Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Функциональный анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 555 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

имеет определенного ответа, так как конкретные пространства, изометричные пространству Е\ можно строить различными способами.

Например, пусть в Еп введена норма

i * u = i i i i	+	2 i i ft+1	■у
		*=1
Если линейные функционалы на Еп представлять в виде
		п—1
f (л;) = a f e i	+	2 a k Йл+i ““ Ы>
		k=\
то сопряженным пространством к Еп			будет пространство Е1п
с нормой

■л| = щах | ak |.

Если же линейные функционалы представлять в обычном виде

f(*) = 2 bklk,

k=\

то сопряженным пространством	будет пространство Еп с
нормой
	п
\|\|/ \|\|= max	2>ь{
1	i=k

Пространства Ехп и Е2п изометричны. Соответствие между

ними задается соотношением ak ■ 2 ьь

i= k

Задача об описании сопряженного пространства становится определенной, если заранее задаться аналитическим способом вычисления значений функционала или, как говорят, видом функционала. При этом по аналогии с линейными формами ли нейные функционалы обычно ищут в виде сумм произведений или интегралов от произведений.

Примеры .

1. П р о с т р а н с т в о 1Р ( р > 1 ) . Произвольный непрерыв ный линейный функционал, определенный в пространстве 1Р, может быть представлен в виде

f { x ) = 2 1f i h >

где {/,}<=/„ 1/,,+ 1/9 = 1 и II / 1|= (jS I f t \q

42	ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ				п о н я т и я
Пространство, сопряженное к пространству 1Р, изометрично
пространству lq, где 1/р +		1/<7 =		1.		непрерывный	линейный
2. П р о с т р а н с т в о		/ь	Всякий
функционал в Zi может быть представлен в виде
		f (х) — 2			fill*
где \|\|/\|\| = sup	\fi \| < oo.			i= 1

I<K OO				к	Zi	изометрично	простран-
Сопряженное	пространство
ству т.		с0.	Линейный			непрерывный	функцио
3. П р о с т р а н с т в о
нал в Со может быть задан равенством

/М = 2 /&,

i= 1

где \|\|/\|\|== 2 I /г I <
	t=1	с0	изометрично простран
Сопряженное пространство к
ству	Zi.	/? >	1. Любой непрерывный
4.	П р о с т р а н с т в о Lp(0, 1)>

линейный функционал в пространстве Lp(0, 1) может быть пред ставлен в виде

f(x)= J x(Z)a(Z) dt,

			о
где	a(t)<=Lq(0, 1), q = p/(p— 1).
	Норма функционала f определяется формулой
		llfll= И	la (О N O	•
	Сопряженное пространство к Lp(0, 1) изометрично простран
ству 0 (0 , 1) ( l / p + l / q = l ) .					функ
	5. П р о с т р а н с т в о Li(0, 1). Непрерывный линейный				функ
ционал в 0(0, 1)		может быть представлен в виде
		f(x) =	J!x(t) a (7) dt,
			о
где	a (Z)— почти	всюду на	отрезке [0,1]	ограниченная	функ
ция и

II/ 1|= vrai max) a(Z)l. 0<f<l

Сопряженное пространство к пространству Li(0, 1) изомет рично пространству М(0, 1).

		§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ				ПРОСТРАНСТВА					43
6.	П р о с т р а н с т в о С(0, 1). Всякий непрерывный линейный
функционал в С(0, 1)				может	быть			представлен	в виде		инте
грала Стилтьеса
			/ ( * ) = /		x(t)dg(t),
				О
где g(t) — функция ограниченной							вариации. Функционал				f(x)
не изменится, если к функции g(t)							добавить любую константу,
поэтому полагают			g(0) = 0 . Однако					и при этом	условии		раз
ные функции		g(t)	могут порождать					одинаковые	функционалы.
Эти функции могут отличаться значениями в точках разрыва,
лежащих внутри отрезка [0, 1]. Если, например, рассматривать
только такие функции g(t), для которых
	g(Q = g<f.+ °L t.g (i-0 ).							при *<=(0. 1),
то соответствие между				функционалами f(x) и функциями g(t)
становится взаимно однозначным. При этом
				llfll= V te).
					о
Сопряженное пространство к пространству С(0, 1)										изомет-
рично	подпространству			Го(0, 1)		пространства V(0, 1),				состоя
щему	из всех	функций		g(t)	Г(0, 1), удовлетворяющих						усло
виям:	g(0) =	0 И g(t)		= l/2[g(t +		0) + g (^ — 0)] при t (ЕЕ (0, 1).

