книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdfГ Л А В А 7
ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ. ФЛУКТУАЦИИ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
СУСРЕДНЕНИЕМ
§1. Принцип усреднения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в Rr
|
Z? = e b { Z l l t\ |
Z l = x t |
(1.1) |
где £*, t ^ |
0,— функция, принимающая |
значения в R1, |
|
г — малый |
числовой параметр, |
Ь(х, у) = |
(Ьг(х, у), . . |
Ьг(х, у)). Если функции Ь1(х, у) растут не слишком быстро, то на каждом конечном отрезке времени [0, Т ] решение
уравнения (1.1) равномерно сходится при е - > 0 к Z\ = x,
Однако обычно интерес представляет поведение Z* на от резках времени порядка е-1 и больших, так как только на временах порядка е-1 в системе (1.1) происходят зна чимые изменения, такие, например, как выход в окрест ность положения равновесия или периодической траекто рии. Для исследования системы на интервалах вида [0, Ге"1] удобно перейти к новым переменным так, чтобы
временной интервал не зависел от е. Положим Xf = Z®/e. Тогда уравнение для X] примет вид
Х? =Ь(Х?,Ь/е), ХоЕ = * . |
(1.2) |
Изучение этой системы на конечном отрезке времени рав носильно изучению системы (1.1) на отрезках времени порядка е"1.
282 |
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ |
[ГЛ. 7 |
Пусть функция Ь(х, у) непрерывна по х и у, ограничена и удовлетворяет условию Липшица по х с константой, не зависящей от у:
IЬ{хи у) — Ъ{хг, г/)К Я |*i — *г|.
Предполон им, что при х е й '
т
Нга^- |
У ds = b(x). |
(1.3) |
Т -сс Т J
Ес-ли этот предел существует, то функцпя 6(.г), очевидно, ограничена и удовлетворяет условию Липшица с той же константой К. Условие (1.3) выполняется, например, если функция периодическая или представляется в ви де суммы периодических.
Перемещение траектории Х\ за малое время Д можно записать в виде
л |
|
XI - * = \b{xt, |
= |
О
лл
- f ь (X, |
L/e) d s + \ [b {XI, Ы - |
Ъ(х, Ь/е)] |
* |
= |
6 |
о |
|
|
|
|
л/е |
\ |
|
|
|
J |
М ^ У * ) |
+ |
Ре(А)- |
Множитель при А в первом слагаемом правой части пос леднего равенства при е/ Д- >0 в силу (1.3) стремится к
Ь(х). Второе |
слагаемое удовлетворяет |
неравенству |
|р8(Д)| < К Д2. Таким образом, перемещение |
траектории |
|
Х\ за малое время Д лишь величиной, бесконечно малой по сравнению с Д при Д О, е/Д -> 0, отличается от пере
мещения за то же время траектории ххдифференциального уравнения
хх b^Xf)4 XQ X, |
(1Л) |
Отсюда, если предположить, что предел в (1.3) сущест
§ 1] УСРЕДНЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 283
вует равномерно по х, можно получить доказательство того факта, что при е — О равномерно на каждом конеч
ном отрезке времени траектории Х\ сходятся к решению уравнения (1.4).
Утверждение о близости траекторий X* и xt называет
ся принципом усреднения. |
можно сформулировать п в |
||||
Аналогичный |
принцип |
||||
более общей ситуации. |
Рассмотрим, |
например, систему |
|||
|
|
|
|
|
(1.5) |
где х е Rr, ? G |
Л(, |
и Ь2 — ограниченные, |
непрерывно |
||
дифференцируемые функции |
на Rr X R1 со |
значениями |
|||
ъ Rr и R1 соответственно. Скорость |
движения по пере |
||||
менным £ имеет порядок е*"1 при е |
0, поэтому эти пере- |
||||
мэнные называют быстрыми, |
а пространство R1 — прост |
||||
ранством быстрых движений; х — медленные переменные. Рассмотрим быстрое движение |*(.г) при фиксирован
ных медленных переменных х е |
Rr: |
= Ъг(х, Ы-г)), |
10(х) = у, |
и предположим, что существует предел
т
(1.6)
Пусть для простоты этот предел не зависит от начальной точки у траектории Hs(.r). Принцип усреднения для систе мы (1.5) состоит в том, что при некоторых предположениях перемещение в пространстве медленных движений на каж дом конечном отрезке времени аппроксимируется траек торией усредненной системы
Xt — bl{xi), хй = х.
