Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4649 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Лекции по антеннам

.pdf
Скачиваний:
2011
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
2.83 Mб
Скачать
☆
E S ( a)

91

Поле и ДН симметричного вибратора

Для нахождения поля и ДН симметрического вибратора необходимо в начале найти распределение тока на вибраторе. В этом состоит внутренняя задача теории вибратора. Строгое решение этой задачи было получено для достаточно тонкого провода шведским ученым Галленом и советскими учеными М. А. Леонтовичем и М. Л. Левиным. Идея решенная состоит в следующем. Поле, созданное вибратором, записывают через неизвестный пока ток в вибраторе. При этом искомая функция распределения тока оказывается под знаком интеграла. Так как провод предполагается идеально проводящим, то 0 ( 2a -диаметр цилиндрического проводника).

Полученное при этом интегральное уравнение разрешается относительно функции тока.

Постановка задачи (интегральное уравнение Галлена для вибратора).

Рассмотрим тонкий вибратор а l, с учетом осевой симметрии

вибратора допустимы следующие предположения:

1. Поверхностные электрические токи J ЭZ и эквивалентные магнитные токи заменяются расположенной на оси вибратора бесконечно

тонкой нитью продольного электрического тока IZ (Z) 2aJЭZ (z) . Этот ток считается непрерывной функцией в области возбуждающего зазора и обращается в нуль на концах вибратора т.е.

IZ (l) IZ ( l) 0

(8.1)

Торцевыми токами I Э пренебрегаем.

2.Еz ( z) , создаваемая током I z (z) на боковой поверхности

воображаемого идеального проводника (вибратора), охватывающего нить

92

тока ( а) равна нулю

всюду, за исключением области

возбуждающего

зазора шириной b .

 

 

 

 

 

 

3.

Еz ( z)

 

z b

 

, b

 

EB ( z)

- возбуждающая

функция. При

 

 

 

 

 

2

2

 

 

b l, функция постоянна,

EB (z) const . Конкретный вид EB (Z ) задается из

физических соображений с учетом индивидуальных особенностей области возбуждения вибратора.

Неизвестное распределение тока I Z (Z ) создает на воображаемой боковой поверхности вибратора векторный потенциал АZ , который связан с касательной компонентой вектора напряженности электрического поля

 

 

 

1

(k 2 A

d 2 A

E

Z

 

 

z

)

 

 

 

 

j

z

dz 2

 

 

 

 

Здесь k - волновое число среды, окружающей вибратор;

диэлектрическая проницаемость.

Согласно (8.2):

d 2 Az

 

 

 

0при

 

z

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

2

k

 

Az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

j EB (z)при

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(8.2)

- абсолютная

(8.3)

Соотношение (8.3) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка для векторного потенциала на боковой поверхности вибратора. Его решение в общем виде есть ∑ общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

C

 

 

 

 

j

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Az

(z)

e

jkz

 

 

e

jkz

 

e

jkz

 

EB

(z )e

jkz

dz

 

e

jkz

 

EB

(z )e

jkz

dz

 

(8.4)

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

2 jk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

93

 

 

 

 

 

b

 

b

Полное выражение (8.4) справедливо в области Z

 

,

 

.

 

 

 

2

 

2

Для области Z b2 в правой части (8.4) автоматически выпадает

последний, а в области Z b2 предпоследний интеграл. В этом можно убедится, если подставить (4) в (3).

Величина А(z) в левой части (8.4) выражается через неизвестную

функцию распределения тока в виде

 

 

Az z

 

1

l

 

 

e jkr

 

 

 

 

 

 

 

 

I z

(z )

 

 

dz

 

 

 

(8.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 z l

 

2

 

 

 

 

 

где r

2

a

2

-

расстояние

между

точкой

расположения

(z z )

 

источника и точкой наблюдения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

(8.5)

в (8.4)

и

учитывая,

что

 

 

1

,

получаем т.н,

k

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегральное уравнение Галлена для неизвестной функции распределения тока I z (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

2

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

I

 

(z )K (z z )dz C e jkz C

e jkz

e jkz

 

E

 

(z )e jkz dz

e jkz

 

E

 

(z )e jkz dz

(8.6)

z

z

B

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z l

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e jk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( z z )2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К (z z )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z z )2 a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется ядром этого уравнения, С1

и С2 определяются из граничных

условий (8.1). Если b ,

то EB (z) const и определенные интегралы в (8.6)

легко вычисляются с помощью приближенной замены экспоненциальных функций под интегралами на единицу:

94

 

b

 

 

2

 

 

 

 

EB e jkz dz EB b при

b .

z

b

 

 

 

 

