книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf§ 2. ПРОДОЛЬНЫЕ СИЛЫ НЕИЗВЕСТНЫ |
291 |
силы 5 и максимальных напряжений для железного стержня дли ной /=100 см, квадратного поперечного сечения l x 1 сма.
Вычисления произведены для прямого стержня и для стержней, изогнутых по синусоиде с начальным прогибом Ьи равным 1,2 и 3 см.
Нагрузка q на погонный сантиметр менялась в пределах от 0,1 кг до 2 кг, Е = 2 -106 кг/смг и Ь=0,3.
Из этой таблицы ясно видно, как начальное искривление влияет на обстоятельства изгиба. Благодаря этому искривлению убывают и величина продольной силы и величина напряжений от изгиба. При начальном прогибе /^= 3 см роль изгиба ничтожна, и мы мо жем найти продольную силу, рассчитывая стержень как гибкую
нить.
Приведенных примеров достаточно, чтобы показать, насколько просто решается вопрос об изгибе слегка искривленного стержня при помощи общего решения (7).
В тех случаях, когда все нагрузки, действующие на стержень, имеют одно и то же направление и начальная искривленная ось не имеет точек перегиба, формула (8) может служить для приближен ного определения продольной силы, возникающей при изгибе в том случае, когда концы изгибаемого стержня не могут сближаться.
К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Вестник общества технологов, 1913, том 20, № 17, стр. 549—557. Отдельный оттиск, С.-Петербург, 1914, 25 стр.
§ 1. Постановка задачи
Задача о расчете тонких оболочек, срединная поверхность кото рых представляет собой часть сферы, встречается при решении це лого ряда практически важных вопросов. С ней мы имеем дело при расчете днищ котлов и различного рода резервуаров, при расчете непроницаемых переборок в паровых турбинах, при расчете куполь ных сводов и т. д. Несмотря на всю практическую важность этой за дачи, полного решения до сих пор не существует. Имеются работы, относящиеся главным образом к двум крайним сравнительно просто решаемым случаям, а именно:
1) Исследован вопрос о напряжениях в том случае, когда на пряжениями от изгиба оболочки можно пренебречь по сравнению е напряжениями от растяжения и сжатия срединной поверхности. Этим решением пользуются обычно при расчете тонких днищ резер вуаров.
2) Второй крайний случай получается, когда преобладающую роль играют напряжения изгиба и по сравнению с ними можно пре небречь напряжениями, соответствующими растяжению и сжатию срединной поверхности. С подобными задачами мы встречаемся главным образом в акустике при исследовании вибраций тонких сферических оболочек.
В строительной механике большой интерес представляет первый предельный случай. Более подробные исследования 1) показывают, что в случае тонких сферических оболочек, подвижно опирающихся2) на круговой контур и нагруженных сплошной нагрузкой, симмет рично распределенной относительно диаметра сферы, перпендику лярного плоскости опорного контура, напряжения от изгиба незна чительны и могут быть определены с любой степенью точности пу тем последовательных приближений. Если край оболочки по кон-
x) R e i s s n e r Н. Spannungen in Kugelschalen (Kuppeln). Festschrift Hein rich Muller—Breslau gewiamet nach Vollendung seines sechzigsten Lebensjahres, Leipzig, A. Kroner, 1912, SS. 181—193.
2) Мы предполагаем, что при таком способе закрепления опертый край может свободно поворачиваться относительно касательных к опорному контуру и сво бодно перемещаться в направлении, нормальном к срединной поверхности обо лочки.
$ 2 . С И М М Е Т РИ Ч Н О Н А Г Р У Ж Е Н Н А Я С Ф Е Р И Ч Е С К А Я О Б О Л О Ч К А |
2 9 3 |
туру заделан, то при деформации у контура возникают значитель ные напряжения от изгиба. Напряжения эти, как показал О. Блюменталь х), могут быть определены при помощи асимптотического интегрирования.