Для уравнения (1.2) роль быстрого движения играет
■£? = Ь/е. В этом случае скорость быстрого движения не зависит от медленных переменных.
284 |
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ |
[ГЛ. 7 |
Хотя принцип усреднения уже давно применяется в задачах небесной механики, теории колебаний, радиофизи ки, долгое время не существовало математически коррект ного обоснования этого принципа. Первый общий резуль тат в этой области был получен Н. II. Боголюбовым (см. Б о г о л ю б о в , М и т р о п о л ь с к и й [1]). Им было показано, что если предел (1.3) существует равномерно
по х, то решение Х\ уравнения (1.2) равномерно на каж дом отрезке сходится к решению усредненной системы (1.4). При некоторых предположениях была также оцене на скорость сходимости и построено асимптотическое раз ложение по степеням малого параметра. В работе Б о г о
л ю б о в а , З у б а р е в а [1] (см. также |
Б о г о л ю |
|||
б о в , |
М и т р о п о л ь с к и й |
[1]) |
эти |
результаты |
распространяются на некоторые |
случаи |
системы (1.5), |
||
а именно: на системы, в которых быстрое движение одно
мерно, и уравнение для |в имеет вид gf = г~~{Ь2(X*) и несколько более общий. В. М. Волосов получил ряд ре зультатов относительно общего случая системы (1.5) (см. В о л о с о в [1]). Однако в случае многомерных быст рых движений требование равномерности стремления к пределу в (1.0), которое обычно накладывается, исключает из рассмотрения ряд интересных задач, например задачи, возникающие при возмущениях гамильтоновых систем. В довольно общей ситуации удается доказать, что лебего
ва мера множества Fp начальных условий в задаче (1.5),
при которых snp |
I Xf — хЛ > р, |
для |
любых |
Т > 0 и |
0<*<Г |
|
|
|
|
р > 0 стремится |
к нулю вместе с |
е. Этот |
результат, |
|
полученный в работе А н о с о в а |
[1], в дальнейшем уточ |
|||
нялся для систем специального вида |
(см. Н е й ш т а д т |
|||
[1]).
Таким образом, если система дифференциальных урав нений приведена к виду (1.2) или (1.5), то ясно, как, по крайней мере, формально, написать уравнение нуле вого приближения. В ряде случаев можно указать и про цедуру для нахождения высших приближений. При иссле довании конкретных задач прежде всего необходимо выб рать переменные такл чтобы быстрое и медленное движе ния разделились.
§ 1] УСРЕДНЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ |
285 |
Рассмотрим в качестве примера уравнение |
|
x t + со-х = е/(дг, х, t), х s Л1. |
(1.7) |
••
Если /(#, #, t) = (1 — #2).г, то это уравнение переходит в так называемое уравнение Ван дер Поля, описывающее самовозбуждение колебании в ламповом генераторе. При е = 0 мы получим уравнение гармонического осцил
лятора. |
На фазовой плоскости |
(ху х) решения этого |
урав |
|
нения |
изображаются в виде |
семейства |
эллипсов |
х = |
= г cos (cot + 9 ) ’ х — —го) sin (cot -f 0), |
вдоль которых |
|||
фазовая точка вращается с постоянной угловой скоростью со. При отсутствии возмущений (в = 0) амплитуда г опре деляется начальными условиями и не меняется со време нем, а фаза cpt = со£ + 0. Если теперь е отлично от нуля, ио мало, то амплитуда г и разность ф* — соt, вообще гово ря, уже не будут постоянны, ио можно надеяться, что ско рость изменения этих величин мала вместе с е. Действи
тельно, переходя от переменных (х, |
х) к переменным |
|||
Ван дер Поля (г, 0), получим |
|
|||
^ |
= |
е^(сог + |
е8, ге, 0 , |
r o = r Q |
|
|
|
|
( 1.8) |
^ |
= |
eF2(tel + |
08,r 8, О, |
0о= ел |
где функции Fx(s, г, t), F2(s, г, t) задаются равенствами
F1 (s, г, t) = — ~ / (г cos s, г sin s, £) sin
F2 (S, r, 0 = — 7^- / (r cos s, — r sin s, <) cos s.