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [30], [39], [51].

3. Слабая сходимость, слабые топологии. Говорят, что после довательность Хи х2, ..., хп, ... элементов линейного нормиро

ванного пространства Е	слабо сходится	к	элементу	х0 Е
(и обозначают хп — * х 0),	если lim f (х ) =	f (х0) для		всякого
непрерывного линейного функционала / <= Е'.			В отличие от сла

бой сходимости сходимость последовательности по норме про странства Е называют сильной сходимостью. Сильная сходи мость последовательности элементов всегда влечет слабую сходимость, однако обратное утверждение, вообще говоря, не верно. В конечномерном банаховом пространстве сильная и сла бая сходимости эквивалентны. Однако существуют и бесконеч номерные пространства, например пространство /ь в которых обе сходимости эквивалентны.

^Последовательность {хп} называется слабо фундаменталь

ной, если	для всякого	f е Е' существует	конечный предел
Jim f(xn).	Пространство называется секвенциально слабо пол
н ы м если	всякая слабо	фундаментальная	последовательность

44 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия

слабо сходится к элементу Е. Слабо фундаментальная последо вательность всегда ограничена по норме.

В локально равномерно выпуклом пространстве	(см. п. 8)
из слабой сходимости хп -* х0 и сходимости норм	\|\|хп\|\|-Ч\|*о\|\|

следует сильная сходимость хп к х0. Однако этим свойством об ладают и некоторые другие пространства (например /1).

Для		того чтобы последовательность {хп} слабо сходи
лась	к	элементу	х0, необходимо и достаточно, чтобы она
была	ограничена		и чтобы соотношение lim f(xn) = f{x0) выпол-
			П->оо

нялось для всюду плотного в Е' множества линейных функ ционалов.

Слабая сходимость в пространствах lp { р ^ 1) и Со озна чает ограниченность последовательности норм и сходимость всех

координат. Пространства	1Р (р >	1) секвенциально слабо пол
ны, а с0 — нет.	(р ^ 1)	секвенциально слабо полны.
Пространства Ьр(0, 1)	(р ^ 1)	секвенциально слабо полны.

Слабая сходимость последовательности функций xn(t) к функ

ции x(t) в Lp	при р > 1	означает	ограниченность последова
тельности норм	\\хп\\Ьр и сходимость J xn(x)dx-> J* x(x)dx при
любом £е[0, 1], а при р =			о	о
		1 означает равномерную ограничен
ность последовательности'		\\Хп\\цх и	сходимость	Jxn(x)dx->

-*■ j х (т) dr для всех измеримых множеств е с [0, 1].

В пространстве С(0, 1) слабая сходимость означает равно мерную ограниченность последовательности функций и сходи мость в каждой точке отрезка [0, 1]. Это пространство не яв

ляется секвенциально слабо полным.		Е' называется	слабо
Последовательность функционалов fn ^
сходящейся к	функционалу fo ^ E ', если	Ym fn(x) = f 0(x)	для
всякого х ^ Е .	П -> оо
	Из сильной сходимости	последовательности

функционалов следует ее слабая сходимость; обратное, вообще

говоря, неверно. Если Е — банахово пространство,	то из ‘Суще
ствования предела lim fn (х) при каждом	следует, что
« - > оо

последовательность fn слабо сходится к некоторому функцио

налу fo ^ E ', при этом		\|\|/о\|\|<Нш \|\| fn Ц.
Если Е — банахово		пространство,	то для	слабой сходимости
fn—:->/0	необходимо	и достаточно,	чтобы	последовательность
\|\|/п\|\| была	ограниченной и чтобы соотношение lim fn(x) = fo(x)
				П -> оо

