книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 1Ц

использованную в статьях В е н т ц е л я , Ф р е й д л и - п а [1], [4]. Для этого частного случая аналогичные ре­ зультаты были получены в статье III и л ь д е р а [1 ].

§ 3. Функционал действия. Общие свойства

Содержание § 2 делится на две части: то, что относится именно к винеровскому процессу, и то, что касается вооб­ ще формы описания грубой (с точностью до логарифми­ ческой эквивалентности) асимптотики семейств мер в метрических пространствах. Рассмотрим отдельно второй круг вопросов.

Пусть X — метрическое пространство с метрикой р. Пусть на а-алгебре его борэлевских подмножеств задано семейство вероятностных мер р/1, зависящее от параметра

лении к другому пределу, или к оо, или для параметра; принимающего значения не на числовой оси, а в более общих множествах, очевидны).

Пусть X(h) — положительная числовая функция, стре­ мящаяся к +сх> при h | 0; S(x) — функция на X, при­ нимающая значения из [0, оо]. Мы будем говорить, что

%(h)S(x) — функция действия для рЛ при h | 0, если выполнены следующие утверждения:

(0)при любом s ^ 0 множество Ф($) = {х: S(x) ^ s} компактно;

(1)для любого б > 0, любого у > 0, любого х е X

существует ho > 0 такое, что при всех h <1 ho

(II)для любого б > 0, любого у > 0, любого 5 > 0

существует ho > 0 такое, что при h ^ ho

деленных на вероятностных пространствах {Qh,@~h, Ph}, функция действия для семейства распределений р/1,

pA(^) = рл{£л e i } , называется функцией действия для семейства В этом случае формулы (3.1), (3.2) прини­ мают вид

ющем коэффициенте нормированная функция действия

пределение Пуассона с параметром h\ и мы интересуемся

будем пользоваться термином функционал действия. Так, для семейства случайных процессов ewt, где wt — вине-

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИЗ

Было бы желательно получить сразу значительное число примеров семейств случайных процессов, для кото­ рых мы могли бы указать функционал действия. Сделать это нам поможет следующий результат (Ф р е й д л и н [7 ]).

Т е о р е м а 3.1. Пусть ,k{h)S'l{x) — функция действия для семейства мер рл на пространстве X (с метрикой рх ) при h \ 0. Пусть <р — непрерывное отображение X в пространство Y с метрикой рг , и мера vh на этом прост­ ранстве задается формулой vh(A) = ^(ф -^Л)). Тогда асимптотика семейства мер vh при h { 0 задается функ­

цией действия X(h)Sv(у), где Sv(y) = min {S“(x): х^ср-Цу)} (,минимум по пустому множеству полагаем равным-^ оо).

произвольное у ^ Y и какую-то окрестность этой точки. Если Sv(y) = oo, то доказывать нечего; если же Sv(y) <сю,

существует х такое, что ф(.г) = у, Sv(y) = 5ц(;г). Берем окрестность точки х, образ которой входит в выбранную окрестность точки у, и получаем нужное нам условие.

Перейдем теперь к условию (II). Прообраз множества {у: ру (у, Ф » )> б }п р и отображении ф замкнут и не пересе­ кается с компактом Фм($); поэтому можно выбрать поло­ жительное б' такое, что б'-окрестность Ф^($) не пере­ секается с Ф"‘1{у: ру(у, Фv(s)) ^ б}. Из неравенства (3.2) с pY, Фд и б' вместо б вытекает такое же неравенство для

мер vh, pY, Фу и б.

Пользуясь этой теоремой в частном случае, когда X и Y — одно и то же пространство, но с разными метриками, получаем, что если X(h)S(x) —.функция действия для

действия и в метрике рг. Конечно, это простое утвержде­

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 115.

Of(t) = fт G(s, t)f(s)ds,-

6

и выразим функционал SOT через оператор, обратный к G. Это будет, вообще говоря, неоднозначный оператор, пото­ му что оператор G переводит в нуль некоторое пространст­

во L0Q L OT» которое может быть нетривиальным. Мы искусственно сделаем обратный оператор однозначным,

такая, что 5ф = ф и SOT (Ф) < оо. При этом функция ф

абсолютно непрерывна, и бф = Сф; поэтому

116 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3

ренциальному уравнению

•

где w t — одномерный процесс белого шума. Чтобы выде­ лить единственное решение, нужно еще задать п гранич­ ных условий; будем считать их для простоты однородными линейными, причем неслучайными. Обозначим через G($, t) функцию Грина граничной задачи, связанной с

можно представить в виде X* = е j G(s, t ) d w 8J т. е. Хе=

*= G(ew). Соответствующий оператор в этом случае имеет

однозначный обратный с областью опреде­

ления, состоящей из функций, удовлетворяющих гранич­ ным условиям. Отсюда заключаем, что функционал дейст­

семейства многомерных случайных процессов, являющихся решением системы линейных дифференциальных уравненений, в правых частях которой стоит белый шум, умно­ женный на малый параметр.

