~ )(3 * + 1/К 3— а) (—3x + y V 3 —a) = 0,

Здесь ф — функция от х и у и / — неопределенная пока функция одного у.

Чтобы взятые нами выражения (9) представляли систему напря­ жений, возможных в упругом теле, необходимо удовлетворить диф­ ференциальным зависимостям (3). Последние два из уравнений (3) дают для определения ф такие условия:

Отсюда получаем для ф уравнение

Если контур поперечного сечения таков, что правую часть урав­ нения удается надлежащим выбором функции f(y) обратить в нуль, то задача об определении касательных напряжений при изгибе све­ дется к нахождению провисания мембраны, натянутой на плоский контур и нагруженной сплошной нагрузкой, определяемой правой частью уравнения (10).

Легко показать, что получаемое при этом решение соответству­ ет условию задачи. Касательные напряжения по плоскости попе­ речного сечения приводятся к одной вертикальной силе W. В самом деле,

^ Y z dxdy = - ^ ^ d x d y = 0,

так как на контуре ф в рассматриваемом случае постоянно и

i f ( » ) i = [ ™ ] .

Чтобы сила W проходила через центр тяжести сечения, момент касательных усилий относительно оси г должен обратиться в нуль:

Mz = ^ ( X zy - Y zx)dxdy = 0.

Этого мы можем достигнуть надлежащим выбором постоянного члена в правой части уравнения (10).

Заметим, что напряжения, соответствующие этому члену, суть те напряжения, с которыми мы имели дело при рассмотрении кру­ чения призм. В сечениях, симметричных относительно оси х, этих напряжений при изгибе не должно быть, и потому постоянную урав­ нения (10) придется приравнивать нулю.

Втех случаях, когда правая часть уравнения (11) не обращается

внуль и функция ф на контуре не постоянна, мы все же можем при­ вести задачу к нахождению провисания мембраны, натянутой на плоский контур, если только граничные значения ф можно пред­ ставить себе как значения некоторой функции <р(х, у), обладающей тем свойством, что как функция <р(х,у),так и ее первые производ­

ные конечны и непрерывны по всему сечению, и величина Л2ф оста­ ется конечной в той же области.

Тогда вместо функции ф мы будем искать функцию

0 = ф—ф.

Эта новая функция будет удовлетворять уравнению

и на контуре она будет обращаться в нуль.

Если ф(х, у) найдено, задача, как мы видим, приводится к разыс­ канию провисания натянутой мембраны под действием сплошной нагрузки.

Вместо выражений (9) для напряжений X z и Y г можно взять бо­

2 7 8 ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

откуда получаем на контуре

Вместо ф будем искать другую функцию

Эта функция на контуре обращается в нуль, и мы ее найдем тем же приемом, как и в предыдущем случае.

От полученного решения для круглого стержня легко перейти к стержню, сечение которого имеет форму полукруга. В самом деле, в точках вертикального диаметра кругового поперечного сечения напряжения Y z обращаются в нуль, следовательно, по вертикаль­ ной плоскости XZ, разделяющей круглый стержень пополам, ни­ каких напряжений нет, каждая половина стержня работает самосто­ ятельно, и касательные напряжения, приходящиеся на поперечное сечение одной половины, приводятся к силе W/2, но сила эта, как легко показать, не будет проходить через центр тяжести полукруг­ лого поперечного сечения.

Следовательно, каждая половина стержня испытывает кроме изгиба еще и кручение, причем величина скручивающего момента такова, что он удерживает от поворачивания вертикальный диаметр полукруглого поперечного сечения. Имея выражения для касатель­ ных напряжений в случае изгиба круглого стержня и в случае кручения стержня полукруглого сечения, получаем вычитанием распределение касательных напряжений при изгибе стержня полу­ круглого сечения, у которого диаметр полукруга параллелен на­ правлению силы.

Эллиптическое сечение. Уравнение контура в данном случае будет

Напряжения выражаем через ф и f(y) согласно формулам (9). Чтобы обратить в нуль правую часть уравнения (11), положим

а2у2 f( y )= Tr I й’ b2

Разыскание ф сводится к интегрированию дифференциального уравнения

при том условии, чтоф=0 на контуре сечения. Как и в случае круга, мы здесь сразу получаем точное решение, полагая

Ф = а01 [х2 + ^ у 2— аЛу.

На контуре ф=0.

Задача сводится к разысканию провисания мембраны, натяну­ той на прямоугольный контур и изгибаемой сплошной нагрузкой,

-а -Ь

и значения отдельных коэффициентов определятся из уравнений

а2и+1,л6агя>+1, пл2ай [(2w4^-1)2- + ^ ] =

= \ 1 г Л Ьагт+1' п I 1 C0S (^ Ч а1)ЯД:8!п^ y d x d y ,

—а —6