2.7. Плотность вероятности и ее свойства
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности вероятности непрерывной случайной величины.
Рассмотрим
вероятность попадания непрерывной
случайной величины на участок
.
По формуле (2.13) вероятность:
т.е.
равна приращению функции
на этом участке. Тогда вероятность,
приходящаяся на единицу длины, т.е.
средняя плотность вероятности на участке
отx
до
,
равна:
.
Переходя
к пределу при
,
получим плотность вероятности:
Плотностью
вероятности
непрерывной случайной величиныX
называется производная ее функции
распределения:
(2.14)
Плотность
распределения вероятности
,
как и функция распределения
,
является одной из форм закона распределения,
но в отличие от функции распределения
она существует только для непрерывных
случайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.
График
плотности вероятности
называют кривой распределения.
Отметим основные свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е.:
Это
свойство вытекает из того, что
есть производная от монотонной неубывающей
функции
.
2. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
(2.15)
Из формулы (2.14) имеем:
Следовательно,
но
,
поэтому:
Геометрически функция распределения равна площади заштрихованной фигуры (рис. 2.4).
3.
Вероятность попадания непрерывной
случайной величины в
равна интегралу от плотности распределения,
взятому по этому интервалу, т.е.
Согласно свойству 4 функции распределения:
(2.16)
В
формуле (2.15), полагая
и
,
получим:
.
Подставим полученные выражения в формулу (2.16):
Геометрически
полученная вероятность равна площади
фигуры, ограниченной сверху кривой
распределения и опирающейся на отрезок
(рис. 2.5).
f(x) f(x) F(x) 0 x x x 0 a b
Рис. 2.4 Рис. 2.5
4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:
Полагая
в формуле (2.15)
и
согласно свойству 3
,
получим:
.
2.8. Числовые характеристики случайной величины
1. Математическое ожидание. В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используют некоторые величины, которые носят название числовых характеристик случайной величины. Основное их значение – выразить наиболее существенные особенности того или иного распределения. Одной из наиболее часто встречающихся числовых характеристик является математическое ожидание.
Рассмотрим
сначала дискретную случайную величину
X,
имеющую возможные значения
с вероятностью
.
Тогда математическое ожидание дискретной
случайной величиныx
определяется равенством:
(2.17)
Если дискретная случайная величина X может принимать бесконечное счетное множество значений, то ее математическое ожидание определяется равенством:
Итак, математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности.
Если
рассматривать
как координаты точек, лежащих вдоль
некоторого стержня, а
– как веса грузов, подвешенных в этих
точках, тоM(X)
будет совпадать с координатой центра
тяжести образовавшейся системы. Таков
механический смысл математического
ожидания.
Если
то
т.е. среднее арифметическое ее значений. Поэтому M(X) называют иногда просто средним значением случайной величины.
Найдем математическое ожидание случайной величины, имеющей биноминальное распределение.
Согласно определению математического ожидания для дискретной случайной величины, т.е. формуле (2.17)
(2.18)
Для вычисления суммы (2.18) продифференцируем по p следующее выражение
Получим
Умножим обе части полученного равенства на p
или
Но
так как
то
Найдем математическое ожидание в случае распределения Пуассона.
Пусть
дискретная случайная величина,
распределенная по закону Пуассона,
принимает возможные значения
с вероятностями
По формуле (2.17)
Таким
образом, математическое ожидание
случайной величины X,
распределенной по закону Пуассона,
Можно показать (самостоятельно!), что математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение, равно:
(2.19)
математическое ожидание (самостоятельно!) случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение, равно:
Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину.
Пусть X непрерывная случайная величина, возможные значения которой принадлежат всей оси ОX с плотностью распределения f (x), тогда математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется интегралом:
Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат отрезку [a,b], то
(2.20)
Рассмотрим свойства математического ожидания.
Математическое ожидание постоянной величины (
)
равно самой постоянной:
Постоянный множитель (с) можно выносить за знак математического ожидания:
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий:
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий:
Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
|
X |
–4 |
6 |
1
. |
|
p |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Р е ш е н и е.
Воспользуемся формулой
Пример 2. Изделия испытываются на надежность. Вероятность выхода из строя за время испытания для каждого изделия равна 0,1. Испытание заканчиваются после первого же изделия, вышедшего из строя. Найти математическое ожидание числа испытаний.
