Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

§ 4]	ВРЕМЯ ВЫХОДА И ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА	171
= (Т1 +	TYKmin Р2 {те < Тх + Т2})~{ <
	гео
	< 2 ( 7 \ + r 2)e x p ie -2(F0 +	d)l ,

если только е достаточно мало. Отсюда вытекает утверж дение а).

Докажем теперь утверждение б). Введем в рассмотре ние марковские моменты т&, ok и марковскую цепь Zn, определенные при доказательстве теоремы 2.1. Фазовым

пространством			цепи	Ъп	служит множество у [ j		3D,	где
у =	{х ^	Rr: \х — 0\ =\|л/2}. Для вероятностей					перехода
этой	цепи	за один		шаг	имеется оценка
Р (х, 3D) ^		шах Ру {тх =			т8} =	шах [Ру{т8 = тг <	Т) +
		уеГ				уеГ
						+ Pj,{xe = t i > 7’}].		(4.4)
Как следует из леммы 2,2,						Т можно выбрать столь
большим, что вторая вероятность допускает оценку
	Ру {*8 =		>	Т) < 4 - exp I - е "2 (V0 - h)}‘				(4-5)

Чтобы оценить первую вероятность, заметим, что траекто

рии	Xf,	0 ^ t ^ Г, для которых т8 =		< Г, при лю
бом	h >	0 находятся на	положительном	расстоянии от
множества функций {ф е			С^Т(ЯГ): ф0 = у,	50Г(ф) < F0—

— /г/2}, если только ц достаточно мало. Отсюда на основа нии свойства функционала действия получаем, что

Ру{тЕ = *1 < Т) < ехр {—e-2(F0 — Щ

при у е Г и достаточно	малых е, \х > 0.	и (4.5) сле
Из последнего неравенства, оценок (4.4)		и (4.5) сле
дует:
Р(я, 3D) ^	ехр { —e -2(F0 — fe)},	(4.6)

если е, ц достаточно малы.

Обозначим, как и в теореме 2.1, v наименьшее п, при

котором Zn =	Х\пе	3D. Из (4.6) следует, что
P*(v >	П} >	и - ехр { —е -2(У0 - fe)}

172 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4

при х е у.	Очевидно, т8 = (х1 — т0) +	(т2 — тх) + . . .
	00
. . .+(TV—тv-j), поэтому Мд-Т8 = 2 Мд. ( v >		п; т„ — хп-	{).
Пользуясь	п— 1		Xf
	строго марковским свойством процесса
относительно момента on- v получим, что

Мх {V > щ хп— тп_ А} > Мх {v > п; хп— ап_ !} >

^ Рх { v ^ n}* inf Млтх. асег

Последняя нижняя грань больше некоторой положитель ной постоянной не зависящей от е; это следует из того, что траектории динамической системы затрачивают на прохождение участка от Г до у некоторое положительное время.

Собирая все полученные оценки вместе, при достаточно малых 8 и [х для х ^ у получим

Мхте >	* i 2 ( l -
n *ev	n
- exp { - e " 2 (F0 -	h)})n~ l = t, exp {e~2 (F0 - A)] .

Отсюда вытекает утверждение б) при ж е у . Для лю бого учитывая, что Ра{т8 > хх) -> 1 при 8 -> О, будем иметь

МдТ8 = Мд. (т8 < Tj; т8} + М* {те > тх; т8} >


> М Я{х8> Xi, M8t т8} >		exp {(F0 — h) e- 2 ]x
X	Р Д т8>	t ! } > -j-exp {e_ 2 (F0 — A)}.
Тем самым доказано утверждение б) для			любых х е D.
З а м е ч а н и е .	Проанализировав		доказательство

этой теоремы, можно заметить, что предположения о глад


кости многообразия	3D и	о том, что (Ь(х), ?г(.г)) <		0 при
х е 3D можно ослабить.		Вместо них достаточно		пред
положить, что границы D и замыкания D совпадают и что
при любом х е 3D	траектория динамической		системы
xt(x) для всех t > О расположена в D.			распреде
Приведем еще один результат, касающийся

ления случайной величины т8 — момента первого выхода из D.