В следующей главе (§ 1) с помощью того же приема, основанного на теореме 3.1, мы установим, что функцио­ нал действия для семейства диффузионных процессов,

8 31 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 117

возникающих в результате возмущения динамической

т

х J |ф* — b(ift)\4t.

О

Рассмотрим условия (0), (I), (II) подробнее. Условие (0) в случае полного пространства X можно

разбить на два: полунепрерывность S(x) снизу на X (что равносильно замкнутости множества Ф($) при любом 5) и условную компактность множества Ф($); такое разбие­ ние удобно для проверки этого условия (см. лемму 2.1). Условие полунепрерывности S не очень обременительно: легко доказать, что если для функций Цк), S(x) выполне­ ны условия (I), (II), то они также выполняются для Я,(А)и полунепрерывной снизу функции S (х) = S (я) Д lim S(y).

уточненном виде при доказательстве теоремы 2.1 гл. 5.)

Докажем только последнее утверждение. Значения функции S на замкнутом множестве А — {у: р(г/, Ф($)) ^ > 8 } больше, чем s; поэтому нижняя грань S(y) по этому множеству больше s. Выберем положительное у так, что­ бы inf (5(у): у ^ А } > s 2у; тогда А П Ф(« + 2у) = = 0 . Выбираем положительное 8', не превосходящее р(Л, Ф($ + 2у)) (это расстояние положительно в силу

венством (3.2) для 6' вместо 6 и s + 2у вместо s. Условия (I), (II) в качестве формы описания грубой

асимптотики вероятностей больших уклонений введены в

статьях В е п т ц е л я, Ф р е й д л и н а [1 ], [4 ]; есть другие способы такого описания, но при выполнении

h10

Те о р е м а 3.3. Условия (I) и (Г) равносильны, из (1Г)

вытекает (I D , а из (0) и (II) вытекает. (II')-

Таким образом, (I) фф (Г), (И) ФФ (1Г) при выполнении

условия (0).

Д о к а з а т е л ь с т в о . То, что (I') =Ф (I), (Г) =Ф (I), (ТГ) =ф>(II) доказывается очень просто; докажем, напри­

y ^ A }—у. Замкнутое множество А не пересекается с ком­ пактом Ф($), поэтому б = р(И, Ф(«)) > 0. Пользуемся неравенством (3.2); получаем, что при достаточно малых h

Логарифмируя, деля на нормирующий коэффициент Щ)

вероятностей больших уклонений характеризуется одним условием вместо двух ((I) и (II) или (Г) и (II')).

Будем называть множество A cz X регулярным (отно­ сительно функции S), если нижняя грань S по замыка­ нию А совпадает с нижней гранью этой функции по мно­

Т е о р е м а 3.4. Из условий (0), (I), (II) вытекает условие (I х/2). При этом, если А — регулярное множество,

более того, если А — не борелевское регулярное множест­ во, то (3.6) выполняется, если заменить рл(Л) на соответ­

точек, находящихся на расстоянии, большем чем б, от до­ полнения А. Положим $ (±6 ) = inf{S(.z): х е Л±б} (нижнюю грань по пустому множеству полагаем равной +оо). Функция s определена при всех действительных значениях аргумента, кроме 0; в нуле доопределим ее значением hd{S{x): а: е А). Легко видеть, что это — невозрастающая функция, и она непрерывна во всех точках, за исключением, может быть, счетного числа.

Если А — открытое множество, то функция s непре­ рывна слева в нуле; поэтому для сколь угодно малого у > > 0 можно выбрать б > О такое, что s(—б) < 5(0) у, причем функция s непрерывна в точке —б. Последнее обеспечивает возможность применения соотношения (3.6)

В случае замкнутого множества А пользуемся услови­ ем (0), чтобы установить непрерывность функции 5 справа в нуле, а дальше повторяем то же рассуждение с заменой

носительно функционала SOT, рассмотренного в примере 3.3. Чтобы проверить это, умножим все элементы А на число д, меньшее единицы, но близкое к ней; открытое множество q*A = q*{A) поглотит [А], а нижняя грань функционала, как и все его значения, изменится лишь незначительно (умножится на g2).