книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Здесь в обоих случаях в левой части неравенства стоит

мартингал (относительно Р*) с нулевым средним, а в пра­ вой — константа, оценивающая сверху его удвоенное среднее квадратическое уклонение; в силу неравенств Колмогорова и Чебышёва имеем

P * W )> 3 /4 , Р £ ( 4 ) > 3 / 4

При h ^ (4/)1)~1б2 из А\ вытекает поэтому Р* (Лб)

оценивается снизу Р^-вероятностью события А\ f| А% (которая не мень пе 1/2), умноженной на нижнюю грань экспоненты в (2.10) по этому пересечению. Сумма интегра­ лов под знаком экспоненты приводится к виду

т

В силу требования III этот интеграл (без знака -—) не пре­ восходит

щаются при достаточно малом h членом h"lyl и получаем неравенство (2.5).

202 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 5

Чтобы установить, что оно выполнено равномерно не

только по функциям срt с |ф*| ^ const, но и по всем функ­ циям с 50Т(ф) ^ s0, пользуемся равностепенной непрерыв­ ностью таких функций и леммой 2.1. Выбираем At > 0 так, чтобы колебание каждой из таких функций ф на от­ резке длины, не превосходящей At, было меньше 6/2; уменьшаем, если нужно, это At настолько, чтобы для ло­

биение отрезка от 0 до Г на равные отрезки длины, не пре­ восходящей At. Тогда для всех ломаных I, определенных по функциям ф с 5оХ(ф) ^ s0, модуль производной

\lt\ 6/2Дt. При h, меньших некоторого h0, для этих ло­ маных справедливо неравенство (2.5) с .6/2 вместо 6 и у/2

Теперь займемся получением оценки (2.G). Зададимся каким-то малым положительным числом х; по этому чис­

нами в точках (О, XQ), (te,X hAt)-(2M , Xh2AI) ,...,( T , X j),

Р*1р«т ( Л ф , ( * ) ) > 8 1 <

У\o0<t<Ai

Всилу известной оценки (см. Д ы н к и н [1], лемма 6.3) верхняя грань такой вероятности не превосходит

2 sup sup Ру [ |At — г/1> б'/2]. t<At У

Эту вероятность мы оценим с помощью экспоненциального чебышевского неравенства: для произвольного С > 0

ДtH(±C) <1 s0. При этом правая часть (2.12) не превосхо­ дит 2 ехр { — и соответствующими слагаемыми в (2.11) можно пренебречь по сравнению с ехр { —h ~ 1(s —у)}.

Второе слагаемое в (2.11) оценим с помощью экспонен­ циального чебышёвского неравенства:

$от(О —

где at = dL(y, р*)/3р зависят от у. С учетом этого мы мо­

жем утверждать, что математическое ожидание в формуле (2.15) не превосходит

поненты в правой части (2.18) /Г"1 ^ Н (Xf, (l-f-x)~"'1a*) ^

о

Пользуясь выбором 6' и неравенством (2.4), получаем, что i-e математическое ожидание в правой части формулы

Так как х >> 0 можно выбрать сколь угодно малым, то при h, меньших какого-то h0или равных ему, получаем оценку (2.6) для всех s $0.

§3. Частные случаи. Обобщения

Вэтом параграфе мы приведем теоремы о больших уклонениях для некоторых семейств марковских процес­ сов, вытекающие из теоремы 2.1 или только близкие к ней.

Прежде всего, условия теоремы 2.1 выполнены для семейств диффузионных процессов в Rr, задаваемых сто­ хастическими уравнениями

при стремлении параметра е к нулю, если только коэффи-

семейства процессов (Xf, р®): инфинитезимальный опера­ тор для функций / е С<2) имеет вид

(3.2,

В качестве параметра h предыдущего параграфа выступа­ ет е2; нормирующий коэффициент будет равен е~2. Далее, имеем

шее собственное значение матрицы (а^(д:)). В качестве

непрерывности функций Ь*0г), а^(х) и константы р, Л, В. Следующая теорема имеет дело с небольшим обобще­ нием этой схемы, и доказательство теоремы 2.1 в этом

случае нуждается лишь в небольших изменениях.