ВРЕМЯ ВЫХОДА И ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА

173

Т е о р е м а 4.2. Предположим, что выполнены усло вия теоремы 4.1. Тогда для всякого а 0 при х е U

lim Рж(ее~ 2(У‘ - а) < т8 < ее~2(^ +<х)} = 1.

		е->0
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Если UmPxltE> 6e			2(у«+а)}>
> 0	для	какого-то	а > 0, то lim		8->0		,
> 0	для	какого-то	а > 0, то lim		е2 In МЛте ^		V0 -г ccf
что	противоречит		теореме	4.1.	Поэтому	при люоом
а >	0 и	х е В
		lim Рх {т8 < exp (е~2 (F0 + а )]} =				1.	$.7)
		8—»О

Далее, используя обозначения, введенные при доказатель стве теоремы 2.1, можно написать

Рх \|тЕ< eB_2(V“-a )} <				М* {ti < Т8,		S	РХ\ W -	»,
				v		П=1
	те < exp [е~2 (F0 — a ))l} +						Р*{1е =	Ti}-	(4-8)
	Последняя вероятность в правой части (4.8) стремится
к нулю.		Оценим	остальные		слагаемые. Пусть				те =
=	[С exp {e -2(F0 — а )}]; постоянную С мы выберем поз
же.	Тогда	при
2	Ржlv = «, тЕ< exp {е-2 (F0 — a)} <
n=l			ОО
< P * {v <		тг) +	ОО	p x {v =га, т„ < ex p {e _2(F0 — a )ll<
< P * {v <		тг) +	2	p x {v =га, т„ < ex p {e _2(F0 — a )ll<
		n=m e
	< P x{v < m e} +			Px {Tme< e x p {e -2(F0 - a ) } / .					(4.9)
Используя неравенство Px{v =					1} <; exp { —e -2(F0 —h)},
которое выполняется при x e					у,	h >	0 и достаточно ма
лых е, получим
P«{v < mt} ^ 1 — (l — exp {— e						2 (F0 — h)})me-+ 0			(4.10)

174

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

1ГЛ. 4

вместе с е при любых С, а > 0 , если только h достаточно мало.

Оценим второе слагаемое в правой части (4.9). Можно выбрать такое 0 > 0, что Рл.{тг > 0} 1/2 при всех х е= у, 8 > 0. Для числа успехов Smв т испытаниях Бер нулли с вероятностью успеха 1/2 выполняется неравен ство

	P{Sm >771/3} > 1 - 6
при т > /п0.	Тогда,	так	как тт =	(тх — т0) + (т2 —
— тх) + . . . +	(тт — Тщ-j),		используя	свойство строгой
марковости процесса,		получим

	р* К е < ee~2(V“” а)} = Р*			< 4-] < б>	<4Л1)
0		1	и тг достаточно велико.
если -g- >			и тг достаточно велико.
Собирая вместе оценки (4.8) — (4.11), приходим к со
отношению
		lim P jx 6 < ее_2(Уо_а)) =		0, x<=D.	(4.12)
		Е—>О
Из (4.7) и (4.12) вытекает утверждение теоремы.					е 0
Перейдем			теперь к изучению	поведения при	е 0

инвариантной меры процесса Xf, определяемого уравнением (1.2). Для существования конечной инвариантной меры процесса Xf необходимо сделать некоторые предположения о поведении поля Ь(х) в окрестности бесконечности. Если

никаких предположений не делать, то траектории Xf могут, например, с вероятностью 1 уходить на бесконеч ность, в этом случае конечной инвариантной меры не су ществует. Мы будем предполагать, что вне достаточно большого шара с центром в начале координат проекция поля Ь(х) на радиус-вектор г(я), ведущий в точку х, отри цательна и отделена от нуля, т. е. существует столь боль шое число Nr что (&(#), г(я)) < — 1IN при \х\ > N.