2

 

 

Если предположить, что вибратор возбуждается идеальным генератором напряжения с нулевым внутренним сопротивлением и величиной ЭДС Э, то согласно закона Кирхгофа о сумме падений напряжений в любом замкнутом контуре электрической цепи, получаем

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EBb Э

 

 

 

 

 

 

(8.9)

С учетом (9) уравнение Галлена(6) принимает вид

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

jkz

 

jkz

 

2 Э

 

jkz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I z (z )K (z z )dz

 

C1e

 

C2e

 

 

 

e

 

,

(8.10)

 

 

 

z

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где в последней экспоненте ―-― относится к области z b2 , ―+‖ – к

области z b

2

С физической точки зрения правая часть (8.10) может рассматриваться как наложение трех бегущих волн векторного потенциала (умноженного на

4 ) вдоль боковой поверхности вибратора.

Одна из волн с амплитудным множителем

2 Э

порождается

 

 

z

 

генератором Э (с ЭДС) и разбегается в обе стороны от возбуждающего зазора.

Волна с амплитудой С1 учитывает отражение от верхнего конца вибратора и бежит в направления уменьшения z. Волна с амплитудой С2 учитывает отражение от нижнего конца вибратора и бежит в сторону возрастания z.

Правая часть (8.10) может быть преобразована к более удобному виду путем замены экспоненты на тригонометрические функции

95

 

 

jkz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Э e

 

z 0

 

2 Э

(coskz j sin k

 

 

(8.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

)

 

 

 

 

z e jkz

z 0

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда разлагая экспоненциальные функции с амплитудами С1 и С2 по формулам Эйлера и вводя новые произвольные постоянные С3 и С4 ,

получаем следующую наиболее распространенную форму записи уравнения Галлена

l

 

 

 

 

2 Э

 

 

 

I z (z )K (z z )dz

 

C3 coskz C4 sin kz j

 

sin k

z

(8.12)

 

z

l

 

 

 

 

 

 

 

где в член С3 cos kz включено также и первое слагаемое из правой части

(8.11). Т.к. для симметричного вибратора

I z (z) I z ( z) и Az (z) Az ( z) , то из (12) следует, что C4 0 и (8.12) принимает вид

 

 

 

2

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

I z (z)K (z z )dz

 

C coskz j

 

sin k

z

(8.13)

 

z

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Строгое решение интегрального уравнения Галлена в аналитическом виде неизвестно, потому на практике для инженерных целей чаще всего используется упрощенное решение в, так называемом, первом приближении.

Особенностью ядра (7) интегрального уравнения Галлена является ярко

выраженный резонансный характер в окрестности точки z z (см. рис. 8.1)

 

coskr

 

sin kr

 

 

 

 

 

 

2

 

2

K (z z ) K (

 

j

 

), r

(z z )

a

 

kr

kr

 
.
a 0

96

Благодаря «фильтрующему» действию вещественной части ядра интегрального уравнения величина векторного потенциала нити электрического тока на боковой поверхности вибратора в основном определяется токами,

текущими в близи точки z z и при можно пренебречь влиянием на векторный потенциал всех остальных участков нити тока. Тогда целесообразно интегрирование в (13) провести в пределах от

z z h до z z h , где h - постоянная величина

При этом можно принять

Рис. 8.1

e jk

( z z )2 a2

 

 

 

 

1 , а I z (z)

z z h, z h I z (z)

 

z z

(8.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно

l

 

e

jkr

 

 

z h

 

dz

 

 

 

 

 

 

a

2

h

2

h

 

2h

 

 

 

 

I z (z)

 

 

 

 

 

I z (z) ln

 

 

 

I z (z)2 ln

 

I z (z )

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.15)

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

2

a

2

 

 

 

2

h

2

h

l

 

 

 

 

z h

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z z )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь, как обычно r (z z )2 a2

Из (8.15) следует, что при a 0 выражение (8.15) и равенство (8.15)

становится все более точным, поскольку отбрасываемая часть интеграла имеет при этом конечную величину

Уравнение (8.12) можно записать

 

 

(z) Q C

coskz C

 

sin kz j

2 Э

 

(8.16)

I

z

4

sin k

z

 

 

3

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97

Используя граничные условия для тока на концах вибратора

I z ( l2 ) 0 , I z (l1 ) 0 , находим пост C3 и C4 :

С j 4 Э sin kl1 sin kl2

,

3

 

 

 

 

 

z sin k(l1

l2 )

 

 

 

С4 j 2 Э sin k(l1 l2 ) . z sin k(l1 l2 )

Подставляя (8.17) в (8.16), получаем

 

 

 

 

 

 