имело место на всюду плотном множестве элементов

§ 4. с о п р я ж е н н ы е п р о с т р а н с т в а	45
Выделение класса сходящихся последовательностей еще не
превращает пространство в топологическое. Оказывается,	что

в линейном нормированном пространстве Е можно ввести то пологию так, чтобы сходящимися в смысле этой топологии по следовательностями были слабо сходящиеся последовательности

и только они. Через	W(fu .	fn\ а)	(/ь	fn е Е\ а > 0)
обозначают множество	точек	х ^ Е	таких,	что \fi(x) \| ^ а.

Окрестностью нуля пространства Е называют всякое множество, содержащее множество W(fu ..., fn; а) при некотором наборе функционалов fi, ..., fn и положительном а. Всякая окрест ность элемента х получается из некоторой окрестности нуля VQ путем е» сдвига на х : Vx = х 4- V0. Получаемая таким образом

топология называется ослабленной топологией			о(Е,	Е') и обла
дает указанным свойством.
Аналогично в сопряженном пространстве Е' определяется то
пология с помощью множеств W (хи		..., хп\ а)	(Х\ е	Е, а > 0),
состоящих	из всех j ^ E ' таких, что	\ f (Xi)\ ^	ос. Окрестностью
нуля называется всякое множество, содержащее				некоторое
W(xu	хп;а). Получаемая топология в Е		называется сла

бой топологией в(Е',Е). Сходящимися последовательностями функционалов в этой топологии будут слабо сходящиеся по следовательности и только они.

Слабая и ослабленная топологии согласованы с алгебраиче скими операциями в Е' и £, они являются локально выпуклыми,

так как множества	W(xь ..., хп\	а) и W(fь ...,	fn\ ос) выпуклы.
В случае бесконечномерного		пространства Е ослабленная
топология о(Е, Е')	представляет собой пример		неметризуемой

топологии; слабая топология о{Е\Е) также неметризуема, если пространство Е бесконечномерно и банахово.

Ослабленная топология в бесконечномерном линейном нор мированном пространстве всегда слабее исходной топологии*).

Множество S топологического пространства Е называется компактным, если из всякого покрытия S открытыми множе ствами пространства Е можно выделить конечное покрытие**).

Это определение компактного множества для метрического пространства эквивалентно определению замкнутого компактно го множества (п. 7 § 2).

Для ослабленной топологии в банаховом пространстве Е имеет место следующий глубокий факт: для того чтобы замы кание множества Т в ослабленной топологии было компактным, необходимо и достаточно, чтобы из каждой последовательности

*)	Одна топология называется слабее другой, если система окрестностей
любой	точки в первой топологии является частью системы ее окрестностей
во второй топологии. Вторая топология в этом случае сильнее первой.
**)	Множество, компактное в отделимой топологии, в русской литературе

часто называют бикомпактом.

46	ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

элементов можно было выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу Е (В. Ф. Э б е р л е й н — В. Л. Ш м у л ь- ян). Таким образом, несмотря на то, что Е в ослабленной топо логии неметризуемо, компактность множества можно проверять так же, как в метрическом пространстве.

Л и т е р а т у р а : [2], [5], [23], [27], [30], [39], [51], [58], [73].

4. Выпуклые множества, крайние точки. Выпуклое множе ство в линейном нормированном пространстве Е имеет рдно и

то же замыкание как в исходной топологии				пространства, так
и в ослабленной топологии.
Отсюда, в частности, вытекает, что для слабо сходящейся
последовательности		хп — ->х0	найдется последовательность
Xnk (^nk ^	1J Kk — 1j такая,		что
		rtП-> т°o k=lkn		=	%
Для	пространств	Lp(0, 1) (p > 1), lp (p >		1) можно	утвер

ждать даже больше: из всякой слабо сходящейся последова

тельности	хп— ->х0 можно выделить последовательность			xnk>
для которой		N

Замкнутая выпуклая оболочка компактного в ослабленной
топологии	множества банахова пространства		сама компактна
в этой топологии.		множество в линейной	системе	Е. Го
Пусть	Т — выпуклое
ворят, что	точка х е Г	есть крайняя или экстремальная		точка

множества Г, если в Т нет, никакого открытого отрезка, содер жащего х.