Это условие, которое в дальнейшем называется услови ем Л, обеспечивает достаточно быстрое возвращение про

цесса Xf в окрестность начала координат и существова ние инвариантной меры. Доказательство можно найти

§ 4)

ВРЕМЯ ВЫХОДА И ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА

175

у Х а с ь м и н с к о г о [1]; там же содержатся и более общие условия, обеспечивающие существование конечной инвариантной меры.

Если инвариантная мера рЕ(*) процесса Х\ суще ствует, то она абсолютно непрерывна по лебеговой мере,

и плотность те (х) = удовлетворяет стационарному

прямому уравнению Колмогорова. В нашем случае это уравнение имеет вид

X АтЕ (*) - 2 ^1	(* )mS(*)) = °-	(4ЛЗ)
Вместе с дополнительными	условиями J rne(x)	dx —1,
	R r

гпг(#)> О, это уравнение единственным образом определяет функцию т? (х).

Рассмотрим сначала случай потенциального поля Ь(х): b(x) = —VU(x). Условия существования конечной ин вариантной меры в этом случае означают, что потенциал U(x) достаточно быстро растет вместе с \х\, например, быстрее некоторой линейной функции а\х\ + р. Оказы вается, что если поле Ь{х) потенциально, то плотность ин вариантной меры может быть найдена в явном виде. Не посредственной подстановкой в уравнение (4.13) проверя ется, что

тг (х) = сг exp { —2s-2 £/(#)},		(4.14)
где с6 — нормирующий	множитель, определяемый из
условия нормировки се=	^ J^exp {— 2е 2U (#)} =	dxj- 1.

Сходимость интеграла, входящего в определение се, является необходимым и достаточным условием существования конечной инвариантной меры в потенциальном случае.

Пусть D — некоторая	область в Rr.	Тогда р,8 (D) =»
= с8 J ехр { —2e-2U(x)}dx.	Используя	это представле-
D

ние, можно изучить предельное поведение р,8 при е		0.
Пусть U(х)	0, и в некоторой точке О потенциал	обра

176 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. 4

щается в нуль: U(0) =	0. Тогда нетрудно проверить, что
е2 In р8 (D) = е2 In с£+	е2 In \ехр (— 2е“ 2£/ (я)) dx-+
	Ъ
	inf 2U(x) (4.15)
	x& D

при 8 —> 0. С помощью метода Лапласа можно найти и бо

лее	точную асимптотику р8 («) при	е -> 0		(см. Б е р н
	ш т е й н		[1],		Н е в е л ь -
	с о н	[1 ]).		Если		поле
	Ь(х) не		потенциально,				то,
	вообще говоря, нельзя вы
	писать		явное		выражение
	для плотности инвариант
	ной меры. Тем не менее
	оказывается,			что		соотно
	шение	(4.15) сохраняется,
	если под 2 U(x) понимать
	квазипотенциал поля Ъ(х).
	Т е о р е м а				4.3. Пусть
	точка		О — единственное
	устойчивое положение рав
	новесия		системы (1.1), и
	все пространство					Rr при
	тягивается к				точке		О.
	Предположим,				что	выпол
нено	условие А. Тогда процесс Х\ при каждом 8 >					0	име
ет единственную инвариантную меру			р8,	и	для	любой

области D CL Rr с компактной границей dD,						общей для
D и замыкания Z),
	lim 82 in р8 (D) = -			inf V (О, х),		(4.16)
	е-»0			D
где V(0,	х) — квазипотенциал			поля	Ъ(х) относительно
точки О:	V(0,	х) =	inf {£ от(ср): Ф е		C0T{Rr),	ф0 = О*
Фг — х, Т > 0}		(рис.	8).

