1.10. Формула Байеса

Поставим теперь следующую задачу. Пусть имеется полная группа несовместных гипотез . Известны их вероятности:

.

Проводится опыт и в результате его осуществляется некоторое событие A, условные вероятности которого известны:

Спрашивается, какие вероятности имеют гипотезы в связи с появлением события. Ответ дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленную на полную вероятность этого события:

(1.21)

Формула (1.21) носит название формулы Байеса.

Доказательство. На основании аксиомы умножения вероятностей имеем:

Решая это уравнение относительно при условии, что, получим:

Выражая с помощью формулы полной вероятности (1.19), получим равенство (1.21).

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события, т.е. по мере получения новой информации, можно проверить ее и скорректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход дает возможность корректировать управленческие решения, оценки неизвестных параметров распределения.

Пример. Батарея из трех орудий произвела залп, причем в цель попали два снаряда. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания орудий в цель соответственно равны 0,4; 0,3; 0,5.

Р е ш е н и е. По условию: Обозначим событие :A – два орудия попали в цель, – первое орудие попало в цель,– первое орудие не попало в цель, тогда

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем один из них из первого орудия, а следовательно, второй либо из второго, либо из третьего орудия.

Эти события несовместны, поэтому применяем теорему сложения:

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах, следовательно, попали в цель второе и третье орудия. Эти два события независимы, поэтому применяем формулу умножения:

По формуле Байеса (1.21):

Вероятность попадания первого орудия равна 20/29.

1.11. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли

Пусть проводится n независимых испытаний в одинаковых условиях. Вероятность появления некоторого события A в одном отдельном испытании равна p, т.е. .

Рассмотрим следующую задачу:

Задача. Найти вероятность того, что в течение указанных n испытаний событие A осуществится ровно k раз .

Р е ш е н и е. Обозначим через наступление событияв-м испытании. В силу постоянства условий испытания:

Обозначим через B событие, состоящее в том, что событие A из n испытаний состоится k раз, т.е.

По условию испытания независимы. Это значит, что независимы события, входящие в событие. Используя теорему умножения для независимых событий, получим:

Нами рассмотрена только одна комбинация (один случай). Число всех комбинаций равно числу способов, которыми k появлений события A можно разместить среди всех испытаний, т.е. числу сочетаний изn элементов по . Все эти комбинации событий равновозможные и несовместные. Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим:

(1.22)

Эта формула (1.22) носит название формулы Бернулли.

Формула Бернулли имеет важное значение в теории вероятностей, так как связана с повторением событий в одинаковых условиях, т.е. с такими условиями, в которых как раз и проявляются законы теории вероятностей.

Пример 1. Вероятность изготовления стандартной детали на автоматическом станке равна 0,9. Определить вероятность того, что из 6 наугад взятых деталей 4 окажутся стандартными.

Р е ш е н и е. Условие задачи соответствует схеме повторений испытаний в одинаковых условиях, поэтому, применяя формулу (1.22) при ,,,, получим:

Если же вероятность появления события A в каждом испытании неодинакова, т.е. , а,, то вероятность того, что событиеA появится k раз в n испытаниях, равна коэффициенту при в разложении по степенямпроизводящей функции, имеющей вид:

(1.23)

Пример 2. Четыре стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по общей мишени. Вероятности попадания соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6; 0,5. Найти вероятность того, что в мишени будет ровно две пробоины.

Р е ш е н и е. Так как по условию задачи вероятности попадания для стрелков различны:

то для решения задачи применим производящую функцию (1.23):

Коэффициент при x² является искомой вероятностью, т.е. .