Таким образом, в переменных Ван дер Поля (г, 0) урав
нение записывается в виде (1.1). Если f(x, х, t) от t явно не зависит, то Fx(cot + 0, г), F2(cot + 0 » г) —- периоди ческие по t функции, и условие (1.3) выполняется. Следо вательно, к системе (1.8) применим принцип усреднения.
В случае, когда f(x, х, t) периодически зависит от послед него аргумента, условие (1.3) тоже выполняется. Если час
286 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
тота со и частота v функции / но t не соизмеримы, то ус редненные правые части системы (1.8) имеют вид (см.,
например, |
Б о г о л ю б о в , М и т р о п о л ь с к и й [1]) |
|
|
|
2л 2л |
Fi (г) = |
— 4 ^ 7 |
j* | / (г cos ф, — г sin ф, vt) sin tp cty dt£ |
|
|
О о |
|
|
(1.9) |
|
—4^ - |
2л 2л |
Pi ( г ) = |
j J f ( r cos^, — г sin -ф, vf)cosvj)d\|jdt. |
|
|
|
О о |
При соизмеримых со и v тоже нетрудно вычислить усред ненные правые части системы (1.8). На основе принципа усреднения можно сделать вывод, что при е -*■ 0 траек
тория (г?, 8*) равномерно на отрезке [0, Те- 1] сближается с траекториями (г*, 0/) усредненной системы
7-t = zFx(rt), 0t = t\ (r,)t r0 = r0) 0O= 0O.
Используя такую аппроксимацию, можно сделать целый ряд интересных выводов о поведении решений уравнения
(1.7). Пусть, например, F^TQ) = 0, и функция Рг(г) поло жительна слева от г0 и отрицательна справа, т. е. г0 есть амплитуда асимптотически устойчивого периодического решения усредненной системы. Тогда с помощью принципа усреднения можно показать, что в системе, описываемой уравнением (1.7), при произвольных начальных условиях установятся колебания с амплитудой, близкой к г0, и час тотой, близкой к со, если только е достаточно мало. В слу
чае, когда функция Рх(г) имеет несколько нулей, в которых она меняет знак с плюса на минус, амплитуда колебаний, которые установятся через большое время, будет уже за висеть от начального состояния. Мы еще вернемся к урав нению Ван дер Поля в § 8.
Уравнение (1.7) описывает систему, которая полу чается в результате малых возмущений уравнения осцил лятора. Можно рассмотреть возмущения механической
системы общего вида. Пусть |
система консервативна, |
H(Pi Я) ее функция Гамильтона, |
и уравнения возмущен |
§2] |
|
БЫСТРОЕ ДВИЖЕНИЕ —СЛУЧАЙНЫЙ |
ПРОЦЕСС |
|
287. |
|
ной системы можно записать в виде: |
|
|
|
|
||
dt |
= |
+ е/р (pB,qF')i |
|
|
|
|
dt |
= |
- ^ O'*» ?*) + e/« O'*» ?*)’ |
iz = l’ 2’ |
n. |
|
|
|
|
|||||
Если и = |
1, p == #, q — x n H(p, q) — q2 |
-\- (о2/Л /р |
= О» |
|||
fq ~ f(Pi |
Q)i TO эта система равносильна уравнению (1.7). |
|||||
В случае одной степени свободы (п = |
1), если множества |
|||||
уровня Н(р, q) = С = const являются гладкими кривы ми, гомеоморфными окружности, тоже можно ввести новые переменные так, чтобы быстрое и медленное движе ния разделились. В качестве таких переменных можно взять значение функции Гахмильтона Н(р, q) = Я и угло вую координату ср на множестве уровня. Тогда, так как
для невозмущенного движения Н{ри Qt) — О, то Я(/?®, будет медленно меняться.
