книги / Функциональный анализ

топологического пространства Е, если всякая окрестность *о содержит элемент из множества S. Множество всех предельных точек множества S называют замыканием множества S и обо­

значают S.

"Последовательность {хп} элементов топологического про­ странства Е называется сходящейся к элементу х0, если для любой окрестности V x„ элемента х0 найдется такое натуральное число N, что хп£= Vx, при всех п > N.

Следует отметить, что в линейном топологическом простран­ стве замыкание множества S не всегда совпадает с множеством пределов всевозможных сходящихся последовательностей эле­ ментов из S. Однако для ряда частных видов линейных топо­ логических пространств, например, для линейных метрических и нормированных пространств, замыкание множества совпадает с совокупностью пределов всех сходящихся последовательно­ стей элементов из этого множества.

Если замыкание множества S совпадает со всем топологиче­ ским пространством Е, то множество S называется всюду плотным.

Л и т е р а т у р а : (5], [25], [27], [29], [51].

2. Локально выпуклое пространство. Множество Г = {F* *} окрестностей элемента * называется фундаментальной систе­ мой или базисом окрестностей этого элемента, если всякая окрестность х содержит окрестность из множества Г.

Линейное топологическое пространство Е называется ло­ кально выпуклым, если оно обладает фундаментальной систе­ мой окрестностей нуля, каждая из которых выпукла.

Пространства Rn, С(0,1) и s локально выпуклы.

В локально выпуклом пространстве существует фундамен­ тальная система окрестностей нуля, являющихся абсолютно вы­ пуклыми, поглощающими множествами. Этой системе окрест­ ностей отвечает семейство полунорм. Если на линейной си­ стеме Е задано произвольное семейство Г полунорм ра(х), то на Е можно определить (не обязательно отделимую) локально выпуклую топологию, принимая за базис окрестностей нуля

22 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия

семейство всех абсолютно выпуклых множеств, определяемых соотношениями

шах ра.(х)<е

1<i</z 1

при произвольных натуральных п, е > 0 и /?а/<=Г. Эта топо­

логия будет отделимой тогда и только тогда, когда для каждого элемента х0 ф 0 (хо е Е) найдется полунорма ра такая, что

Ра*(хо) ^ °- Каждая локально выпуклая топология в линейной системе

может быть задана указанным способом с помощью соответ­ ствующего семейства полунорм.

Бочкой в локально выпуклом пространстве называется вся­ кое его абсолютно выпуклое, поглощающее и замкнутое мно­ жество. Локально выпуклое пространство называется бочечным, если каждая бочка в нем является окрестностью нуля.

П р и м е р ы л и н е й н ы х л о к а л ь н о в ы п у к л ы х т о п о ­

Сходимость в соответствующей топологии совпадает с рав­ номерной сходимостью на каждом ограниченном множестве.

б) Пространство С°°(0, 1) всех бесконечно дифференцируе­ мых на [0, 1] функций x(t) с определяющей системой полунорм

Р т (х )= max |x (m) (01- 0<«<1

Сходимость является равномерной на [0, 1] сходимостью вме­ сте со всеми производными.

в) Пространство С°°(—оо, оо) всех бесконечно дифференци­ руемых на оси функций x(t) с определяющей системой полунорм

Рпт{х)— max |х (*> (01, т = 0, 1, 2, . . . ; п = 1 , 2 , . . .

Ли т е р а т у р а : [5], [27], [46], [51].

3.Линейное метрическое пространство. Важным частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

Множество Е называется метрическим пространством, если

каждой паре его элементов х, у поставлено в соответствие дей­ ствительное число р(х,у) — расстояние между элементами х и

у— удовлетворяющее условиям (аксиомам):

1)р(*,0)>О; р(х,х) = 0 , и если р(х, #) = 0 , то х = у\

угольника).

Элементы метрического пространства называются также точками; если введением расстояния множество Е превращается в метрическое пространство, то говорят, что в множестве Е вве­ дена метрика или также что множество Е метризовано.

Если *„<=£, * е £ и р ( х „ , х ) 0 при п -*о о, то говорят,

что хп сходятся к х:

хп-+х.

Расстоянием между множествами А и В метрического про­

странства называется inf р(х, у).

x d A, y d В

Линейная система Е называется линейным метрическим про­ странствомI, если она метризована, причем так, что алгебраиче­ ские операции непрерывны в метрике Е, т. е.:

1) из того, что Хп-+х, уп >У-, следует

П р и м е р л и н е й н о г о м е т р и ч е с к о г о п р о с т р а н ­

Метрика в' множестве Е порождает (индуцирует) в нем естественным образом топологию: если принять за базис

окрестностей (0 < е < оо) точки х0 совокупности всех эле­ ментов у ^ Е таких, что р(х0, у) <. г при заданном е !> О, то множество Е становится топологическим пространством. Это пространство может не быть локально выпуклым.

Топологическое пространство Е называется метризуемым, если в нем можно ввести метрику так, что топология, индуци­ руемая в Е этой метрикой, совпадает с исходной топологией то­ пологического пространства Е. Если Е — линейное метризуемое пространство, то метрика всегда может быть'сделана инвариант­ ной относительно сдвига.

Справедлив следующий критерий метризуемости линейных локально выпуклых топологических пространств: для того чтобы локально выпуклое линейное топологическое пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы его топологию можно было задать счетным множеством полунорм.

Во всех приведенных выше примерах локально выпуклые пространства метризуемы. Важные примеры неметризуемых ли­ нейных топологических пространств будут приведены ниже (см. § 4, п. 3).

Л и т е р а т у р а : [5], [27], [29], [39].