 

sin(l z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I z (z)

 

b I0

1

,

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

sin kl1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b I0

 

sin(l2 z)

I z (z)

 

 

 

 

 

 

,

z

 

sin kl2

 

 

 

2

 

 

 

 

где I0 j 4 Э sin kl1 sin kl2 - величина тока в точках возбуждения. zQ sin k(l1 l2 )

Для симметричного вибратора распределение тока получается симметричным относительно середины

(8.17)

(8.18)

I z (z) I0

sin k(l

 

z

 

)

(8.19)

 

 

 

 

 

 

 

sin kl

 

 

Кроме тока также представляет интерес распределение заряда вдоль вибратора, например, для оценки предельной величины входной мощности,

вызывающей электрический пробой окружающей среды.

Так как

dI z (z)

j Q(z) 0

,

(8.20)

dz

 

 

 

(здесь Q(z) -заряд приходящий на единицу длины вибратора) то учитывая (8.18), получаем

98

 

 

 

 

Q(z)

 

 

b

Io

 

cosk(l1

z)

,

Кл

 

 

 

 

 

 

 

z

jC

 

 

sin kl1

м

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(z)

 

 

 

 

b

Io

 

 

cosk(l2

z)

, Кл

 

 

 

(8.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jC

 

 

sin kl2

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или для симметрического вибратора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(z)

Io

 

cosk(l

 

z

 

)

 

, Кл м

(8.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jC

 

 

sin kl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

―+‖ относится к

z 0 , ―-― к z 0, C - скорость света в окружающей

вибратор среде, k

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом

 

в тонком

 

вибраторе

 

 

ток

и

заряд

приближенно

распределяются по синусоидальному закону. Если 2l 2 , то этот закон сохраняется при любом распределении сторонней ЭДС.

Так как строгое решение оказывает достаточно сложным, то обычно для нахождения распределения тока используется приближение теории длинных линий. Рассматривая симметричный вибратор как систему одинаково ориентированных диполей Герца и применяя к этой системе правило умножения Диаграмм, имеем для комплексной амплитуды поля вибратора

E E0 fсист ( ) ,

где

 

 

 

60 Iв х

sin e

jkr

,

E0

j

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

а fсист ( )

A(z)e j ( z) kz cos dz .

 

 

 

 

l

 

 

 

(8.23)

(8.24)

sin kl

99

Учитывая, что АФР тока в системе

A(z) A(z)e j ( z) I z (z) sin k(l z )

Iв х

(здесь Iвх I0 -величина тока в точке возбуждения), находим

 

1

0

l

 

fсист ( )

 

sin k(l z)e jkzcos dz sin k(l z)e jk2cos dz

 

 

sin kl l

0

 

После элементарных вычислений получаем (двойное интегрирование по частям)

fсист ( )

2 cos(kl cos ) cos kl

(8.25)

 

 

 

 

k sin kl

 

sin 2

 

 

 

 

Подставляя (8.24) и (8.25) в (8.23), имеем

 

60I п

 

jkr cos(kl cos ) cos kl

 

E

 

e

 

 

(8.26)

r

 

sin

 

 

 

 

так как амплитуда поля

E 1r f ( ,) ,

то отнесенная к пучности тока ДН будет равна

f ( ) 60 cos(kl cos ) cos kl . sin

Найдем нормированную ДН. Как показывает расчет при

(27)

2l 5 max ДН4

соответствует

.

При этом fmax 60(1 cos kl) и нормированная ДН имеет

 

2

 

 

 

 

 

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( )

1 cos(kl cos ) cos kl

(8.28)

 

 

 

 

 

 

 

1 cos kl

 

sin

Для полуволнового вибратора cos kl 0 и

100

 

 

 

 

 

 

 

 

cos( cos )

 

 

 

 

 

 

 

F ( )

2

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(8.29 )

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или при отсчете угла от нормали к оси вибратора

 

 

 

 

 

 

 

 

cos( sin )

 

 

(8.29б)

 

 

 

 

 

F ( )

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0,5

ДН при 2l

:

2

0,5P

78o

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

В таблице приведены характер распределения тока на вибраторе и ДН при разных значениях его длины. Из рассмотрения таблицы следует:

0

2l

1

1

2l

 

5

 

2l

2

2l

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(z)

2

1

(Ө) 2

-eсли 2l ,то ДН имеет один лепесток, который тем уже, чем больше длина вибратора. max ДН лежит в направления перпендикулярно оси вибратора

-при 2l появляются боковые лепестки. Их величина растет с

увеличением длины вибратора однако при 2l 54 главный max направлен все еще перпендикулярно оси вибратора.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности