1.8. Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Опыт – бросание игральной кости. Событие А – число выпавших на грани очков равно 6. Событие B – число очков на грани делится на 2. Эти два события совместны.

Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий (сумма двух совместных событий) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(1.14)

Доказательство. Для наступления события достаточно, чтобы произошло хотя бы одно из следующих несовместных событий:АВ или , т.е.:

Аналогично для события В:

Для наступления хотя бы одного события А или В достаточно, чтобы произошло одно из трех попарно несовместных событий , т.е.:

На основании правила сложения вероятностей для несовместных событий имеем:

(1.15)

(1.16)

(1.17)

Сложив равенства (1.15) и (1.16), получим:

Учитывая равенство (1.17), получим формулу (1.14).

Теорема доказана.

Формула (1.14) имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Если – полная группа совместных событий, то формула (1.14) будет громоздкой и в таком случае лучше перейти к противоположному событию, т.е. рассматривать формулу:

(1.18)

Пример. Производится два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а при втором 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Р е ш е н и е. Рассмотрим событие A – попадание при первом выстреле, событие B – попадание при втором выстреле. Их вероятности согласно условию равны:

Так как иявляются совместными и независимыми событиями, то вероятность того, что будет хотя бы одна пробоина по формуле (1.14) будет равна:

Если же перейти к противоположному событию, то, применяя формулу (1.18) для случая двух событий, получим:

,

при этом учитываем независимость событий A и B.

1.9. Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие A может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий: составляющих полную группу. События такого рода называются гипотезами. Вероятности всех гипотез известны, т.е. даны: , причем

Известны также условные вероятности события A:

Вероятность события A определяется следующей теоремой.

Теорема. Вероятность появления события A, которое может произойти с одной из гипотез , равна сумме парных произведений этих гипотез на отвечающие им условные вероятности наступления событияA:

(1.19)

Формула (1.19) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то событиеA можно представить в виде следующей суммы событий:

Поскольку – несовместны, то и событиятакже несовместны.

Применяя формулу сложения вероятностей для несовместных событий, имеем:

(1.20)

Вероятность произведения находим по аксиоме умножения вероятностей (аксиома 5):

Подставляя полученное выражение в формулу (1.20), получим:

что и требовалось доказать.

Пример. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры от первого, второго и третьего поставщиков, соответственно, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока с вероятностями 98, 88 и 92%. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Р е ш е н и е. Обозначим событие A – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, – телевизор поступит в торговую фирму отi-го поставщика (i = 1,2,3). По условию:

По формуле полной вероятности (1.19):

Таким образом, вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор, не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,91.