4. Линейное нормированное пространство. В геометрии, ана­ лизе, а также в ряде других разделов математики, кроме поня­ тия алгебраических операций, большую роль играет понятие длины или нормы вектора.

Линейная система Е называется линейным нормированным пространством, если каждому элементу х е £ поставлено в со­ ответствие вещественное число ||х|| ^ 0, называемое нормой

ника) . Величина

Р(*> у)= \\х — у\\ = \\у — х\\

обладает всеми свойствами метрики, поэтому линейные норми­ рованные пространства представляют собой частный вид мет­ рических пространств, а значили топологических пространств. В них определяются понятия предела последовательности, за­ мыкания множества, окрестности и др. Ввиду того что основ­ ным объектом в дальнейшем будут линейные нормированные пространства, здесь формулируются все эти понятия непосред­ ственно в терминах линейных нормированных пространств.

Последовательность {*n} элементов линейного нормирован­ ного пространства Е называется сходящейся (по норме) к эле-

жества Т. Для того чтобы элемент *о был предельной точкой

точка внутренняя, т. е. содержится в Т вместе с некоторой окрестностью. (Иначе говоря, если для любой точки Хое Г при некотором г > 0 будет S(*o, г) cr Т.)

Шар S (Хо, г) радиуса г с центром в точке х0 является вы­ пуклым множеством; кроме того, из определения окрестности точки Хо вытекает, что шары S(xo,r) образуют фундаменталь­ ную систему окрестностей точки Хо, когда г пробегает множе­ ство всех положительных действительных чисел. Отсюда сле­ дует, что линейное нормированное пространство является ло­ кально выпуклым линейным трпологическим пространством.

Замкнутой выпуклой оболочкой множества Т линейного нор­ мированного пространства Е называется наименьшее замкнутое

где Ci, Сг > 0 и не зависят от х. Эквивалентные нормы поро­ ждают одну и ту же топологию в пространстве Е.

Линейное топологическое пространство Е называется нор­ мируемым, если в Е можно ввести норму так, что топология, ко­ торую индуцирует эта норма в множестве Е, совпадает с ис­ ходной топологией пространства Е.

Естественно возникает вопрос: при каких условиях линейное топологическое пространство Е является нормируемым? Ответ

последовательность элементов {Хпх„} сходится к нулю.

Для того чтобы линейное топологическое пространство было нормируемым, необходимо и достаточно, чтобы в нем существо­ вала выпуклая ограниченная окрестность нуля (А. Н. К о л м о- горов) .

Пространства s, С(—00, 00), С°°(0, 1) дают примеры ненормируемых линейных топологических пространств.

Замкнутое линейное многообразие М линейного нормирован­ ного пространства называют подпространством. Всякое конеч­ номерное линейное многообразие М замкнуто и является по­ тому подпространством.

Всякое линейное многообразие М в линейном нормирован­ ном пространстве Е является само линейным нормированным пространством относительно нормы пространства Е.

26 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

Если подпространство является максимальным линейным многообразием (см. § 1, п. 3), то оно называется гиперподпро­ странством.

Говорят, что пространство Е разложено в прямую сумму

В этом случае М2 называется замкнутым дополнением к Mi. Не всякое подпространство линейного нормированного про­ странства имеет замкнутое дополнение. Так, например, под­ пространство Со не имеет замкнутого дополнения в простран­

стве пг (см. п. 5 примеры 4 и 6).

ll*ll=

Линейная система Еп с этой нормой называется евклидовым пространством Rn. Неравенство треугольника (3-я аксиома) следует из известного неравенства Минковского для конечных сумм

Чр

i=l

Из неравенства Минковского следует, что 1Р образует ли­ нейную систему. После введения нормы

UP

11*11 =

lv становится линейным нормированным пространством.

30 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

6. Полнота метрических пространств, банахово пространство.

Последовательность точек {хп} метрического пространства Е на­ зывается фундаментальной (или сходящейся в себе), если для

Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна, од­ нако обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В самом деле, пусть в метрическом пространстве R, состоящем из ра­ циональных чисел с метрикой р{х,у) = \х — у |, последова­ тельность {хп} сходится к некоторому иррациональному числу. Последовательность {хп} фундаментальна в метрике R, одна­ ко в R не существует элемента, который бы являлся ее пре­ делом.

Если в метрическом пространстве Е каждая фундаменталь­ ная последовательность сходится к некоторому элементу того же пространства, то Е называется полным пространством.

Метризуемое полное локально выпуклое пространство назы­ вается пространством Фреше. Пространство Фреше является бочечным.

Полное линейное нормированное пространство называется

банаховым пространством.

В терминах нормы тот факт, что последовательность [хп] фундаментальна, означает, что II хп •—xmII ~т; п->оо^ 0- Поэтому условие полноты линейного нормированного пространства Е вы­

Все нормированные пространства, описанные в примерах 1—14, являются полными, а поэтому — банаховыми простран­ ствами.

Любое конечномерное линейное нормированное простран­ ство полно и, следовательно, является банаховым. Бесконечно­ мерное банахово пространство имеет размерность не меньше континуума.

В банаховом пространстве справедлив принцип вложенных стягивающихся шаров: пусть дана последовательность вложен­ ных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, тогда эти шары имеют единственную общую точку.

Этот принцип играет важную роль при доказательстве раз­ личных теорем существования. В неполных пространствах этот принцип несправедлив, в связи с чем ряд теорем существования в таких пространствах не имеет места.

Аналогично тому, как множество рациональных чисел по­ полняется до множества всех вещественных чисел, всякое мет­ рическое пространство может быть расширено до полного про­ странства.