Ясно, что если выбрать в качестве переменных (Я', ф), где Я ' — какая-то гладкая функция от Я, то Я ' тоже бу дет медленно меняться. Так, в переменных Ван дер Поля
медленная переменная г = ] / Я . Чтобы система сохрани ла гамильтонову форму, часто берут вместо переменных (Я, ф) так называемые переменные действие — угол (/, ф) (см., например, А р н о л ь д [1 ]), I = Я/со. В многомер ном случае медленно меняющимися переменными будут первые интегралы невозмущенной системы. В некоторых случаях (см. А р н о л ь д [1], гл. 10) в гамильтоновых системах с п степенями свободы можно также ввести пере менные действия — угол (/, ф); в этих переменных быстрое и медленное движение разделяются, а система уравнений сохраняет гамильтонову форму.
§ 2. Принцип усреднения, когда быстрое движение есть случайный процесс
Условие (1.3), которое влечет за собой принцип усред нения, как уже говорилось, выполняется, если функция It периодическая. С другой стороны, на это условие мож но смотреть как на некоторый закон больших чисел; тог да (1.3) выполняется, если значения, принимаемые функ
288 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ 1ГЛ 7
цией Е* в далеко отстоящие моменты времени «почти независимы».
В дальнейшем мы будем считать, что роль быстрых переменных играет случайный процесс. Сначала остано вимся на более простом случае (1.2), когда быстрое дви жение не зависит от медленных переменных. Итак, пусть
— некоторый случайный процесс со значениями в R1. Будем предполагать, что функция Ь(х, у) удовлетворяет
условию Липшица: |Ь(х1ч уг) — Ь(х2, у2)\ ^ |
К{\хх — х21+- |
+ \Уг — угI)- Относительно процесса |
предположим, |
что его траектории непрерывны с вероятностью единица или имеют на каждом конечном отрезке времени конеч ное число точек разрыва первого рода, разрывы второго рода отсутствуют. При этих предположениях решение уравнения (1.2) существует с вероятностью 1 для любых х е 7?г, определено при всех t ^ О и единственно.
Если условие (1.3) выполняется с вероятностью 1 равномерно по х е Яг, то из обычного принципа усредне
ния следует, что траектории процесса Xf с вероятностью 1 равномерно на каждом конечном отрезке сходятся к ре
шению уравнения (1.4) (при этом Ь(х) и xt могут, вообще говоря, зависеть от о)).
Можно сделать менее ограничительные предположения относительно типа сходимости в (1.3); при этом, вообще говоря, получается более слабое утверждение.
Предположим, что существует векторное поле Ь(х) в Rr такое, что для произвольных б > О и х е Rr равно мерно по t > О
Я-г |
|
|
|
lim |
- Ь ( х ) |
> б = 0. |
(2.1) |
Т-+оо |
|
|
|
Из (2.1) следует, что |
функция |
Ъ(х) |
удовлет |
воряет условию Липшица (с той же константой, что и функция Ъ(х, у)), поэтому существует единственное реше ние задачи
xt = b(xt), х0 = х. |
(2.2) |
Случайный процесс X® можно рассматривать как результат малых в среднем случайных возмущений дина-
§2] БЫСТРОЕ ДВИЖЕНИЕ — СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС 289
мической системы (2.2). Соотношение (2.1) представляет собой предположение о малости в среднем по времени
случайных |
возмущений. |
|
|
|
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
2.1. Предположим, что выполнено условие |
|||||||||
(2.1), |
и пусть |
|
s.up М Jb (х, %t) |2 < |
оо. |
Тогда |
для |
любых |
|||
Т > 0 |
и б > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim Р ( sup |
|X* — xt|> |
б) = 0. |
|
|
|
|||
|
|
е-*0 |
l(Kf<T |
|
|
J |
|
|
|
|
Утверждение этой теоремы немедленно вытекает из |
||||||||||
теоремы 1.3 |
гл. |
2. Для |
этого нужно положить |
6(е, s, |
||||||
х, оо) = |
b(x, |s/e((o)) и заметить, что условие |
(2 .1) |
можно |
|||||||
записать в виде: для любых Г, б > |
0 и х е |
Яг равномер |
||||||||
но по |
t |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Ь(с, $, х, со) ds — |
ТЬ (х) > |
|
= 0 . |
|
|||
|
1im Р I |
8 |
|
|||||||
|
е-*0 |
I |
i |
|
|
|
|
|
|
|
Эго п есть условие теоремы 1.3 гл. 2.
