книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

X? = у + еХ<1)+ о (е),

/ ( * ? ) - / ( 0 + Л ? \Х\1)\а + о(г%

не (t, х) = М,/ (X?) =/(< /) + еаШ х|X l 't f о (е“).

Математическое ожидание здесь находим, пользуясь гаус~ совостыо Х\1); оно равно

1„ -иУ2мЛх\Х))гл.. в

УглмДл'1/ ’)-1

-------П ------г(т+т|

Если функция / обращается в нуль в окрестности точки

Х\0) — положения в момент t траектории невозмущенной динамической системы (1.2), то все члены разложения (3.5)

некоторая постоянная. Мы вернемся к этому случаю в следующей главе.

Рассмотрим теперь в ограниченной области D a Rr с границией dD задачу Дирихле для эллиптического урав­ нения с малым параметром

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сначала Т(х) = +оо. Тогда для любого Т < оо расстояние от отрезка траекто­ рии хй(х), 0 < $ < Г, до границы dD области D положи­ тельно. Обозначим это расстояние 6Г. Для любого а > О при достаточно малом е0 > О

при е < е 0. Это следует из второго утверждения теоремы 1.2.

max |g(x)|.

D <JdD

На основе (3.18) приходим к следующей оценке:

< Фо* СоТ+ I2ое c ° * d s + а (ф0+ £осо0+

т|с(х®(ж))йг>

Так как а и е-с»т могут быть выбраны как угодно малыми

прп достаточно малых е, a sup |Х®(.г) — xs (.z)|-*-0 по O-^s-^T

вероятности при е -> 0 , то из последнего неравенства вытекает первое утверждение теоремы.

Пусть теперь xt(x) выходит из D правильным образом (рис. 1). Тогда тг(х) ->* Т(х) при е ->• 0 по вероятности. Действительно, при достаточно малых 6 > О

•^гСя)—б(^) ^ D, ^т(зс)+б(^) ^ D U dD.

Пусть бх — расстояние от отрезка траектории хД#), s е

только, что она непрерывна. В этом случае задача (3.15) может, вообще говоря, выйти на спектр: ее решение может существовать не для любой правой части и не быть единст­ венным. Как говорилось в § 5 гл. 1, для того чтобы этого

траектория xt(x) выходит из D правильным образом и

проведенного при доказательстве теоремы 3.2, если xt(x)

§ 31 УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 95

Так как величина б может быть выбрана произвольно малой при достаточно малом е, то из последнего неравенст­ ва получаем утверждение леммы:

Me**' < 2 ех'21-,Сп+1>Р)С|те > 2 7 » <

п—0

2 ( Д 2Т”6 )П= .4 (Л) < оо.

п=0

С л е д с т в и е . При любом к > 0 найдется постоян­ ная В = В(А;) такая, что ^ ВеК Отсюда в силу лем­ мы 3.1 вытекает, что

М, (т8)* < В (к) М У < В (А’) А (1) = Л < оо.

Т е о р е м а 3.3. Пусть выполнены условия 1)—3), область D ограничена и имеет гладкую границу dD, функ­ ция \|)(я) на dD непрерывна. Предположим, что при всех

гладких граничных условий), то лучшие результаты здесь дают не прямые вероятностные, а чисто аналитические или же комбинированные (см. Холланд [1]) методы. Рассмот­ рим пример задачи с негладкими граничными условиями.

Пусть характеристика xt(x), t ^ О, выходящая из внутренней точки х области D с гладкой границей, выхо­ дит из области, пересекая ее границу при значении пара­ метра t0; в точке у = xto(я) вектор Ь(у) направлен строго наружу области. Пусть иг — решение задачи Дирихле Ьгиг = 0, иг —>•1 при приближении к некоторой под­ области Гх границы, иг 0 при приближении к внутрен­ ним точкам dD \ Г\ (и всюду иг ограничено). Предполо­ жим, что поверхностная мера границы Гх равна нулю Тогда решение единственно, и ие(х) представляется в виде

ие(х) = М лг, (Х т8е).

Если у — внутренняя точка Гх или dD \ Гх, решение иг в точке х при е —^ 0 стремится к 1, соответственно к 0 (результаты, касающиеся порядка стремления, должны опираться на результаты типа больших уклонений; см. гл. 6, теоремы 2.1 и 2.2). Если же у принадлежит гра­ нице области Гь то разложение (2.15) сводит вопрос об асимптотике ие(х) к вопросу об асимптотике вероятности

попадания гауссовского случайного вектора Х ^ — Х(/о0)Х

в раздуваемую в е 1 раз проекцию Гх на ка-

сательную плоскость (в двумерном случае — прямую). В частности, в двумерном случае, если Гх — отрезок дуги с точкой у в качестве одного из концов, то lim ие{х) = 1/2.

То же будет и в случае большего числа измерений, если граница области Гх гладка в точке у. Если эта граница в точке у имеет «уголок», задача сводится к задаче о веро­ ятности попадания нормального случайного вектора с ну­ левым средним в угол (телесный угол, конус) с вертт иной в нуле. После аффинного преобразования печь идет о на­ хождении величины угла (телесного утла).

Отсюда вытекает, что вероятность отклонения процесса

Х*(х) от траектории динамической системы убывает с умень­ шением е экспоненциально быстро:

жество А пространства непрерывных функций на отрезке от 0 до Г содержит функцию xt(x) вместе с ее 6-окрест­ ностью в этом пространстве, то основной вклад в вероят­ ность Р{Хе(;г) <= А } дает эта 6-окрестность; вероятность остальной части множества А экспоненциально мала.

Во многих задачах представляют интерес вероятности P{Xe(;r) G 4 ) для множеств А , не содержащих функции x t(x) и ее окрестности. Такие задачи возникают, например, в связи с исследованием устойчивости при случайных возмущениях, когда основной интерес представляет ве­ роятность выхода из окрестности устойчивого положения равновесия или предельного цикла за какое-то фиксиро­ ванное время, или вычисление среднего времени выхода из такой окрестности. Подобные задачи возникают, как мы увидим, при изучении предельного поведения инвариант­

ной меры диффузионного процесса X® при е 0, в связи с исследованием эллиптических дифференциальных урав­

при е ->■ 0. Оказывается, что и в этом случае, при некото­ рых предположениях относительно множества А , можно указать такую функцию ср е А , что основная часть вероят­ ностной меры множества А будет сосредоточена вблизи функции ф; точнее, для любой окрестности U(ф) этой