В настоящей статье мы: 1) приводим решение задачи для того случая, когда изгибом можно пренебречь; 2) даем элементарный вы вод основного дифференциального уравнения, к которому сводится задача при определении напряжений от изгиба у опорного контура, и 3) при помощи асимптотического решения определяем эти напря жения изгиба. Оказывается, что при сравнительно тонких оболоч ках асимптотическое решение без всяких затруднений может быть применено к расчетам. Для сделанного численного примера напря жения изгиба превосходят напряжения, соответствующие растяже нию срединной поверхности. Напряжения изгиба быстро падают по мере удаления от закрепленного контура.
§ 2. О напряжениях в симметрично нагруженной сферической оболочке, не сопротивляющейся изгибу
Пусть рис. 1 представляет меридиональное сечение рассчитывае мой сферической оболочки постоянной толщины. Двумя конически ми поверхностями, соответствую
щими углам 0 и 0+d0, и двумя ме ридиональными сечениями, накло ненными под углом dcp друг к дру гу, выделяем заштрихованный на рисунке элемент оболочки. В слу чае нагрузки, симметричной отно сительно вертикального диаметра 00, по боковым граням выделен ного элемента будут действовать лишь нормальные напряжения. Обозначим через Т г растягивающее усилие в оболочке, отнесенное к единице длины меридионального сечения срединной поверхности (усилие это стремится разорвать оболочку по меридиональному се
чению), через 7\ обозначим отнесенное к единице длины растяги вающее усилие, стремящееся разорвать оболочку по параллельно му кругу. По верхней и нижней поверхности выделенного элемен та могут действовать приложенные к оболочке силы.82*
^ B l u m e n t h a l О. Ober asymptotische Integration von Differentialgleichungen mit Anwendung auf die Berechnung von Spannungen in Kugelschalen. Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 22— 28 August 1912, Cambridge, UnNerslty press, 1913, vol. II, pp. 319—327.
2 9 4 К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Силы эти разложим на две составляющие в направлении ради альном и в направлении касательной к меридиану. Обозначим через Р и Q величины этих составляющих, отнесенные к единице поверх ности оболочки. В случае симметричной нагрузки Ти Т г, Р и Q будут функциями только угла 0.
Для определения неизвестных функций ^ и Г, составим два уравнения статики, проектируя все приложенные к выделенному элементу силы на направление радиуса и касательной к меридиану. Если через а обозначим радиус сферы и через б — толщину оболоч ки, то уравнения равновесия напишутся так:
Ра* sin QdQdff—Тха sin 0 dq> d0—T^a d0 sin 0 d<p = 0,
Qa* sin 0d0d<p+ ^ (7 ^ 0 sin 0d<p) d0—T ja cos0d0d<p = 0.
После сокращений получим |
|
|
|
- ( 7 ’1 + 7 2) + |
7a = 0, |
| |
|
Qa+ ‘S L+ ^ — 7'*) c t g 0 = o - |
j |
(I) |
|
Исключая из этих уравнений T t, |
получим для |
7\ уравнение |
|
^+ 2Т хctg0 = a (7 c tg 0 — Q).
Общий интеграл этого уравнения первого порядка получим спо собом изменения произвольной постоянной в таком виде:
Тг = - ^ £с + J Psin0cos0d0—J Q sin*0 d0 |
(2) |
В качестве частного примера рассмотрим случай действия на сфе рическую оболочку собственного веса. Если через у обозначим вес единицы объема оболочки, то
|
Р —— y6cos0 |
и |
Q = y6sin0 . |
Вставляя это в общий интеграл (2), найдем |
|||
|
|
+ |
cos0]- |
Произвольную постоянную |
С нужно подобрать таким образом, |
||
чтобы 7\ оставалось конечным при 0=0. |
|||
Этому |
условию мы удовлетворим, |
полагая С = —уб, тогда |
|
= |
Т я = Ра |
Т 1~ |
ayt> ( co s 6 - i = ^ - 9).(3 ) |
В нижеследующей таблице приведены значения скобок, входя щих в выражения для 7\ и Т„ при различных значениях угла 0,
§3. ИЗГИБ ОПЕРТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ |
295 |
Т а б л и ц а
В вершине оболочки усилия 7\, Та — сжимающие и равны по величине —ау6/2 (см. § 3). С возрастанием 0 усилие Т х возрастает, а усилие Т г сначала убывает по абсолютному значению, дальше переходит через нулевое значение и обращается в растягивающее усилие.