Заметим, что наши рассуждения, по существу, пов торяют доказательство принципа усреднения в детерми нированном случае, которое содержится в работах Г и х- м а н а [1 ] и К р а с н о с е л ь с к о г о и К р е й н а
[1]. Близкий |
результат содержится в статье X а с ь- |
м и н с к о г о |
[4]. |
Условие (2.1), которое требуется в теореме 2.1, выпол няется при весьма слабых предположениях относительно процесса ц* = Ъ(х, |s) ( ж е й г - параметр). Например,
если процесс ц* стационарный в широком смысле, то достаточно, чтобы диагональные элементы его корреля ционной матрицы (/iij(T)) стремились к нулю при т оо;
в этом случае Ъ(х) = М6(я, £s). В нестационарном случае
достаточно, чтобы существовала функция г(#,т), lim г(ххт) =
Х->-оо
= 0 такая, что
|М(Ь(я, У — b{x),b{x,ls+x) — Ь(х))\<г{х,т;).
Мы отложим рассмотрение примеров до § 8 , а сейчас изучим подробнее разность X] — xt. В детерминирован ном случае, когда, например, — периодическая функ-
Ю А . Д . В е н т ц е л ь . М . И . Ф р е й д л и в
290 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
ция, эта разность имеет порядок е, и можно написать сле дующие члены асимптотического разложения по целым степеням 8. При изучении вероятностных задач следует, по-видимому, считать типичной ситуацию, когда случай ный процесс удовлетворяет некоторому условию слабой зависимости, т. е. когда зависимость между величинами
и |
с ростом т в определенном смысле |
ослабевает. |
|
Оказывается, в этом случае |
отклонение X® |
от xt имеет |
|
другой |
характер. Разность |
X? — xt имеет порядок У 8, |
|
однако никакого следующего члена асимптотического
разложения написать нельзя: при е |
0 |
выражение |
т = (X® — x t) не стремится, вообще говоря, |
ни |
к какому |
V s
пределу, а только имеет предельное распределение. Иными словами, если сам принцип усреднения — утвер ждение теоремы 2.1 — можно рассматривать как резуль тат типа закона больших чисел, то поведение нормирован
ной разности |
(X® — xt) описывается утверждением тп- |
||
па |
|
V в |
пояс |
центральной предельной теоремы. Чтобы |
|||
нить |
эго, рассмотрим простейшую систему Х\ = |
b (£*/е), |
|
в которой правые части не зависят от х. Если процесс удовлетворяет условию сильного перемешивания (см. ни
же), то распределение нормированной разности £® = -т=Х У е
X (X® — xt) при небольших дополнительных ограниче ниях сходится при 8 —> 0 к нормальному (см., например,
И б р а г и м о в, Л и н н |
и к [1 ]). В следующем парагра |
фе мы покажем, что при |
некоторых дополнительных ус |
ловиях распределения нормированных разностей сходят |
|
ся к гауссовским и для систем общего вида. Более того, |
|
следуя работе X а с ь м и н с к о г о |
[4], мы покажем, что |
не только распределения величин |
при каждом фикси |
рованном t сходятся к гауссовским, но и что процессы
сходятся при е -> 0 в смысле слабой сходимости к некоторому марковскому гауссовскому процессу и найдем характеристики этого предельного процесса. В дальней
ших |
параграфах мы |
изучим также большие, поряд |
|
ка 1, уклонения |
X® от |
zt и большие уклонения порядка |
|
ех, |
где и е (0 , |
1/2). |
|