книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

р*, определенным образом связанная со структурой глад­ кости на рассматриваемом многообразии; она обладает тем свойством, что относительно нее для гладких функций выполняется условие экспоненциально быстрого переме­ шивания:

I J Фх (*», (*)) Ф-2 (**. (*)) М* (dx) -

— j ФхИ 1-1* ( d x ) j Фа И 11* ( d x ) |<

< const-1 фД II Ф г f2,r

гДе II |i— норма в пространствеС(1) один раз непрерыв­ но дифференцируемых функций. Мера р* появляется в различных предельных задачах для динамической си­ стемы, связанных с гладкостью; она оказывается и пре­ дельной для инвариантных мер р8 возмущенной системы, независимо от конкретных характеристик возмущений.

Второй класс рассмотренных примеров относится к слу­ чаю, когда многообразие К\0 расслаивается на инвари­ антные многообразия, на каждом из которых инвариант­ ная мера невозмущенной системы единственна. Здесь предельное поведение меры р? зависит от устройства поля Ь(х) вне Ki0 и конкретного вида возмущений; оно может

быть найдено, если выделить в процессе Х\ «быстрое» и «медленное» движение и воспользоваться техникой, связанной с принципом усреднения (см. § 9 гл. 7). В работе

образием Л/, и это — двумерный тор; система имеет в ес­

тественных координатах вид x l = b 1(x), х\ = yb1 (х), Ьг(х) >> 0. В случае иррационального у инвариантная ме­ ра динамической системы единственна: она задается плот­ ностью С-Ь1(х)~1. В случае рационального у тор рассла­ ивается на инвариантные окружности со своей инвариант­ ной мерой на каждой. Плотность предельной меры выписы­ вается; и она, вообще говоря, не совпадает с C>bx{x)-x%

Введем одно определение, помогающее понять харак­ тер распределения меры р8 между окрестностями компак­ тов K t. Множество N CZ М будем называть устойчивымf если для любых х е Nх у ф. N выполняется У(х2 у) > 0#

Свойство устойчивости, как и эквивалентности точек,

зависит только от структуры системы хх = b(xt). Пример, изображенный на рис. И, показывает, что может суще­ ствовать устойчивое компактное множество, не содержащее ни одного устойчивого со-предельного множества (т. е. такого, что любая траектория динамической системы, начинающаяся вблизи от этого множества, не выходит за пределы его малой окрестности). В примере рис. 12 ус­ тойчивыми являются компакты К2и К4; a Kv К3неустой­ чивы.

Л е м м а 4.2. Если компакт Kt неустойчив, то суще­ ствует устойчивый компакт Kj такой, что V(Kh Kj) =

0. Она приводит к своему со-предельному множеству, содержащемуся в одном из компактов Ку, при этом V(Kh

устойчив, переходим таким же образом от него к следу­ ющему компакту, и т. д. В конце концов мы приходим

кустойчивому компакту.

Ле м м а 4.3. а) Среди {1}-графов, на которых дости­ гается минимум (4.3), есть такой, в котором из каждого номера т неустойчивого компакта, т Ф i, исходит стрел­

ка т —>■/ с V(Km, Kj) = 0, и компакт Kj устойчив.

б) Для устойчивого компакта К хз н а ч е н и е ^ {К х) можно вычислять по формуле (4.3), рассматривая графы на мно­

где минимум берется по всем устойчивым компактам К х.

не образовался цикл, то получаем {£}-граф с меньшим

б) То, что минимум по {ij-графам на множестве номе­ ров устойчивых компактов не больше прежнего миниму­ ма, вытекает из пункта а); противоположное неравен­ ство — из того, что любой {г}-граф на множестве номеров устойчивых компактов дополняется стрелками с нулевым значением F, исходящими из номеров неустойчивых ком­ пактов, до {г}-графа на всем множестве {1, . . ., I}.

щую из /, мы, не увеличивая суммы, получаем {/}-граф.

из номеров неустойчивых компактов исходят только стрел­

компакта; исходящей из него стрелке i -> к (к может быть

компактам K t .

254 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6

Из (4.4) вытекает, между прочим, то, что минимум W(Ki) может достигаться только на устойчивых ком­ пактах.