Наметим доказательство этой теоремы. Как уже отме чалось, из условия А следует существование и единствен ности конечной инвариантной меры. Чтобы доказать (4.16), достаточно проверить, что для любого h > 0 найдется е0 = eQ(h) такое, что при е < е0 выполняются

« 41	ВРЕМЙ	ВЫХОДА	Й ИЙВАРНАЙТЙЛЙ МЕРА	1?7
неравенства:
	а)	>	ехр{—е~2(У0 + Л)},
	б)	\|.i* (D) <	ехр{—e -2(F0 — /г)},

где F0 = inf V(0, z).

Если У0 = 0, то неравенства а) и б) очевидны. Мы оста новимся на случае VQ> 0. Ясно, что VQ> 0, только если р(0, D) = р0 > 0. Для доказательства неравенств а) и б) воспользуемся следующим представлением инвариант ной меры. Пусть у и Г, как и раньше,— сферы радиуса р/2 и р соответственно с центром в положении равновесия О; ji < р0. Как и при доказательстве теоремы 2.1, рассмот рим возрастающую последовательность марковских мо ментов т0, а0, т1? а1? т2, . . . Из условия А вытекает, что все эти моменты конечны с вероятностью 1.

Последовательность X®t, Х®8, . . . , Х®п, ... образует

марковскую цепь с компактным фазовым простран ством у. Вероятности перехода этой цепи имеют положи тельную плотность относительно меры Лебега на у. От сюда следует, что цепь имеет единственную инвариантную

нормированную меру Iе (dx). Как					вытекает,			например,
из	работы		Х а с ь м и н с к о г о		[1],		нормированная
инвариантная мера ре (•) процесса					X]	следующим обра
зом выражается через инвариантную меру цепи									(Х®п)
на	у:
		^ (D) = Се J М* ( %D{XI) ds I« (dx)t							(4.17)
			V	о
где	%D{x) — индикатор			множества	D,	а	множитель с8
определяется из условия нормировки р8 (Rr) =								1.	Поло
жим		TD =	min {£: Xf	е D у dD}.		Из	(4.17)		имеем
це (D) =		Сг j	Мх j xD (х*) ds Iе(dx) <
		v	о
			^ с ешах PX{^D <		ti}* шах			i.	(4.18)

y€.dD

178 окрестность положения Равновесия [гл. 4

Из условия А и компактности 8D следует, что равномерно пэ е < е0 < I

шах Мутх < аг < оо.	(4.19)
V&D

Далее, из анализа доказательства теоремы 2.1 вытекает, что при достаточно малых ц и е и ж е ^

РХ{Ъ < T*i} <	exp { - e - 2(F0 - hi2)}.	(4.20)
Принимая во внимание	соотношение

(dx))-\

нетрудно проверить, что при достаточно малых р, и е

0 < 1 п с е < А

(4.21)

Из оценок (4.18)—(4.21) заключаем, что при достаточно малых 8 выполняется соотношение

In pe (D) <			^		V o-h
					Е2	*

Чтобы доказать б), введем в рассмотрение множество
Z)_p = {х <= D:	р(я,		dD) >	Р}.	При достаточно		малых
Р это множество не пусто и				inf	F(0, х) <	F0+ft/4. Если
я е у и е , р >			зсео—р
	0 достаточно малы, то
Рж(min {t: Х\ е		D _p( < til >			exp (— е-2 (F0 +		hl2)\,
			Ti
inf		M* f XD (X s8) ds> a2 > 0.
oceD__p			0

Собирая эти оценки вместе, из (4.17) при достаточно малых 8 получим

ре (Z)) ^ сг•min Рх {min [t:X*<=D$} < TJ х

х^у

X inf М А XD ( X S) ds > се exp {— e“ 2(F0 + h/2)} •a2.

8 5]	ГАУССОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОЁЩЕГО ВИДА			179
Отсюда,	если	учесть	(4.21)г вытекает утвержде
ние б).
Отметим, что если поле Ъ(х) имеет устойчивые положе
ния равновесия,		отличные от нуля, то утверждение теоре
мы 4.3, вообще		говоря, неверно. Поведение инвариантной

меры в случае поля Ъ(х) более общего вида рассматривает ся в гл. 6.