В евклидовом пространстве Rn каждая граничная точка

единичной сферы крайняя,	в пространстве	С (0,1)	единичная
сфера содержит только две	крайние точки	x(t) =	1 и x(t) ==
s= — 1, а единичные сферы	в пространствах	с0, Li(0, 1) вообще

не содержат крайних точек.

Каждое компактное выпуклое множество в линейном тополо гическом локалшо выпуклом пространстве Е есть замкнутая


выпуклая		оболочка		множества		своих	крайних		точек.
(М. Г. Кр е йн — Д. П. М и л ь м а н ) .						к линейному		нормирован
В	пространстве		£,	сопряженном
ному	пространству			каждый	замкнутый		шар	компактен
в слабой		топологии	о{Е',Е). Если		Е	сепарабельно, то			каждый

§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

шар Е' в топологии в(Е',Е) является метризуемым компактным множеством.

Из предыдущего следует, что единичный шар S бесконечно мерного сопряженного банахова пространства Е' содержит бес конечное множество экстремальных точек; поэтому простран ства С(0, 1), г0, Li(0, 1) являются банаховыми пространствами, неизометричными никаким сопряженным банаховым простран ствам.

Ли т е р а т у р а : [23], [27], [30], [39].

5.Фактор-пространство и ортогональные дополнения. Пусть

М — подпространство (замкнутое!) банахова пространства Е. В фактор-пространстве Е/М (§ 1 п. 3) вводится норма

im i= mf n*ii.

Относительно этой нормы фактор-пространство Е/М является банаховым пространством.

Через М1 обозначается совокупность всех непрерывных ли нейных функционалов на £, обращающихся тождественно в нуль на М. Совокупность ML является слабо замкнутым (т. е. замкнутым в топологии о(Е',Е)) подпространством сопряженно го пространства Е' и называется ортогональным дополнением к подпространству М. Обратно, каждое слабо замкнутое под

пространство М' а Е ' является	ортогональным	дополнением
к подпространству М а Е , состоящему из всех		элементов, на
которых обращается в нуль любой функционал из М
Соотношение	( х а Х )
f(x) = F(X)	( х а Х )

устанавливает взаимно однозначное соответствие между функ

ционалами / е	М1	и непрерывными линейными функционала
ми F на Е/М	( F a	(Е/М)'). При этом соответствии простран

ство, сопряженное к фактор-пространству Е/М, изометрично пространству М1.

Каждый функционал из Е' естественно порождает непре рывный функционал на М\ функционалы из М1 порождают на М нулевые функционалы. Обратно, всякий непрерывный функ ционал на М может быть расширен без увеличения нормы на все Е. Пространство М \ сопряженное к пространству М, изо метрично пространству Е'/М1.

Л и т е р а т у р а : [27], [39], [58].

6. Произведения нормированных пространств. В прямое про изведение Е X F двух линейных нормированных пространств норму можно ввести, например, по формулам

. II {*> «} III = II * lip + IIU||р или II {х, и) ||2 = шах {|| * ||р, ■|| и ||р}.

48	ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я ти я

Обе эти нормы эквивалентны. Если Е и F — банаховы, то Е X F также банахово. Сопряженным к пространству Е X F будет пространство Е' X F\ ПРИ этом двойственность между £ X £ и £ ' X F' определяется функционалом

{/. &}({*>	«}) = f(x)-\-g(u)	(х(=Е, u<=F,	fe= Е',	g «=F').
Нормам	\|\| Hi и \|\| \|\|г соответственно отвечают нормы
\|\| {f, g ) \|\|, = max {IJ f \|\|£„ \|\| g \|\|£,}		и \|\| {/, g} \|\|2 =	\|\| f \|\|£, +	1\| g \\F,.

