2.12. Вероятность попадания случайной величины, имеющей нормальное распределение на заданный участок. Функции Лапласа

Уже известно, что если непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятности , то вероятность попаданияX на участок :

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X принимает значение из интервала :

Пользуясь снова заменой переменной

получим:

(2.38)

Так как интеграл

не выражается через элементарные функции, то для вычисления интеграла (2.38) пользуются таблицами значений специальной функции, которая называется функцией Лапласа и имеет вид:

(2.39)

Преобразуем выражение (2.38) к функции Лапласа:

Таким образом,

(2.40)

Функция Лапласа имеет следующие свойства.

1. Это следует из того, что припределы интеграла (2.39) совпадают.

2. Действительно,

3. Функция Лапласа есть нечетная функция, т.е.

Действительно,

Положив , имеем:

График функции Лапласа изображен на рис. 2.12.

Функция распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласапо формуле:

Доказать самостоятельно!

Таблица значений приведена в табл. П.2 приложения 6.

2.13. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм

Для характеристики ширины нормальной кривой вместо среднего квадратичного отклонения иногда используют вероятностное отклонениеЕ или это может быть заданное отклонение .

Пусть непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону. Определим вероятность осуществления неравенства , т.е.

Таким образом,

(2.41)

Отметим важный случай формулы (2.41). Положим в формуле (2.41) , тогда

Получим, при «правило сигмы»

при «правило двух сигм»

при «правило трех сигм»

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

Основные понятия, обозначения и формулы по главе 2 приведены в табл. 2.2 и 2.3.

Контрольные вопросы

1. Какая величина называется случайной?

2. Дайте определение дискретной и непрерывной случайных величин. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

3. Что называется законом распределения случайной величины?

4. Что называется рядом распределения дискретной случайной величины?

5. Дайте определение функции распределения вероятности. Перечислите и докажите свойства функции распределения.

6. Как, зная функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

7. В чем состоит различие графиков функций распределения дискретной и непрерывной случайных величин?

8. Дайте определение плотности распределения вероятностей. Перечислите и докажите свойства плотности распределения. Пригодно ли понятие плотности распределения вероятностей для дискретной случайной величины?

9. Как, зная плотность распределения, найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

10. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

11. Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины?

12. Как можно истолковать математическое ожидание механически?

13. Что называется модой случайной величины? Что называется медианой случайной величины?

14. Дайте определение дисперсии случайной величины и перечислите ее свойства.

15. Что называется средним квадратическим отклонением случайной величины?

16. Что называется начальным моментом k-го порядка случайной величины?

17. Что называется центральным моментом k-го порядка случайной величины?

18. Какое распределение вероятностей называется биномиальным? Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение?

19. Какое распределение называется распределением Пуассона? Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона?

20. Какое распределение случайной величины называется равномерным?

21. Какое распределение случайной величины называется показательным?

22. Какое распределение случайной величины называется нормальным?

23. Как называется график плотности вероятности нормального распределения? Каковы его свойства?

24. Что называется функцией Лапласа? Каковы ее свойства?

Таблица 2.2

№ п/п	Характеристики	Случайная величина (С В)
		дискретная	непрерывная
1	Основная форма задания	Ряд распределения вероятностей ()	Плотность распределения вероятностей
2	Функция распределения
3	Математическое ожидание
4	Мода ()
5	Медиана ()
6	Дисперсия
7	Среднее квадратическое отклонение ()
8	Начальный момент k-го порядка ()
9	Центральный момент k-го порядка ()
10	Коэффициент асимметрии ()
11	Эксцесс ()
12	Вероятность попадания случайной величины в интервал ()

Таблица 2.3

№ п/п	Законы распределения случайной величины	Аналитическое задание распределения	Основные числовые характеристики распределения
1	Биномиальное распределение
2	Распределение Пуассона
3	Геометрическое распределение
4	Гипергеометрическое распределение
5	Равномерное распределение
6	Показательный закон распределения
7	Нормальный закон распределения

Связь функции и плотности распределения

.

Функция Лапласа: .

, где X имеет нормальный закон распределения.

80