§ 5. Гауссовские возмущения общего вида


	Пусть функция Ъ(х, у), х е	# г, у е	R1, со значения
ми в Rr такова, что \|Ь{хц уг)— Ь(х21 у2)\ < К-{\хг — х2\+
+	\У1 — УгI)-		X* — X* (х), t ^ О,
	Рассмотрим случайный процесс
который удовлетворяет дифференциальному уравнению
	X? = b {X le Q ,	Xl=*x,		(5.1)
где	Lt — гауссовский случайный процесс в R1.			среднее
	Будем считать, что процесс	£* имеет нулевое

и непрерывные с вероятностью 1 траектории. Для непре рывности, как известно, достаточно, чтобы матрица кор

реляций a(s, t) = (aij(s, t)), ali(s, t)	=	имела дваж
ды дифференцируемые элементы.	Обозначим b(x) = Ъ(х%

0). Процесс Х\ можно рассматривать как результат ма лых случайных возмущений динамической системы xt =*

= xt(x):

xt = b(xt), x0 = x.

В гл. 2 было показано,* что при е -* 0 равномерно на каждом конечном отрезке времени X* -* xt. Там же было изучено разложение X? по степени малого параметра е.

В этом параграфе мы займемся большими уклонениями X® от траекторий динамической системы xt.

Для непрерывных функций cps, s > 0, со значениями в R1 определим оператор S^cp) = и по формуле

u = ut = [b {u s, фa)ds + x.

180	ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ				[ГЛ. 4
Иными словами,			ut = В^Дф) — это	решение	уравнения
(5.1), где	вместо		подставлено cpt	и берется	начальное
условие	и0 =	х.	Через оператор	Вх можно	записать:
х? =	обозначать \| \|\|с и \| \\L*			нормы в	C0T{Rr)	и
Будем
LQT(R1) соответственно.						i/)
Л е м м а		5.1.	Предположим, что функции Ь(х,

удовлетворяют условию Липшица с константой К\ и =

= В^ф), v = В^ф), гдг ф, ф е C0T{Rr).					Тогда
		\|\|И- н\|\|с < к	У Г гкт \|\|ф -		41к>.
Д о к а з а т е л ь с т в о ,			По	определению		операто
ра Вх	имеем
	VA «	(
	VA «	J [&(“ .. Ф5) ~	b(vt, Tt>,)]ds
					t
			v, \|ds +		*J\| ф.	4 . 1ds-
					о
Отсюда с помощью леммы 1.1 гл. 2 заключаем, что
		т
I U -	v\|\|с <	ектк J I ф, -	t , I ds <	К ут ект\Ф -		ф Ц..
		о
Обозначим А корреляционный				оператор процесса £3.

Он действует в пространстве L Q T ( R 1)' по формуле

Aq>t = ja (s1t) ysds.

Как доказано в предыдущей главе, функционал дейст

вия для	семейства процессов е£* в пространстве LOT (R1)
при с	0 имеет вид
	<5'2>

Если А 1/2 фне определено, то считается, что 5ог(ф) — + 00•

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023374.36 Кб3Финансовый анализ деятельности предприятия..pdf
#
12.11.20232.23 Mб3Финансовый менеджмент..pdf
#
12.11.202311.22 Mб1Финишная обработка лепестковыми кругами..pdf
#
12.11.20238.65 Mб0Фитнес как эффективная система физического развития студентов..pdf
#
12.11.202310.86 Mб15Флотационные реагенты..pdf
#
12.11.202321.91 Mб4Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений..pdf
#
12.11.20234.35 Mб1Фоносемантическая звуковая картина мира..pdf
#
12.11.20237.17 Mб2Формирование гражданской компетентности..pdf
#
12.11.20231.78 Mб2Формирование системы мониторинга реализации программы социально-экономического развития региона..pdf
#
12.11.20238.74 Mб1Формирование состава остаточных нефтей..pdf
#
12.11.20231.26 Mб2Формирование физической культуры личности студента политехнического университета средствами спорта (на материале единоборств)..pdf