Пусть теперь E ® F —тензорное произведение нормирован ных пространств Е и F. Каждый элемент его z представим (не-

П	® Щ- Норму в Е <8>F можно вве-
однозначно) в виде z = 2	® Щ- Норму в Е <8>F можно вве-
t;=i
сти по формуле

II z Hi = inf SlUHLsIl ui Ил.

где inf берется по всевозможнымпредставлениям z =	П
	2
Эта норма обладает тем свойством, что \\х <8>'и\\ =	i=\
	\\x\\E\\u\\Ff и

является максимальной из всех норм, обладающих этим свой

ством (скрещенных норм).						приводятся в двойственность
Пространства Е ® F и Е' ® F'
с помощью билинейного функционала
			(z,	h) =	2 f, (Х{) g j (щ),
					i, }
где z =	2 * г О «г и А =			/	® £/•
	t .						и другая норма
В пространстве Е ® F рассматривается
\|\| z llg =		sup \| (z, /®		g)\	при	\\f\\B,= 1,		llgll£, = 1-
Норма II		1Ь	является	также скрещенной, она слабее первой
нормы:	\\z\\2^		\|\|z\|\|i. Норма		\|\| \|\|2 обладает		тем	свойством, что

она является минимальной из тех скрещенных норм, для кото рых двойственные нормы в £ ' ® F' являются скрещенными.

Двойственной	нормой к \|\| Hi в пространстве		£ ® F является
норма \|\| \|\|2 в пространстве Е' ® £'.			Е ® F в норме
Сопряженное	пространство	к пространству
II lb изоморфно	пространству	всех билинейных	функционалов
на Е X Ру непрерывных по совокупности переменных.
Пространство	Е ® £, вообще говоря, неполно по каждой из

введенных норм, даже если пространства Е и F банаховы. По

этому рассматривают пополнения Е ® F и Е ® F пространства Е ® F соответственно по нормам J|z||i и \\z\\&

§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Следующий		пример показывает, что				пространства Е		® F и
Е ® F, вообще говоря, не совпадают. Если F =							/1, то простран
ство Е ® It	изоморфно		пространству		всех абсолютно			сходя
щихся рядов в Еут. е. таких рядов
с»						оо
2 Х к		(хк ^ Е ),	для которых			2 lUftIK °°-
*=1						fc=1	оо
При этом		нормой ряда		является	величина		2 ll%JI-	Про-
странство Е	® F изоморфно			пространству всех			/2 = 1
							безусловно схо

дящихся рядов, т. е. рядов, сходимость которых не нарушается при любой перестановке их членов. Норма такого ряда опре

деляется как sup I S t e ||, где все \tk\ < 1.

Т е о р е м а Д в о р е ц к о г	о — Р о д ж е р с а . Совокупность
абсолютно сходящихся рядов	совпадает с совокупностью безус

ловно сходящихся рядов в банаховом пространстве Е тогда и только тогда, когда Е конечномерно.

Таким образом, если банахово пространство Е бесконечно мерно, то Е ® U Ф Е ® и.

Произведение £<8>С(0, 1) совпадает с пространством всех непрерывных на [0,1] функций со значениями в пространстве Е

с нормой [| х || = шах || х (t) \\Е. В частности, С(0, 1) ® С(0, 1) = 0<*<1

= С(/2) — пространство всех непрерывных функций на единич ном квадрате. _

Произведение £®Li(0, 1) дает пространство всех интегри руемых по Бохнеру (см. гл. II § 4) функций на [0, 1] со значе

ниями в Е . В частности, L \ (0, 1) ® Е\ (0,1) = L\ (I2).

Таким образом, тензорное произведение дает абстрактную схему для построения пространств функций нескольких пере менных по соответствующим пространствам функций одной пе ременной. Однако при этом существенно пополнять тензорное произведение по надлежащей норме.

В дальнейшем будут приведены и другие реализации тен зорных произведений пространств.