Рассмотрим пример — динамическую систему на сфе­ ре, траектории которой, изображенные на плоскости, имеют вид, представленный на рис. 12. Разумеется, у си­ стемы должна быть еще одна особая точка, не входящая в изображение, причем неустойчивая; и нужно ввести ком­ пакт Кб, состоящий из этой точки. Если значения

I [Кь Kj), 1 ^ i, у ^ 4, задаются матрицей (2.1), то зна­ чения W(Ki) для устойчивых компактов суть W(K^ = = 6, W(K3) = 9. Получаем, что при е ->• 0 инвариантная мера р8 сосредоточивается в малой окрестности предель­ ного цикла К2 и слабо сходится к единственной инвари­

антной мере системы xt = b(xt), сосредоточенной на нем (она задается плотностью относительно длины дуги, об­ ратно пропорциональной длине вектора Ь(х)).

где минимум можно брать либо по всем компактам, либо только по устойчивым. Пусть у — произвольное положи­ тельное число. Тогда для любой достаточно малой окрест­ ности (я) точки х существует е0 > О такое, что при

жащей ни одному из компактов Kh пользуемся следую­ щим приемом: присоединяем к компактам KL, . . ., Kt еще один компакт {х}. Полученная система непересекающихся

=W(Ki). Значение рр (<^р (х)) оценивается сверху р8 (gi)1

аоценка снизу получается при помощи леммы 1.8.

зок от 0 до 6, замкнутый в окружность. Пусть на нем рас­ сматривается семейство диффузионных процессов с инфи-

ках 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и ее значения в них равны соответ­ ственно 7, 1, 5, 0, 10, 2, 11. (Это — не случай потенциаль­ ного поля Ъ(х), рассмотренный в § 3 гл. 4, так как функция U не непрерывна на окружности М.) Здесь имеется шесть

троверяется, что для кривых, ведущих в точку х путем, опличным от кратчайшего, значение функционала больше). Далее находим V(lx 3) = V{lx 2) = 8г V(il 5) = V(\x 0) =

выбираем из них те, что минимизируют суммы (4.3). Для

Вычитая из этой функции ее минимум JF(5) = 22, получа­ ем нормированную функцию действия для инвариантной меры р8 при е 0; ее график представлен на рпс. 15 (напомним, что нормирующий коэффициент здесь есть

е-2).

Учитателя может возникнуть гипотеза, что при е -► 0 инвариантная мера одномерного диффузионного процесса с малой диффузией сосредоточивается на дне потенциаль­ ной ямы с наиболее высокими стенками; эта гипотеза неверна.

В формуле (5.3) Vp(a, p) можно также заменить на

F(a, (5) (здесь a = 7^, . . KL, a (J — один из этих симво­ лов или dD).

Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству лемм 4.1, 4.3. Лемма 4.2 заменяется доказываемой так же

где WDопределяется формулой (5.3), a WD(x, у) — форму­ лами (5.1), (5.2) или (5.4), (5.5).

Иначе говоря, асимптотика при г -»■ 0 распределения в момент выхода на границу для процесса, начинающегося в точке х, задается функцией действия 8~2 (И ^я, у) —

—WD), равномерно по начальной точке строго внутри D.

До к а з а т е л ь с т в о . Полагаем у' = у-4"1-1; вы­ бираем соответствующее р0 по леммам 2.1, 2.2. Выбираем положительное р2, меньшее, чем р0 и расстояние от мно­ жества F до dD; выбираем по тем же леммам положитель­

ное рх < р2; и пользуемся описанной в § 2 конструкцией с цепью Zn.

Для х <= U Gt пользуемся леммой 3.3 с L = {7^, . . .•

••ч у, dD}, W = {у, dD) и такими множествами

дит из D и притягивается к компакту Kt. Выделим из {дО}~графов на множестве {Кх, . . ., Кь, dD} те, на кото­ рых достигается минимум (5.3). В каждом из них рас­ смотрим цепочку стрелок, ведущую из Кг в dD; пусть пос­ ледняя стрелка в цепочке будет Kj ->■ dD, Множество

всех таких ] во всех выделенных графах обозначим через M(i),

Тогда с вероятностью, стремящейся к 1 при е ->• 0,

первый выход траектории Х *, начинающийся в точке х, на границу произойдет в малой окрестности множества

U Y,. eM(i)

dD) = 2, VD(KA, dD) = 1; VD (Kv dD) непременно равно + oo. Выделяем на dD множества Y2, Y3, У4. Здесь будет