Р е ш е н и е. Случайная величина X (число испытаний до обнаружения изделия вышедшего из строя) имеет геометрическое распределение с параметром p = 0,1. По формуле (2.19)
Пример
3.
Непрерывная величина X
задана дифференциальной функцией
в интервале (0,1); вне этого интервала
Найти математическое ожидание случайной
величиныX.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (2.20)
2. Мода и медиана. Кроме математического ожидания, которое является основной числовой характеристикой положения случайной величины, на практике применяются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана случайной величины.
Модой
дискретной случайной величины называется
ее наиболее вероятное значение, т.е.
.
Для
непрерывной случайной величины мода
есть такое значение случайной величины,
при котором плотность распределения
имеет максимум, т.е.
Медианой
случайной величиныX
называется такое ее значение, относительно
которого равновероятно получение
большего или меньшего значения, т.е.
Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. Поэтому функция распределения в точке Me равна 0,5, т.е.
(2.21)
Пример
4. Найти моду,
медиану и математическое ожидание
случайной величины X
с плотностью вероятности
при
,
вне этого интервала
Р е ш е н и е.
Очевидно, что плотность вероятности
f (x)
максимальна при x = 1,
т.е.
Медиану
найдем из условия формулы
или
откуда
Математическое
ожидание по формуле
3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Числовые характеристики, показывающие рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее средней, т.е. математического ожидания, называются характеристиками рассеивания случайной величины. Основными характеристиками рассеивания являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Слово «дисперсия» означает «рассеяние».
Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания:
.
(2.22)
Для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой
(2.23)
а для непрерывной – интегралом
(2.24)
Средним
квадратическим отклонением
случайной величиныX
называется положительный квадратный
корень из дисперсии, т.е.
(2.25)
Эта характеристика удобна тем, что она имеет ту же размерность, что и случайная величина.
Рассмотрим свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины (c) равна нулю:
.
По определению дисперсии:
.
2. Постоянный множитель (c) можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:
.
На основании формулы (2.22)
3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:
.
(2.26)
Пусть
,
тогда
Это свойство часто используют при вычислении дисперсии. Вычисление по формуле (2.26) даст упрощение расчетов по сравнению с основной формулой (2.22).
4. Дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий, т.е.
(2.27)
Согласно свойству 3 дисперсии:
Согласно свойству 2 дисперсии и формуле (2.27)
Пример 5. По данным примера 1 найти дисперсию дискретной случайной величины X.
Р е ш е н и е. Вначале найдем
.
Теперь
воспользуемся формулой (2.26), учитывая,
что
.
.
Пример
6. По данным
примера 3 найти
.
Р е ш е н и е.
Найдем сначала
.
.
По формуле (2.26) имеем:
.
Пример
7. Найти
дисперсию случайной величины
,
если известно, что случайные величиныX
и Y
независимы и
.
Р е ш е н и е. Используя свойства дисперсии 1, 2, 4:
.
4. Начальные и центральные моменты случайной величины. Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайной величины. Само название «момент» заимствовано из механики, где это понятие применяется для описания распределения масс.
В теории вероятностей различают моменты двух видов: начальные и центральные.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk, т.е.
.
Следовательно,
для дискретной случайной величины
k
выражается суммой
;
а для непрерывной – интегралом:
.
В частности,
.
Центральным
моментом k-го
порядка
называется математическое ожидание
величины
,
т.е.
.
Для
дискретной случайной величины
также выражается суммой:
,
а для непрерывной – интегралом:
.
В частности:
;
;
.
Третий центральный момент служит характеристикой асимметрии распределения. Величина
(2.28)
называется коэффициентом асимметрии.
Четвертый центральный момент служит для характеристики островершинности или плосковершинности распределения. Величина
(2.29)
называется эксцессом.
П
ример 8.
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс
случайной величины, распределенной по
так называемому закону Лапласа с
плотностью вероятности
.
Р е ш е н и е. Так
как распределение случайной величины
X
симметрично относительно оси ординат
(рис. 2.6), то все нечетные начальные и
центральные моменты равны нулю, т.е.
,
и в силу
формулы (2.28)
ax
= 0.
Для
нахождения эксцесса необходимо вычислить
и
:
.
Следовательно,
и
.
.
Теперь по формуле (2.29) эксцесс
,
,
что говорит об островершинности кривой
распределения
(см. рис. 2.6).