Л и т е р а т у р а : [25], [46], [90], [98].
7.	Рефлексивные банаховы пространства. Пусть				Е — линей
ное нормированное пространство и Е ' — пространство,					сопря
женное к Е . Поскольку Е ' является банаховым пространством,
то имеет смысл говорить о пространстве				Е " = (Е')',	сопря
женном'к Е' .		порождает на	Е '	непрерывный ли
Каждый элемент х0е Е
нейный	функционал F Xo(f)y	определяемый	равенством F ХО(/) —
~ f { x g). Таким образом, устанавливается			взаимно однозначное

50 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия

соответствие между элементами пространства Е и некоторым подмножеством я(£) пространства Е". Это соответствие яв ляется изометрией между пространствами Е и я (Е) и назы вается естественным отображением пространства Е в простран ство Е".

Подпространство я (Е) всюду плотно в Е" в слабой тополо гии пространства £", однако может с ним не совпадать.

Банахово пространство Е называется рефлексивным, если оно оказывается изометричным при естественном отображении

своему	второму	сопряженному	пространству	£",	т. е.	если
я (£) = £".						имеет
Так	как соответствие, осуществляющее изометрию,					имеет
в данном случае		специальный	вид (элементу	х ^ Е	сопостав

ляется элемент Fx(f) е Е"), то наличие изометрии между про странствами £ и Е" еще не позволяет сделать вывод о том, что пространство Е рефлексивно. Существуют так называемые ква-

зирефлексивные банаховы пространства £, для	которых Е" =
= я ( £ ')0 £ ,п, где Еп я-мерно. Эти пространства	Е изоморфны

пространствам £", но не являются рефлексивными. Существуют примеры нерефлексивных квазирефлексивных пространств Е, изометричных пространствам Е".

Всякое подпространство М рефлексивного (квазирефлексивного) пространства Е рефлексивно (квазирефлексивно); факторпространство Е/М рефлексивно (квазирефлексивно).

Рефлексивное пространство секвенциально слабо полно. Рефлексивность или нерефлексивность пространства связаны

с топологией единичного шара.

К р и т е р и и р е ф л е к с и в н о с т и б а н а х о в а п р о с т р а н с т в а . Для того чтобы банахово пространство было реф лексивным:

1) необходимо и достаточно, чтобы его единичный шар был компактен в ослабленной топологии а(£, Е') или, что то же, чтобы из всякой ограниченной последовательности элементов Е можно было выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся

кэлементу Е\

2)необходимо и достаточно, чтобы его единичный \шар был

замкнутым множеством в любой нормируемой топологии, срав нимой с топологией исходного пространства*).

3) необходимо и достаточно, чтобы всякий непрерывный ли нейный функционал f(x), определенный в £, достигал supremum’a на единичной сфере пространства £, т. е. чтобы существо вал элемент xf такой, что ||л:/|| = 1 и f(xf)=\\f\\.

Конечномерное пространство и пространства /р, Lp(0, 1) при р > 1 рефлексивны. Все остальные пространства, рассмотрен

*) Т. е. более слабой или более сильной.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 555 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023778.39 Кб0Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
12.11.202312.71 Mб4Функции комплексного переменного..pdf
#
12.11.20239.11 Mб7Функционально-стоимостный анализ (кейсы - примеры, задания, тесты)..pdf
#
12.11.202314.84 Mб0Функциональное программирование..pdf
#
19.11.202335.37 Mб0Функциональные наноматериалы..pdf
#
13.11.202324.9 Mб33Функциональный анализ..pdf
#
12.11.20233.08 Mб0Характеристики прочности и пластичности конструкционных материалов при высоких скоростях деформации..pdf
#
19.11.202329.55 Mб1Химическая технология вяжущих материалов..pdf
#
19.11.202333.32 Mб2Химическая технология неорганических веществ. Кн. 1.pdf
#
20.11.20234.58 Mб2Химическая технология неорганических веществ.-1.pdf
#
12.11.2023658.12 Кб2Химическая технология неорганических веществ..pdf