книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

2 < lim е2 In t (е~2) <1 lime2 In t (е—2) < 4; если эти нижний

е Г } = 1 для открытых множеств, содержащих К2. На­ конец, если lim е2 In £ (е—2) > 5, то распределение Х^е__2)

Субпредельные распределения за экспоненциальное вре­

параболических дифференциальных уравнений с малым параметром (см. ту же статью).

§ 7. Задачи о собственных значениях

Пусть L — эллиптический дифференциальный опера­ тор в ограниченной области D с гладкой границей dD. Наименьшее по модулю собственное значение Ах операто­ ра — L с нулевыми граничными условиями, как извест­ но,— действительное, положительное и однократное. Оно допускает следующую вероятностную характериза­ цию. Пусть (X*, Рх) — диффузионный процесс с произво­

могут быть применены к нахождению асимптотики собст­ венных значений — Ьг при е 0. Здесь возникают два качественно различных случая в зависимости от того, вы­

ходят все траектории динамической системы xt — b(xt) из D\JdD, или же в D имеются устойчивые со-предельные

вующий в (7.2), через а(Т). Прежде всего, ясно, что а(Т/п) ^ а(Т)/п при любом натуральном п (потому что значение функционала £(ф) хотя бы на одном из отрезоч-

такие, что любые две точки х и у из D{JdD можно соеди­ нить кривой y t(x, у), 0 < * < Т(х, у) ^ Т0, со значением

то большом Т минимум а(Т) достигается на функции ф.

Деля (7.3), (7.5) на Т и переходя к пределу при Т -> оо, получаем

? “ ‘ e(7 ,) < llm Г ~ 'а (Г )< П Ж T~i а (Т) 7’-1 (а (?)+ Л ). г—

(7.6)

Переходя затем к пределу при Т -> оо, получаем сущест­

274 ВОЗМУЩЕНИЯ НЛ БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6

при всех х, у ^ 0 —6, где 0 _ 5 — множество точек в 0 на расстоянии, большем чем 6, от границы. Это можно сде­

лать в силу леммы (1.4) (Т = Т, потому что функции ф* определены на одном и том же отрезке [О, Т ]; см. доказа­

Р* (те > Т, Хгт<= Z)_e} > Ре {рйГ (X е, ф) < 6} >

> е х р { — е - 2 [50Г (ф) + K r il^ e x p f — г~2Т (сх+3х)}.

(еще раз применяем лемму 1.4). Расстояние между мно­ жеством функций ф*, целиком лежащих в D при 0 ^ t ^

верхней оценки теоремы 3.2 гл. 5 при достаточно малых е для любого х е 0

Р* {те > Г ) < Ре {рог (X е, Фх (Т (с, - 2х))) > 6} <

< е х р { - е - * 2 , (е1 - 3 х ) } . (7.11)

§ 7] ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 275

Марковское свойство дает нам Р* {т8> /г Г }^ ехр { —пг~~2Х

X Т {сх— Зх)}, п

М£ехр {е—2Ьте} ^

с»

сительно римановой метрики, связанной с матрицей диф­ фузии, т. е. существует гладкая в D[JdD функция U(x)

о

да в D есть со-предельные множества системы xt = b(xt)- Предположим, что выполнено требование А § 2 (существо­ вание конечного числа компактов Ки . . ., К г, состоящих из эквивалентных друг другу точек, содержащих все со-предельные множества). В этом случае, как мы уже гово­ рили, наш процесс с малой диффузией хорошо прибли­ жается цепью Маркова с (I + 1) состояниями, отвечаю­ щими компактам K t и границе области dD, с вероятностя­ ми перехода порядка

ехр { -г -* У в (Кь К;)},

(7.15)

exp { - ^ V D{Kb dD)}

(вероятности перехода из 0D в Kt полагаются рапными О, диагональные элементы матрицы вероятностей перехода такие, что суммы но строкам равны 1).

Представляется правдоподобным, что условие конеч­ ности М х^ 8 близко к требованию конечности математи­

ческого ожидания е^8, где Vе — число шагов в цепи с указанными переходными вероятностями до первого достижения состояния dD. Пограничным между теми Я, для которых это математическое ожидание конечно и бес­ конечно, оказывается взятый с обратным знаком логарифм наибольшего после единицы собственного значения мат­ рицы вероятностей перехода.

Асимптотика собственных значений матрицы с эле­ ментами порядка (7.15) находится в заметке В е н т ц е л я 13]; обоснование перехода от цепи к диффузионному про­ цессу Xt — у В е н т ц е л я 12 ].

(iисключая собственное значение 1) стохастической матри­ цы с элементами, логарифмически эквивалентными вы­

леммы 3.1 и других лемм § 3: коэффициенты характеристи­ ческого многочлена матрицы вероятностей перехода, из которой вычтена единичная матрица, выражаются в ви­ де сумм произведений n(g) по PF-графам, откуда находит­ ся асимптотика этих коэффициентов; из нее выводится

чение Х\ всегда вещественно и однократно).

Что касается обоснования перехода от асимптотической задачи для цепи Маркова к задаче для диффузионного про­ цесса, оно разбивается на две части: конструкцию, связы­ вающую диффузионные процессы с определенными диск­ ретными цепями, не зависящую от наличия малого пара­ метра е; и оценки, связанные с цепями Маркова Z n, вве­ денными в § 2.

Для первого оказывается существенной следующая лемма.

Пусть (Хи Рх) — диффузионный процесс с производя­ щим оператором L в ограниченной области D с гладкой

где F<x>, F<2) определяются формулой (7.16).

В частности, если в области D имеется единственное асимптотически устойчивое положение равновесия О,

где F — квазипотенциал.

Теоремы 7.1, 7.4 не дают ничего содержательного в случае, когда внутри!) есть только неустойчивые предель­ ные множества или когда устойчивое предельное множест­ во находится на границе области. Некоторые результаты, относящиеся к этим случаям, содержатся в статье Д е- в и н а ц а, Э л л и с а , Ф р и д м а н а [1 ].

Результаты, содержащиеся в теоремах 7.3, 7.4, родст­ венны результатам § 6. В частности, константы, при пере­

Поясним механизм этой связи. Пусть (Xf, Р£) — диф­ фузионный процесс с малой диффузией на компактном многообразии М или процесс в замкнутой области D\JdD, останавливающийся по достижении границы; f(x) — не­ прерывная функция, обращающаяся в нуль на дБ. Допус­

тим, что функция ие (Д х) = Ml-/ (А7*6) — решение соот-

д н г

ветствующей задачи для уравнения — = Ьгиг — раз­

лагается в ряд по собственным функциям е\{х) опера­ тора —

с коэффициентами cf, получаемыми интегрированием Д умноженного на соответствующие собственные функции

е\ сопряженного оператора. (Так как оператор Ь г не

самосопряжен, предположение о возможности такого разложения не выполняется автоматически.) Допустим, что первые 10 собственных значений вещественны, неотри­ цательны и экспоненциально быстро убывают:

ж ехр {— С # " 2}, + °о > Сх> С2> ... > Cto.

и этот предел равен нулю при i > /. Если бесконечный хвост суммы (7.24) не помешает этому, то получим

цр(£(е“2), х) меняется при переходе lim е2 In t (е“ 2) через С]. е->0

Этим намечается путь, следуя которому, можно из ре­ зультатов, касающихся экспоненциально малых собст­ венных значений и собственных функций, делать выводы о поведении процесса на экспоненциально растущих про­ межутках времени и, что труднее, обратно.