1.4. Определение вероятности и ее основные свойства

Так как частоту события можно определить только после проведения испытаний (опытов) и в различных опытах она может получаться величиной непостоянной, поэтому эта характеристика события является неполной и неудобной.

Однако по мере увеличения числа испытаний частота постепенно стабилизируется и колеблется около некоторой постоянной величины. Эта постоянная величина называется вероятностью и обозначается р(А), или просто р. Такое определение вероятности называется статистическим.

Преимущество статистического определения: опирается на реальный эксперимент. Недостаток: необходимо проделать большое число испытаний, не является строгим с точки зрения математики, поэтому существует другое определение вероятности, классическое.

Определение (классическое). Вероятностью появления некоторого события А называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению события A(m), к общему числу равновозможных в опыте случаев (n):

(1.2)

Пример 1. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости, выпадет четное число очков.

Р е ш е н и е. Обозначим через A событие выпадение четного числа очков. Число всех равновозможных случаев n = 6. Число благоприятствующих случаев m = 3. Поэтому

Пример 2. В урне находится 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что извлеченный наугад 1 шар окажется красным.

Р е ш е н и е. Обозначим через А событие, состоящее в появлении красного шара, т.е. A={шар красный}.

Число случаев, благоприятствующих появлению события А, равно числу красных шаров в урне, т.е. m = 9. Общее число равновозможных случаев равно общему числу шаров в урне, т.е. n = 15. Следовательно, по формуле (1.2)

Таким образом, вероятность – это количественная характеристика события, являющаяся следующим основным понятием теории вероятностей.

И, наконец, существует третье определение вероятности – аксиоматическое.

Определение (аксиоматическое). Числовая функция p, определенная на алгебре событий F, называется вероятностью, если удовлетворяет следующим аксиомам:

А к с и о м а  1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

А к с и о м а  2. Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

А к с и о м а  3. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

А к с и о м а  4. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих собы- тий, т.е.

.

Эта аксиома вводится на основании четвертого свойства частоты. Для введения пятой аксиомы, соответствующей пятому свойству частоты, введем определение условной вероятности.

Вероятность наступления события А, вычисленная при условии наступления другого события В, называется условной вероятностью события А и обозначается:

.

Например, вероятность выпадения двойки при бросании игральной кости равна 1/6, условная вероятность выпадения двойки при условии, что выпадает четное число, равно 1/3, т.е.

где А ={выпадение двойки}; B = {выпадение четного числа очков}.

А к с и о м а  5. Вероятность произведения (пересечения) двух совместных событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е.

Следствие 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. .

Следствие 2. Если события A₁, A₂, …, A_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1, т.е.

.