§ 3. Напряжения от изгиба в сферической оболочке, подвижно опирающейся на круговой контур
Примем теперь во внимание и изгиб сферической оболочки. В та ком случае к прежним силам, действующим на выделенный эле мент (рис. 1), придется присоединить перерезывающую силу N и из
гибающие моменты G, и Ga |
|
|
|||
(рис. 2). Силы и моменты |
|
|
|||
отнесены к |
единице длины |
|
|
||
соответствующего |
сечения |
|
|
||
срединной |
поверхности. |
|
|
||
Для определения |
сил Г ь |
|
|
||
Тг, N и моментов Gb Ga |
|
|
|||
мы можем |
составить |
три |
|
|
|
уравнения |
равновесия вы |
|
|
||
деленного |
элемента. |
Про |
|
|
|
ектируя все силы на на |
|
|
|||
правление |
радиуса и каса |
нулю момент всех приложен |
|||
тельной к меридиану |
и приравнивая |
||||
ных к элементу сил, мы получим три |
таких уравнения: |
|
|||
|
^ |
+ N c tg Q - (T 1+ T i) + Pa = 0, |
|
||
|
^ |
+ {ТХ- Т г) ctge + Ar + Qa = 0, |
(4) |
||
|
|
|
(Gi.—G,) ctg 0 —Na = 0 . |
|
|
Этих уравнений недостаточно для определения неизвестных вели чин Ти . . ., Ga, и мы должны к уравнениям статики присоединить
296 К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
уравнения, устанавливаемые на основании зависимости между уси лиями и перемещениями точек сферической оболочки при деформа ции.
Обозначим через w перемещения точек оболочки по радиусу, в направлении увеличения радиуса, и через и перемещения по каса тельной к меридиану, в направлении увеличения угла 0.
Через эти перемещения легко выразить относительное удлине ние ег дуги меридиана и удлинение е%дуги параллельного круга срединной поверхности оболочки. Начнем с определения е2.
Благодаря перемещениям w и и радиус параллельного круга, со ответствующий углу 0, возрастет на величину и cos 0+а» sin 0, и так как первоначальное значение этого радиуса равно a sin 0, то относи тельное удлинение радиуса, а следовательно, и дуги параллельного круга равно
и cos 0 + w sin 0 |
w |
4-4 ctg 0. |
(5) |
a sin 0 |
|
Что касается удлинения elt то оно обусловлено двумя причина ми: радиальным перемещением w и перемещениями и. Относитель ное удлинение, соответствующее радиальному перемещению, равно w/a, так как в этом именно отношении возрастает радиус дуги ме ридионального сечения. Выясним теперь величину относительного
удлинения, |
обусловленного касательными |
перемещениями. |
Если |
|
и — перемещение, соответствующее углу |
0, то для |
угла |
0+d0 |
|
будем иметь |
перемещение u + ^d Q . Разность этих |
перемещений |
||
представит собой приращение длины элемента в направлении каса тельной к меридиану, и соответствующее относительное удлинение будет равно
1 4и
add |
|
a dQ ’ |
|
||
окончательно |
|
|
|
|
|
_ |
w . |
1 |
du |
|
(6) |
1 |
а ' |
a |
dQ |
' |
|
В дальнейшем нам придется кроме сил определять еще и изги бающие моменты, величины которых зависят от изменений кривиз ны деформируемой оболочки. Выразим эти изменения кривизны через перемещения и nw .Ro деформации кривизна всякого нормаль ного сечения срединной поверхности оболочки равнялась 1/а. После деформации срединная поверхность обратится в некоторую поверхность вращения. Одна из главных кривизн этой поверхности будет соответствовать кривизне меридионального сечения, представ