2.5. Геометрическое и гипергеометрическое распределения

1. Геометрическое распределение возникает в следующих типах задач:

1. проводятся независимые испытания;

2. вероятность появления события А в каждом испытании одинакова, т.е. ;

3. испытания заканчиваются, как только появится событие А.

Обозначим через X дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Возможные значения X:

…, …

Рассмотрим событие, состоящее в том, что событие А появилось в k-м испытании. Вероятность этого события по теореме умножения независимых событий:

(2.7)

Распределение дискретной случайной величины, описываемой формулой (2.7), называется геометрическим.

Пример 1. Вероятность поражения цели равна 0,4. Производится стрельба по цели до первого попадания. Найти вероятность того, что цель будет поражена при пятом выстреле.

Р е ш е н и е. По условию Искомая вероятность по формуле (2.7) равна:

2. Гипергеометрическое распределение возникает в следующих типах задач.

Пусть в партии из n изделий m стандартных. Из партии случайным образом отбирают k изделий. Обозначим через X дискретную случайную величину – число l стандартных изделий среди k отобранных.

Возможные значения X:

Вероятности принятия этих возможных значений:

(2.8)

Распределение дискретной случайной величины, описываемое формулой (2.8), называется гипергеометрическим.

Пример 2. В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие 3, 4, 5 и 6 видов спорта, отобранных случайно из 45. Найти закон распределения случайной величины X – числа угаданных видов спорта среди отобранных шести и вероятность получения денежного приза.

Р е ш е н и е. Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрамиРяд распределения, рассчитанный по формуле (2.8), имеет вид:

X	0	1	2	3	4	5	6 .
p	0,40056	0,42413	0,15147	0,02244	0,00137	0,00003	0,0000001

Вероятность получения денежного приза:

т.е. равна сумме вероятностей угадывания 3, 4, 5 и 6 видов спорта.

2.6. Функция распределения и ее свойства

Следующей характеристикой распределения вероятностей случайной величины, которую можно применить для разнообразных случайных величин, в отличие от ряда распределения, который применим только для дискретных случайных величин, является функция распределения.

Функцией распределения, или интегральным законом распределения случайной величины X, называется задание вероятности выполнения неравенства X < x, рассматриваемой как функции аргумента x:

(2.9)

Функция распределения характеризует полностью случайную величину с вероятностной точки зрения.

Определение функции распределения имеет простую геометрическую интерпретацию. Если рассматривать случайную величину как случайную точку X оси OX (рис. 2.1), которая в результате опыта может занять то или иное местоположение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадает левее точки x.

0 X X X

Рис. 2.1

Для дискретной случайной величины X, если возможные значения ее , функция распределения будет иметь вид:

(2.10)

где символ под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все возможные значения случайной величины, которые по своей величине меньше аргумента.

Формулу (2.10) можно записать в виде:

(2.11)

Таким образом, для дискретной случайной величины разрывная и возрастает скачками при переходе через точки.

Пример 1. Дан ряд распределения случайной величины X:

X	1	4	5	7 .
p	0,4	0,1	0,3	0,2

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Р е ш е н и е. По условию:

Построим с помощью выражения (2.11) функцию распределения:

Изобразим графически, как показано на рис. 2.2.

Рассмотрим основные свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

Справедливость этого свойства следует из того, что функция распределения – это вероятность.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при :

Пусть a и b – точки числовой оси, причем . Рассмотрим два несовместных события тогда. Это соотношение между событиями видно из их геометрической интерпретации (рис. 2.3).

а b

А = (х < a)

Рис. 2.3

По теореме сложения для несовместных событий:

или

откуда

(2.12)

Так как , то, т.е.– неубывающая функция.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.:

Действительно:

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:

(2.13)

Формула (2.13) следует непосредственно из формулы (2.12).

Пример 2. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (1;3).

Р е ш е н и е. По формуле (2.13):

Для нахождения значений используем заданную функцию распределения.