Т е о р е м а 3.1. Пусть функции bl(x), aij(x) в Rr ограничены и равномерно непрерывны; матрица (а{1(х))

в Rr с переносом Ъг (,х) = (b18 (я), . . ., Ьге (,х)) и матрицей диффузии г2{а^(х))\ пусть функционал S задается форму­ лой (3.5). Тогда е~2SoT(ф) является функционалом действия

Далее, этот результат можно перенести на диффузион­ ные процессы на дифференцируемом многообразии.

Т е о р е м а 3.2. Пусть М — r-мерное многообразие класса С(3> с метрикой р; пусть существует положитель­ ная константа X такая, что в Х-окрестности каждой точ­ ки хо е М можно ввести единую систему координат КХо, причем расстояние р отличается от соответствующего евклидова расстояния лишь в число раз, ограниченное рав­

номерно по всем КХо. Пусть (X?, Р£) при каждом е > 0 — диффузионный процесс на многообразии М (см. М а к к и н Ц]) причем его инфинитезимальный оператор в системе координат КХо записывается в виде

(Коэффициенты а^(х) при переходе к другой системе коор­ динат преобразуются как тензор, а в коэффициенты biF(x) при этом добавляется еще слагаемое порядка е2, включаю­ щее производные от а{'3(х).) Пусть bie(x) -*■ ЬЦх) при г -> 0 равномерно по всем х таким, что р(#о, х) < 31, и по всем выбранным системам координат КХо; пусть функции Ы(х), a{i(x) ограничены и непрерывны равномерно по всемх,

S задается формулой (3.5).

Тогда £~2SoT (ф) является функционалом действия для

семейства процессов (X 8, Рх) при е ->■ 0 относительно мет­

рики рог (ф, ф) = sup р (ф*, г|^), равномерно относи-

о

тельно начальной точки.

Рассмотрим еще некоторые семейства марковских про­ цессов, для которых функционал действия легко выпи­ сать, пользуясь формулами предыдущего параграфа, но то, что это действительно функционал действия, не выте­ кает из теоремы 2.1.

у которых хотя бы одна координата не является неубываю­

щей функцией).

Условия теоремы 2.1 неприменимы, потому что функция L обращается в + °° вне множества {р1 > 0, . . ., Рг ^ 0}.

Однако верно следующее.

Т е о р е м а 3.3. Функционал, задаваемый формулами (3.10), (3.9), является нормированным функционалом дей­

ы МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5

ствия для семейства процессов ^ при h \ 0 равномерно от­ носительно начальной точки (в качестве нормирующего коэффициента берется, естественно, ft-1).

Это — частный случай результатов Б о р о в к о в а [I] (правда, формально эти результаты относятся лишь к

скачки марковского процесса становятся при увеличении параметра во столько же раз чаще, во сколько меньше.

ляется функционалом действия для семейства процессов f л = (ila\ . .. , g®*), о < Т, при ha-^oo, h*а О,

равномерно относительно начальной точки.

Это — частный случай одной из теорем той же статьи Б о р о в к о в а [1] (многомерный случай — М о г у л ь- с к и й [1]).

§ 4. Следствия. Обобщение результатов главы 4

Посмотрим, можно ли перенести результаты, получен­ ные нами в §§ 2, 3 и 4 гл. 4 для малых возмущений динами­ ческой системы типа «белого шума», на малые скачкооб­ разные возмущения (и на возмущения диффузионного ти­ па, но с переменной диффузией).

Пусть xt = b(xt) — динамическая система с одним

устойчивым положением равновесия О; (X?, Р£) — се­ мейство марковских процессов вида, описанного в § 2.